第6講四則混合運算的運算順序和運算律（解析）

基礎版（通用）20222023學年小升初數學精講精練專題匯編講義第6講四則混合運算的運算順序和運算律知識精講知識精講知識點一：四則混合運算的運算順序1.分級的標準四則混合運算分為兩級，加法和減法叫作第一級運算；乘法和除法叫作第二級運算。2.四則混合運算的運算順序（1）在沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算（也就是先算乘除法，再算加減法）。（2）算式里有括號的，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的知識點二：四則混合運算定律運算定律文字敘述用字母表示加法加法交換律兩個數相加，交換加數的位置，和不變a+b=b+a加法結合律三個數相加，先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加，和不變(a+b)+c=a+(b+c)乘法乘法交換律兩個數相乘，交換兩個乘數的位置積不變ab=ba乘法結合律三個數相乘，先把前兩個數相乘或者先把后兩個數相乘，積不變(ab)c=a(bc)乘法分配律兩個數的和與一個數相乘，等于把這兩個數分別與這個數相乘，再把它們的積相加(a+b)c=ac+bc知識點三：運算性質1.減法的性質：abc=a(b+c)ab+c=a(bc)2.除法的性質（除數不等于0）:a÷（b×c）=a÷b÷ca÷b÷c=a÷c÷b3.商不變的性質:被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。a÷b=（a×m）÷（b×m）（mQUOTE≠≠0，bQUOTE≠≠0）a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（mQUOTE≠≠0，bQUOTE≠≠0）重點提示：在利用減法和除法的運算性質進行簡便計算時，等式的兩邊可以顛倒過來，要根據算式的特點靈活地進行去括號或添括號。知識點四：四則混合運算中的速算技巧：1.加減法中的速算與巧算（1）分組湊整法．把幾個互為“補數”的減數先加起來，再從被減數中減去，或先減去那些與被減數有相同尾數的減數．（“補數”就是兩個數相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一個數叫做另一個數的“補數”）（2）加補湊整法．有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數”或“拆數”湊整．（3）數值原理法：先把加在一起為整十、整百、整千…的數相加，再與其它的數相加．（4）“基準數”法，基準當幾個數比較接近于某一整數的數相加時，選這個整數為“基準數”（要注意把多加的數減去，把少加的數加上）2.乘法湊整技巧：先把能湊成整十、整百、整千的幾個乘數結合在一起，最后再與前面的數相乘，使得運算簡便。例如：，，3.分數與小數混合運算的技巧在分數、小數的四則混合運算中，到底是把分數化成小數，還是把小數化成分數，這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結果的精確度，因此，要具體情況具體分析，而不能只機械地記住一種化法：小數化成分數，或分數化成小數。技巧1：一般情況下，在加、減法中，分數化成小數比較方便。技巧2：在加、減法中，有時遇到分數只能化成循環(huán)小數時，就不能把分數化成小數。此時要將包括循環(huán)小數在內的所有小數都化為分數。技巧3：在乘、除法中，一般情況下，小數化成分數計算，則比較簡便。技巧4：在運算中，使用假分數還是帶分數，需視情況而定。技巧5：在計算中經常用到除法、比、分數、小數、百分數相互之間的轉化，掌握這些常用的數互化數方法對學習非常重要知識點五：定義新運算1.定義新運算是指運用某種特殊的符號表示的一種特定運算形式。注意：（1）解決此類問題，關鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順序，將數值代入算式中，再把它轉化為一般的四則運算，然后進行計算。（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式。它是使用特殊的運算符號，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等來表示的一種運算。（3）新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉化前，是不適合于各種運算定律的。