專練05隨機(jī)變量與分布列20題-2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)必刷1200題

專練05隨機(jī)變量與分布列20題一、單選題1．（2021·山東·廣饒一中高三月考）設(shè)隨機(jī)變量，已知，則（）A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425【答案】A【分析】服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對稱性可求得其概率．【詳解】.故選：A.2．（2021·重慶南開中學(xué)高三月考）在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A，B滿足，則（）A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥C．事件A，B一定互相獨(dú)立 D．事件A，B一定不互相獨(dú)立【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】若事件A，B為互斥事件，則，與矛盾，所以，所以事件A，B一定不互斥，所以B正確，A錯(cuò)誤，由題意無法判斷是否成立，所以不能判斷事件A，B是否互相獨(dú)立，所以CD錯(cuò)誤，故選：B3．（2021·海南·三模）“三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮”是一句俗語，比喻人多智慧多．假設(shè)每個(gè)“臭皮匠”單獨(dú)解決某個(gè)問題的概率均為，現(xiàn)讓三個(gè)“臭皮匠”分別獨(dú)立處理這個(gè)問題，則至少有一人解決該問題的概率為（）A． B． C． D．0．936【答案】D【分析】由相互獨(dú)立事件的概率公式可得三個(gè)臭皮匠都沒有解決問題的概率，由對立事件的概率性質(zhì)計(jì)算可得答案.【詳解】“至少有一人解決該問題”的對立事件為“三人都未解決”，故所求的概率為．故選：D4．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，分2個(gè)0相鄰和2個(gè)0不相鄰進(jìn)行求解.【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：C.5．（2021·四川成都·高三月考（理））若隨機(jī)事件，滿足，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，計(jì)算得到，然后根據(jù)條件概率的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知：所以所以故選：D6．（2018·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)減小，D(ξ)增大C．E(ξ)減小，D(ξ)減小 D．E(ξ)增大，D(ξ)減小【答案】C【分析】利用，的計(jì)算公式求出，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.【詳解】隨機(jī)變量滿足，，，，.若，則隨增大，減小，減小.故選：C7．（2021·廣東荔灣·高三月考）一個(gè)盒中裝有大小相同的1個(gè)黑球與2個(gè)白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回盒中，直到把白球全部取出，則在此過程中恰有1次取到黑球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得：可分成兩種情況，即當(dāng)三次取球的順序?yàn)楹诎装?，白黑白，分別計(jì)算概率再相加，即可得到答案；【詳解】由題意得：可分成兩種情況：（1）當(dāng)三次取球的順序?yàn)椋汉诎装?，其概率為；?）當(dāng)三次取球的順序?yàn)椋喊缀诎?，其概率為；在此過程中恰有1次取到黑球的概率為，故選：C8．（2021·山東·高三月考）已知隨機(jī)變量滿足，且，則分別是（）A．5，3 B．5，6 C．8，3 D．8，6【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布及均值求得，從而可得方差，再由變量間的關(guān)系得結(jié)論．【詳解】由已知，，所以，又由得，所以，．故選：B．二、多選題9．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）以下四個(gè)命題中真命題是（）A．為了了解800名學(xué)生的成績，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔為40B．線性回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為0.1，則在內(nèi)的概率為0.4D．概率值為零的事件是不可能事件【答案】BC【分析】根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)概念和性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對A，由，所以分段間隔為20，故A錯(cuò)誤；對B，根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可知回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，故B正確度；對C，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，故在內(nèi)取值的概率為，由在內(nèi)取值的概率為0.1，所以在內(nèi)的概率為，由對稱性可得故在內(nèi)的概率為0.4，故C正確；對D，對于連續(xù)型隨機(jī)變量的情況下，某特定點(diǎn)被取到的概率為零，但是可能發(fā)生，并不是不可能事件，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2021·湖南湘潭·一模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）A．