新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第03講 不等式及性質(zhì)（原卷版）

第03講不等式及性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖】基本不等式重要不等式基本不等式重要不等式SKIPIF1<0最大（?。┲祮?wèn)題基本不等式SKIPIF1<0基本不等式的應(yīng)用擴(kuò)充不等式絕對(duì)值不等式柯西不等式基本不等式【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】基本不等式知識(shí)點(diǎn)01：兩個(gè)重要不等式及幾何意義1．重要不等式：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)“=”）.2．基本不等式：如果SKIPIF1<0是正數(shù)，那么SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)“=”）.【要點(diǎn)詮釋】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩者的異同：（1）成立的條件是不同的：前者只要求SKIPIF1<0都是實(shí)數(shù)，而后者要求SKIPIF1<0都是正數(shù)；（2）取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)”。（3）SKIPIF1<0可以變形為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以變形為：SKIPIF1<0.3.如圖，SKIPIF1<0是圓的直徑，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交圓于點(diǎn)D，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.易證SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.這個(gè)圓的半徑為SKIPIF1<0，它大于或等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與圓心重合，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.【要點(diǎn)詮釋】1.在數(shù)學(xué)中，我們稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的算術(shù)平均數(shù)，稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.如果把SKIPIF1<0看作是正數(shù)SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，SKIPIF1<0看作是正數(shù)SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)，那么基本不等式可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)02：用基本不等式SKIPIF1<0求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等。①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值。知識(shí)點(diǎn)03：幾個(gè)常見的不等式1）SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)。2）SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)。3）SKIPIF1<0；特別地：SKIPIF1<0；4）SKIPIF1<0SKIPIF1<05）SKIPIF1<0；6）SKIPIF1<0；7）SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)04：絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

1.SKIPIF1<0；2.SKIPIF1<0；知識(shí)點(diǎn)05：柯西不等式1.二維形式的柯西不等式：（1）向量形式：設(shè)SKIPIF1<0是兩個(gè)向量，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0是零向量或存在實(shí)數(shù)k，使SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立。（2）代數(shù)形式：=1\*GB3①若a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)，等號(hào)成立；=2\*GB3②若a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)，等號(hào)成立；=3\*GB3③若a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)，等號(hào)成立；【要點(diǎn)詮釋】柯西不等式的代數(shù)形式可以看作是向量形式的坐標(biāo)化表示；（3）三角形式：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。2.三維形式的柯西不等式（代數(shù)形式）：若SKIPIF1<0都是實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0或存在實(shí)數(shù)k，使得SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立。3.一般形式的柯西不等式（代數(shù)形式）：若SKIPIF1<0都是實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0或存在實(shí)數(shù)k，使得SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立?！就卣埂?．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)a，b同為正數(shù)可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同為正數(shù)微思考1．兩個(gè)正數(shù)a，b，如果a>b，則eq\r(n,a)與eq\r(n,b)的大小關(guān)系如何？提示如果a>b>0，則eq\r(n,a)>eq\r(n,b).2．非零實(shí)數(shù)a，b，如果a>b，則eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的大小關(guān)系如何？提示如果ab>0且a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b).如果a>0>b，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b).【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01：基本不等式SKIPIF1<0求最值問(wèn)題1．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】已知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值及相應(yīng)的SKIPIF1<0值.【變式2】求下列函數(shù)的最大（或最?。┲?SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【變式3】已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.考點(diǎn)02：利用基本不等式證明不等式2.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中至少有一個(gè)小于等于SKIPIF1<0.【變式1】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是正數(shù)，求證：SKIPIF1<0【變式2】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是正數(shù)，求證：SKIPIF1<0?？键c(diǎn)03：利用絕對(duì)值不等式求最值3.不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是；【變式1】求SKIPIF1<0的最值【變式2】不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則常數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是；考點(diǎn)04：利用柯西不等式求最值4.設(shè)SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值．【變式1】求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值．【考點(diǎn)易錯(cuò)】易錯(cuò)題型01比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小1(1)(2022·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)設(shè)M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N(2)若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c(3)eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為________．【變式】已知x>0，y>0，M＝eq\f(x2,x＋2y)，N＝eq\f(4x－y,5)，則M和N的大小關(guān)系為()A．M>N B．M<NC．M＝N D．以上都有可能(2)已知M＝eq\f(e2020＋1,e2021＋1)，N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．易錯(cuò)題型02不等式的基本性質(zhì)2(1)(2022·新鄉(xiāng)模擬)已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()A．若a<b，c<d，則ac<bdB．若ab>0，bc－ad>0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)<0C．若a>b，c>d，則a－d>b－cD．若a>b，c>d>0，則eq\f(a,d)>eq\f(b,c)(2)(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式正確的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)B．|a|＋b>0C．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)D．lna2>lnb2【變式】(1)若2m>2n，則下列結(jié)論一定成立的是()A.eq\f(1,m)>eq\f(1,n) B．m|m|>n|n|C．ln(m－n)>0 D．πm-n<1(2)(多選)設(shè)b>a>0，c∈R，則下列不等式中正確的是()A．SKIPIF1<0 B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C.eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b) D．a(chǎn)c3<bc3易錯(cuò)題型03不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用3(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．(2)已知3<a<8,4<b<9，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．【變式】(1)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，則eq\f(c,a)的取值范圍是()A．－3<eq\f(c,a)<－1 B．－1<eq\f(c,a)<－eq\f(1,3)C．－2<eq\f(c,a)<－1 D．－1<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)(2)已知0<β<α<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是________．【鞏固提升】1、（2022屆山東省泰安市高三上期末）已知SKIPIF1<0均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<02、若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，給出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)；④lna2＞lnb2.其中正確的不等式是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④3．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定4、（2022·邵東創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，則a2＞b2 B．若ab＝4，則a＋b≥4C．若a＞b，則ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，則5．(多選)已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．a(chǎn)c(a－c)<06．(多選)有外表一樣，重量不同的六個(gè)小球，它們的重量分別是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.則下列判斷正確的有()A．b>c>f B．b>e>fC．c>e>f D．b>e>c7、（2021屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）（多選題）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列不等式中恒成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08、（2022江蘇鹽城中學(xué)月考）（多選題）下列命題為真命題的是（）.A．若，則B．若，，則C．若，且，則D．若，且，則9、設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.10、設(shè)SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0的取值范圍是____________．11、(2022·天津模擬)若α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π12．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M________N．(填“>”“<”或“＝”)13．已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a>b，則下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào))．①eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a3>b3；③2a>2b；④lna2>lnb2.14．近來(lái)雞蛋價(jià)格起伏較大，每?jī)芍艿膬r(jià)格均不相同，假設(shè)第一周、第二周雞蛋價(jià)格分別為a元/斤、b元/斤，家庭主婦甲和乙買雞蛋的方式不同：家庭主婦甲每周買3斤雞蛋，家庭主婦乙每周買10元錢的雞蛋，試比較誰(shuí)的購(gòu)買方式更優(yōu)惠(兩次平均價(jià)格低視為更優(yōu)惠)________．(在橫線上填甲或乙即可)15．(2021·浙江寧海中學(xué)月考)已知等比數(shù)列{a1，a2，a3，a4}滿足a1∈(0,1)，a2∈(1,2)，a3∈(2,3)，則