2.一般的解題步驟是:一是認真審題，深刻理解新定義的內容；二是排除干擾，按新定義關系去掉新運算符號；三是化新為舊，轉化成已有知識做舊運算。提高達標百分練提高達標百分練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）（2022?高淳區(qū)）下面計算中能準確反映豎式計算過程的是（）A．25×48＝25×4×12＝100×12＝1200 B．25×48＝25×50﹣25×2＝1250﹣2＝50＝1200 C．25×48＝25×40+25×8＝1000+200＝1200【思路點撥】根據兩位數乘兩位數的計算法則，先用第二個因數個位上的數乘第一個因數，乘積的末位與個為對齊，再用第二個因數十位上的數乘第一個因數，出積的末位與十位對齊，然后把兩次的乘積相加。再根據乘法分配律的意義，25×48＝25×（40+8），據此解答?！疽?guī)范解答】解：下面計算中能準確反映豎式計算過程的是：25×48＝25×40+25×8＝1000+200＝1200故選：C?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握兩位數乘兩位數的乘法法則，并且能夠正確熟練地進行計算。2．（2分）（2022?吉首市）4×37×25＝37×（4×25），這是根據（）A．乘法分配律 B．乘法交換律 C．乘法結合律 D．乘法交換律和乘法結合律【思路點撥】4×37×25變成37×（4×25），是先交換了4和37的位置，然后把后兩個乘數結合在一起，由此求解?！疽?guī)范解答】解：4×37×25＝37×4×25（乘法交換律）＝37×（4×25）（乘法結合律）所以是根據乘法交換律和乘法結合律進行的變形。故選：D?！究键c評析】①乘法交換律：兩個因數交換位置，積不變，如a×b＝b×a。②乘法結合律：先乘前兩個數，或先乘后兩個數，積不變，如a×b×c＝a×（b×c）。3．（2分）（2022?邱縣）3.8×（97+3）＝3.8×97+3.8×3運用的運算定律是（）A．加法結合律 B．乘法結合律 C．乘法分配律【思路點撥】根據乘法分配律進行計算。【規(guī)范解答】解：3.8×（97+3）＝3.8×97+3.8×3運用的運算定律是乘法分配律。故選：C。【考點評析】此題考查的目的是理解掌握乘法分配律的意義，并且能夠靈活運用乘法分配律進行計算。4．（2分）（2022?濟南）超市進了一批鮮花，共259枝，每12枝扎成一束，可以扎成幾束？如圖，可以用豎式計算出結果，那豎式中箭頭所指的這一步表示（）A．用240枝鮮花扎成了20束 B．用24枝鮮花扎成了20束 C．用20枝鮮花扎了24束 D．用20枝鮮花扎成了240束【思路點撥】“24”即240，是由12和20相乘所得，表示用240枝鮮花扎成了20束?！疽?guī)范解答】解：12×20＝240（枝）所以豎式中箭頭所指的“24”表示用240枝鮮花扎成了20束。故選：A?！究键c評析】本題主要考查了兩位數除三位數除法的豎式計算方法，明確各步的意義是關鍵。5．（2分）（2022?蘄春縣）亮亮想用計算器驗算“56×14“，但計算器中“4“的按鍵壞了，下面的算式在（）不能算出正確的答案。A．56×7×2 B．56×15﹣56 C．56×15﹣15 D．56×13+56【思路點撥】根據乘法運算定律，可以把14拆成7×2，用乘法結合計算即可，或者拆成13+1或15﹣1，然后根據乘法分配律“a×（b±c）＝a×b±a×c”進行計算。【規(guī)范解答】解：56×14＝56×（7×2）＝56×7×256×14＝56×（13+1）＝56×13+5656×14＝56×（15﹣1）＝56×15﹣56因此A、B、D選項可以算出正確的答案，C選項不可以。故選：C。【考點評析】本題考查乘法運算定律的運用，熟練掌握乘法運算定律是解題的關鍵。二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）（2022?漳平市）如圖是一個兩位數乘兩位數的計算過程。第一步的得數是A，第二步的得數是B，那么A與B相比，A小于B。（填大于或小于）【思路點撥】根據題意，〇在個位上，□在十位上，68×〇不足10個68，而68×□至少10個68，所以，68×〇小于68×□，據此解答?！疽?guī)范解答】解：A＝68×〇，B＝68×□〇在個位上，68×〇不足10個68；□在十位上，68×□至少10個68；所以68×〇＜68×□，即A＜B。故答案為：小于?！究键c評析】考查了整數乘法的計算方法的運用。7．（2分）（2022?騰沖市）小紅的爺爺今年63歲，小紅今年7歲，爺爺的年齡是小紅的9倍?！