的數(shù)學(xué)期望為 B．的方差為C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可．【詳解】由正態(tài)分布的定義及正態(tài)曲線的性質(zhì)，可知，所以的數(shù)學(xué)期望為，方差為，，所以A，C正確，B，D不正確．故選：AC．11．（2021·遼寧·鳳城市第一中學(xué)高三月考）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（）A．有最小值 B．沒有最值C．有最小值 D．有最大值【答案】AD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得，，求出關(guān)于的表達(dá)式，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意知，，即，又，則，所以，A對；，又，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)或時(shí)，有最小值.故選：AD.12．（2021·河北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥【答案】AD【分析】首先由互斥事件的定義，可知D正確，再結(jié)合條件概率公式，即可計(jì)算，并判斷選項(xiàng).【詳解】由題意知，，兩兩互斥，故D正確；，，，，故A正確；，，，所以B與不是相互獨(dú)立事件，故B，C不正確．故選：AD．三、填空題13．（2020·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考）隨機(jī)變量的分布列為0240.40.30.3則________．【答案】13【分析】首先利用分布列求得，再利用即可得解.【詳解】，所以，故答案為：14．（2021·湖北·高三月考）某公司生產(chǎn)了一批小零件，其綜合質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取該小零件2000個(gè)，估計(jì)綜合質(zhì)量指標(biāo)值位于的零件個(gè)數(shù)為_____________．附：若，則，．【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，分別求得和的值，進(jìn)而求得的值，即可求得質(zhì)量指標(biāo)值位于的零件個(gè)數(shù).【詳解】由題意，綜合質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，可得，所以，，所以，所以綜合質(zhì)量指標(biāo)值位于的概率約為，則2000個(gè)小零件中估計(jì)綜合質(zhì)量指標(biāo)值位于的個(gè)數(shù)為個(gè)．故答案為：15．（2021·山東濰坊·高三期中）已知，且，則的方差為________．【答案】.【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的方差的計(jì)算公式求出，進(jìn)而根據(jù)方差的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，且則，因此的方差為，故答案為：.16．（2021·全國·模擬預(yù)測）某醫(yī)院從3名醫(yī)生和3名護(hù)士中選派4人參加志愿者服務(wù)，事件A表示選派的4人中至少有2名醫(yī)生，事件B表示選派的4人中有2名護(hù)士，則___________.【答案】【分析】解法一：先計(jì)算出，，再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式得到；解法二：根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳解】解法一：根據(jù)題意，從3名醫(yī)生和3名護(hù)士中選派4人，至少選派2名醫(yī)生的概率為，從3名醫(yī)生和3名護(hù)士中選派4人，選派2名護(hù)士的概率為，易知，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可得，.解法二：從3名醫(yī)生和3名護(hù)士中選派4人，至少選派2名醫(yī)生有種情況，其中選派2名護(hù)士有種情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可知.故答案為：四、解答題17．（2021·江蘇·金陵中學(xué)高三月考）一個(gè)盒子里有8個(gè)大小相同的小球，其中有6個(gè)白球，2個(gè)黑球，現(xiàn)依次從盒中隨機(jī)摸出一個(gè)球且不放回，直至8個(gè)球都被摸出，以表示6個(gè)白球被兩個(gè)黑球隔成的段數(shù)，例如，摸出的順序?yàn)椤昂诎装装装装装缀凇?，則此時(shí)，摸出的順序?yàn)椤鞍缀诎装缀诎装装住保瑒t此時(shí).（1）求兩個(gè)黑球連在一起被摸出的概率；（2）求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見詳解；期望為.【分析】（1）結(jié)合古典概型概率公式及排列計(jì)算，計(jì)算出所求的概率.（2）按照列分布列步驟求得各變量概率，列出分布列，求得期望.（1）兩個(gè)黑球連在一起被摸出可以看做一個(gè)整體，即捆綁法與白球全排列，從而其概率為.（2）解：由題意知，X的可能取值為1、2、3，；；；則X的分布列為：X123P所以期望18．（2020·陜西·西安市鐵一中學(xué)高三月考（理））某同學(xué)在做研究性學(xué)習(xí)課題時(shí)，欲調(diào)查全校高中生擁有微信群的數(shù)量.已知高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別為400，300，300.