舅悸伏c撥】用小紅爺爺的年齡除以小紅的年齡，可以計算出爺爺的年齡是小紅的幾倍。【規(guī)范解答】解：63÷7＝9答：爺爺的年齡是小紅的9倍。故答案為：9?！究键c評析】本題考查倍數問題的解題方法，掌握求一個數是另一個數的幾倍用除法計算。8．（2分）（2022?泌陽縣模擬）馬小虎在計算6.5×（口+2.5）時，錯算成6.5×口+2.5，他得到的結果比正確結果少13.75。【思路點撥】依據乘法分配律的意義：兩個數的和乘一個數，可以把這兩個數分別與這個數相乘，再把求得的和相加，結果不變，把6.5×（口+2.5）去掉括號，再與6.5×口+2.5比較即可解答。【規(guī)范解答】解：6.5×（口+2.5）＝6.5×口+6.5×2.56.5×2.5﹣2.5＝16.25﹣2.5＝13.75答：他得到的結果比正確結果少13.75。故答案為：13.75?！究键c評析】完成本題的關鍵是據乘法分配律得出錯寫后的算式比原算式少加了多少。9．（2分）（2022?淅川縣）在全國人民抗擊疫情時，某呼吸機廠師徒兩人裝配呼吸機，師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺，經過8天后，師傅比徒弟多裝72臺?！舅悸伏c撥】師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺，先用31臺減去22臺，求出師傅每天比徒弟多裝多少臺，再用多裝的總臺數除以每天多裝的臺數即可求解?！疽?guī)范解答】解：72÷（31﹣22）＝72÷9＝8（天）答：經過8天后，師傅比徒弟多裝72臺。故答案為：8?！究键c評析】解決本題先求出每天多裝的臺數，再根據除法的包含意義求解。10．（2分）（2022?灌南縣）如圖，3個杯子疊起來高16厘米，5個杯子疊起來高22厘米。7個杯子疊起來的高度是28厘米?！舅悸伏c撥】用5個杯子疊起來的高度減去3個杯子疊起來的高度，可以計算出2個杯子疊加部分的高度，再除以2，計算出一個疊加部分的高度，再用3個杯子疊起來的高度減去2個杯子疊加部分的高度，可以計算出最下面一個杯子的高度，最后用7個杯子疊加部分的高度，加上最下面杯子的高度，計算出7個杯子疊起來的高度是多少厘米?！疽?guī)范解答】解：22﹣16＝6（厘米）6÷2＝3（厘米）16﹣6＝10（厘米）（7﹣1）×3+10＝6×3+10＝18+10＝28（厘米）答：7個杯子疊起來的高度是28厘米。故答案為：28?！究键c評析】本題解題關鍵是先計算出一個疊加部分的高度和最下面一個杯子的高度，最后計算出7個杯子疊起來的高度是多少厘米。11．（2分）（2022?遵義模擬）張老師帶領36名學生乘車去小西湖研學旅行，每輛車限載4名乘客，至少需要10輛車才能一次坐完。【思路點撥】乘車總人數為1名老師+36名學生，用總人數÷4等于所需車的數量?！疽?guī)范解答】解：（36+1）÷4＝37÷4＝9（輛）......1（名）9+1＝10（輛）答：至少需要10輛車才能一次坐完。故答案為：10?！究键c評析】解題時注意不要忽略老師也需要乘車。12．（2分）（2021?瑞安市）小學即將畢業(yè)，六（1）班家委要給42個同學買畢業(yè)紀念冊。如圖豎式中，箭頭所指的數表示買40本紀念冊的價錢；這些紀念冊一共需要756元。【思路點撥】根據畢業(yè)紀念冊的單價乘2的積是36，可以求出畢業(yè)紀念冊的單價，用單價乘42即可求出總價；豎式中箭頭所指的數表示單價與40的乘積，也就是40本紀念冊的價錢。【規(guī)范解答】解：故答案為：40，756?！究键c評析】本題考查了利用兩位數乘兩位數解決問題，重點考查了對豎式中數據的分析能力。13．（2分）（2022秋?甘谷縣期末）明明在做乘法算式時，將一個因數21看成了12，結果計算得到的積比正確的少207，正確的積是483。【思路點撥】紅紅在計算時，只是把其中一個因數21看成了12，另一個因數沒變，21比12少了9，也就是少算了9個第一個因數，這時積少了207，就能求出不變的因數，再兩因數相乘即可?！疽?guī)范解答】解：21﹣12＝9207÷9＝2321×23＝483故答案為：483?！究键c評析】此題是有關乘法的靈活運用，關鍵是明白，另一個因數是對的，出錯的因數有什么變化積就有什么變化，找到關系即可解決。三．判斷題（共5小題，滿分10分，每小題2分）14．（2分）（2022?市南區(qū)模擬）把“300﹣170＝130，130×11＝1430”寫成綜合算式是300﹣170×11?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路點撥】“300﹣170＝130，130×11＝1430”是先算300減去170求出差，再用求出的差乘11，要想先算減法，需要給減法加上小括號，由此求解?！疽?guī)范解答】解：把“300﹣170＝130，130×11＝1430”寫成綜合算式是：（300﹣170）×11，而不是300﹣170×11。原題說法錯誤。故答案為：×?！究键c評析】解決這類題目，要分清楚先算什么，再算什么，根據運算順序列出綜合算式，注意合理利用小括號。15．（2分）（2021春?長興縣期中）35與50的和除以10與5的差，商是多少？這道題列式為：35+50÷10﹣5．×（判斷對錯）【思路點撥】先用35加上50求出和，再用10減去5求出差，最后用求出的和除以求出的差即可，為了先計算加法和減法，分別給加法和減法加上小括號．【規(guī)范解答】解：（35+50）÷（10﹣5）＝85÷5＝17答：商是17．原題的算式是錯誤的．故答案為：×．【考點評析】這類型的題目要分清楚數量之間的關系，先求什么再求什么，找清列式的順序，列出算式求解．16．（2分）（2022秋?揭陽期中）在沒有括號的算式里，按照從左往右的順序進行計算．×（判斷對錯）【思路點撥】四則運算時，沒有小括號時：1、如果是同一級運算，一般按從左往右依次進行計算；2、如果既有加減、又有乘除法，先算乘除法、再算加減，由此求解．【規(guī)范解答】解：在一個既有加減又有乘除，就先算乘除，再算加減，不能按照從左到右的順序計算；如：25+5×6，就先算乘法，再算加法，所以原說法錯誤．故答案為：×．【考點評析】熟練的掌握四則混合運算的運算順序是解決本題的關系．17．（2分）（2021?集安市）因為37÷9的余數是1，所以3700÷900余數也是1．×．【思路點撥】被除數和除數同時擴大100倍，商不變，但余數擴大100倍；可以利用余數的性質：被除數＝除數×商+余數來驗證．即可得解．【規(guī)范解答】解：37÷9＝4…1，37＝9×4+1，3700÷900＝4…100，3700＝900×4+100；故答案為：×．【考點評析】此題考查了商不變的性質，若有余數，則余數是變化的．18．（2分）（2022秋?上思縣期末）（72﹣35）×16÷4和（72﹣35）×（16÷4）的計算結果不相同。×（判斷對錯）【思路點撥】分別計算出兩個算式的結果，看結果是否相等即可。【規(guī)范解答】解：（72﹣35）×16÷4＝37×16÷4＝592÷4＝148（72﹣35）×（16÷4）＝37×4＝148兩個算式的計算結果相同。原題說法錯誤。故答案為：×。【考點評析】解答本題需熟練掌握四則混合運算順序，準確計算。四．計算題（共2小題，滿分20分）19．（8分）（2022?武寧縣）直接寫出得數。493×61≈＝8÷＝36×25%＝1%÷1%＝＝0.25×0.8＝798÷204≈【思路點撥】把整數估算成與它相近的整百的數或幾十的數，再進行口算即可；一個數除法分數等于這個數乘分數的倒數；把百分數化成小數，再按小數除法的計算方法計算?！疽?guī)范解答】解：493×61≈30000＝8÷＝1036×25%＝91%÷1%＝1＝0.25×0.8＝0.2798÷204≈4【考點評析】本題考查了學生的計算能力及估算能力。20．（12分）（2022?璧山區(qū)）計算下面各題，能簡算的要簡算。57.6﹣18.15+32.4﹣11.8578×25+1764÷492.5×32×12.53.6×[（37.5+18.5）÷2.8]÷[（﹣）×]199×99+178+21【思路點撥】（1）根據加法交換律和減法的性質進行簡算；（2）先算乘法、除法，再算加法；（3）把32分成4乘8，再根據乘法結合律進行簡算；（4）先算小括號里的加法，再算中括號里的除法，最后算乘法；（5）先算小括號號里的減法，再算中括號里的乘法，最后算除法；（6）根據加法結合律先算（178+21），再根據乘法分配律進行簡算?！疽?guī)范解答】解：（1）57.6﹣18.15+32.4﹣11.85＝（57.6+32.4）﹣（18.15+11.85）＝90﹣30＝60（2）78×25+1764÷49＝1950+36＝1986（3）2.5×32×12.5＝（2.5×4）×（8×12.5）＝10×100＝1000（4）3.6×[（37.5+18.5）÷2.8]＝3.6×[56÷2.8]＝3.6×20＝72（5）÷[（﹣）×]＝÷[×]＝＝（6）199×99+178+21＝199×99+（178+21）＝199×99+199＝199×（99+1）＝199×100＝19900【考點評析】考查了運算定律與簡便運算，四則混合運算。