用分層抽樣的方法，隨機(jī)從全校高中生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：微信群數(shù)量(單位：個(gè))高一高二高三052000610101011151515大于15010（1）求的值；（2）若從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人進(jìn)微信群數(shù)量超過10的概率；（3）以樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)，以頻率估計(jì)概率，若從全校高中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示抽到的微信群數(shù)量在“1115”之間的人數(shù)，求的分布列和方差.【答案】（1）10,5,5（2）（3）答案見解析【分析】（1）根據(jù)分層抽樣求出每個(gè)年級抽取的人數(shù)，即可求出，，的值；（2）記“2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過10個(gè)”為事件，根據(jù)古典概型概率公式能求出2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過10個(gè)的概率；（3）依題意可知，微信群個(gè)數(shù)在“1115”之間的人的概率為．的所有可能取值0，1，2，3，服從二項(xiàng)分布，由此能求出的分布列和方差．（1）根據(jù)分層抽樣知，高一、高二、高三分別抽取學(xué)生40、30、30人，由已知得：，解得，由，解得，由，解得，故，，的值分別為10,5,5.（2）記“2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過10個(gè)”為事件，由表可知，微信群超過10個(gè)的共有55人，所以,即2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過10個(gè)的概率為．（3）依題意可知，微信群個(gè)數(shù)在“1115”之間的人的概率為．的所有可能取值0，1，2，3．則則，，，．其分布列如下：0123所以，．19．（2021·全國·模擬預(yù)測）隨著生活水平的提高，人們對生活質(zhì)量的要求也逐步提高，尤其是在飲食方面，蝦因營養(yǎng)又美味而受到不少人的青睞.羅氏沼蝦食性雜，生長快，易養(yǎng)殖，市場前景好，現(xiàn)已成為我國重點(diǎn)發(fā)展的特優(yōu)水產(chǎn)品之一，不僅池塘養(yǎng)殖有了較大發(fā)展，而且稻田養(yǎng)殖也獲得了成功.某養(yǎng)殖戶有多個(gè)養(yǎng)蝦池，每個(gè)蝦池投放40000尾蝦苗，成活率均為75%，到售賣時(shí)會存在一定的個(gè)體差異.為了解某蝦池蝦的具體生長情況，從該蝦池中隨機(jī)捕捉200尾測量其長度（單位：），得到頻率分布直方圖，如圖所示：（1）試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想估計(jì)該蝦池蝦的平均長度.（2）已知該蝦池蝦的長度均在之間，根據(jù)蝦的長度將蝦分為四個(gè)等級，長度?等級與售價(jià)（單位：元/尾）之間的關(guān)系如下表（）：長度/等級三級二級一級特級/（元/尾）①從該蝦池中隨機(jī)捕捉4尾蝦，試求至少有2尾為特級蝦的概率；②若該蝦池的前期修建成本為40000元，購買相關(guān)設(shè)備的成本為7150元，蝦苗0.65元/尾，每茬蝦的養(yǎng)殖成本為6500元.假設(shè)每茬蝦的利潤相同，在不考慮維修成本的前提下，試問該蝦池至少需養(yǎng)幾茬蝦才能盈利？【答案】（1）10.76cm（2）①；②該蝦池至少需養(yǎng)3茬蝦才能盈利【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到結(jié)果.（2）①先根據(jù)頻率分布直方圖求出隨機(jī)捕捉一尾蝦，該蝦為特級蝦的概率，再利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解即可；②列出蝦的長度?售價(jià)與對應(yīng)概率的表格，求出每尾蝦的售價(jià)的期望值，利用函數(shù)的有關(guān)知識求得平均每尾蝦的最高售價(jià)，進(jìn)而求得養(yǎng)一茬蝦的最大利潤，最后根據(jù)題意列不等式，求解即可.（1）由題意知，樣本平均數(shù)，所以估計(jì)該蝦池蝦的平均長度為10.76cm.（2）①由頻率估計(jì)概率知，隨機(jī)捕捉一尾蝦，該蝦為特級蝦的概率為，則從該蝦池中隨機(jī)捕捉4尾蝦，至少有2尾為特級蝦的概率為.②由題意可知，該蝦池蝦的長度?售價(jià)與對應(yīng)概率如下表所示（）：）長度/cm（元/尾）概率0.120.400.280.20所以.記，則，令，得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，.所以養(yǎng)一茬蝦的最大利潤（元）.設(shè)該蝦池至少需養(yǎng)茬蝦才能盈利，則，解得.因?yàn)?，所以在不考慮維修成本的前提下，該蝦池至少需養(yǎng)3茬蝦才能盈利.20．（2021·湖北·武漢市第六中學(xué)高三月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集={(i，j)|i=0，1，2，…，n；j=0，1，2；n∈N*}．從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離．（1）當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；（2）對給定的正整數(shù)n(n≥3)，求概率(用n表示)．【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，求出X的所有可能值，并求出各個(gè)值對應(yīng)的概率即可作答.(2)在中任取兩點(diǎn)和，分別討論b，d的取值確定事件所含結(jié)果數(shù)，再借助對立事件概率公式計(jì)算即得.（1）當(dāng)n=1時(shí)，為1，，2，，當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)集中有6個(gè)點(diǎn)，任取兩點(diǎn)共有種方法，它們等可能