注意運算順序和運算法則，靈活運用所學的運算定律簡便計算。五．應用題（共8小題，滿分39分）21．（4分）（2023?海淀區(qū)模擬）某摩托車廠6月份生產了570輛摩托車，其中有10輛不合格。合格的產品用大卡車運往各銷售公司，一輛大卡車一次可以運35輛，每次需要運費480元。一共需要支付運費多少錢？【思路點撥】先計算出合格產品的數量，即（570﹣10）輛，用合格產品的數量除以每輛卡車運送的數量，就是需要卡車的數量；用需要卡車的數量乘每次需要的運費，就是一共的運費；據此解答即可?！疽?guī)范解答】解：（570﹣10）÷35×480＝560÷35×480＝16×480＝7680（元）答：一共需要支付運費7680元錢?！究键c評析】考查了整數復合應用題，先計算出合格產品的數量，再運用整數乘除法的意義解答即可。22．（5分）（2022?臨漳縣）李校長和三位老師帶領39名學生乘車去北山游玩。（1）王紅認為：李校長大約要帶1000元錢，才夠他們的往返車費。（2）劉曉認為：李校長大約要帶2000元錢，才夠他們的往返車費。你認為他們誰說得對？請寫出你的理由?！舅悸伏c撥】根據單價×數量＝總價，分別求出老師和學生需要多少元錢，再把需要的錢數相加，求出去的時候一共需要多少元錢，再乘2，即可求出往返一共需要多少元錢，再進行比較即可。【規(guī)范解答】解：學生票價：38÷2＝19（元）19×39+38×4＝741+152＝893（元）893×2＝1786（元）1000＜1786＜2000所以劉曉的說法正確。答：劉曉的說法正確?！究键c評析】本題主要考查了兩位數乘兩位數乘法、一位數除兩位數除法的實際應用以及整數大小的比較，明確單價、數量和總價之間的關系是解答本題的關鍵。23．（5分）（2022?章丘區(qū)）綠化隊為一個居民社區(qū)栽花。栽月季花240棵，再加上16棵就是所栽丁香花棵數的2倍。栽了多少棵丁香花？【思路點撥】用栽月季花的棵數加上16，再除以2，計算出栽了多少棵丁香花。【規(guī)范解答】解：（240+16）÷2＝256÷2＝128（棵）答：栽了128棵丁香花。【考點評析】本題解題關鍵是根據整數加法與除法的意義，列式計算，熟練掌握整數四則混合運算的計算方法。24．（5分）（2022?騰沖市）購物。（1）買一輛自行車和一個電飯煲大約要多少元錢？（2）爸爸帶800元買這兩樣東西夠嗎？【思路點撥】（1）用一輛自行車的價錢加上一個電飯煲的價錢，把428看作430，399看作400進行估算即可；（2）用一輛自行車的價錢加上一個電飯煲的價錢，求出一共需要多少元錢，再和爸爸帶的錢數進行比較即可。【規(guī)范解答】解：（1）428+399≈430+400＝830（元）答：大約要830元錢。（2）428+399＝827（元）827＞800答：爸爸帶800元買這兩樣東西不夠?！究键c評析】本題主要考查了千以內加法、數的估算以及整數大小的比較方法。首先弄清題意，分清已知與所求，再找出基本數量關系，列式解答，注意估算方法的靈活運用。25．（5分）（2022?酉陽縣）北京冬奧會滑雪比賽“平行大回轉”項目，有A票座位1000個，2500元/人，B票座位4800個，500元/人，共收入4300000元。本場觀眾最多有多少人？【思路點撥】求本場觀眾最多有多少人，則B票座位全部售出；先用500元乘4800，求出B票座位全部售出的收入；再用4300000元減去B票座位全部售出的收入，用所得的差除以2500元，求出A票座位售出的票數，然后加上4800即可?！疽?guī)范解答】解：（4300000﹣500×4800）÷2500+4800＝1900000÷2500+4800＝760+4800＝5560（人）答：本場觀眾最多有5560人?！究键c評析】解答本題需準確分析“本場觀眾最多”的含義，熟練掌握單價、總價和數量之間的關系。26．（5分）（2022?錢塘區(qū)）2022年參加北京冬奧會的總人數為2892人，比第一屆夏蒙尼冬奧會的12倍少204人，第一屆冬奧會參加人數是多少人？（兩種方法計算）【思路點撥】方法一：根據2022年參加北京冬奧會的總人數比第一屆夏蒙尼冬奧會的12倍少204人，可知，北京冬奧會的總人數加上204人就是第一屆夏蒙尼冬奧會的12倍，所以用2022年參加北京冬奧會的總人數2892人加上204人后，除以12就可以得到第一屆夏蒙尼冬奧會的人數；方法二：用方程解，設第一屆冬奧會參加人數是x人，然后根據“第一屆冬奧會的人數×12﹣204＝2892”來列方程，最后解方程?！疽?guī)范解答】解：方法一：（2892+204）÷12＝3096÷12＝258（人）答：第一屆冬奧會參加人