中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難題型訓(xùn)練：二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與特殊三角形問(wèn)題）（原卷版+解析）

專題21二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與特殊三角形問(wèn)題）

1.（2022?山東濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=M一2x-3與x軸相交于點(diǎn)A、

B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C,連接AC,3c.

（1）求線段AC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E4=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

⑶若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ABCM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.（2022?四川省遂寧市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x?+bx+c與x軸交于A、B兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,E為AABC邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,

求ADEF周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖2,N為射線CB上的一點(diǎn)，M是拋物線上的一點(diǎn)，M、N均在第一象限內(nèi)，B、

N位于直線AM的同側(cè)，若M到x軸的距離為d,4AMN面積為2d,當(dāng)AAMN為等腰三角

形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

3.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，已知拋物線丁=依2+"+4（。/0）與*軸交于點(diǎn)人

（1,0）和B,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為x=*.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行

線交拋物線于點(diǎn)Q,連接OQ.當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理

由.

（3）如圖2,在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E,且

ZDQE=2ZODQ.在y軸上是否存在點(diǎn)F,使得石戶為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.（2021?湖北荊州市?中考真題）己知：直線y=—X+1與％軸、》軸分別交于A、3兩點(diǎn),

點(diǎn)C為直線A3上一動(dòng)點(diǎn)，連接OC,NAOC為銳角，在0C上方以0C為邊作正方形

OCDE,連接3E,設(shè)BE=t.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段A3上時(shí)，判斷砥與A3的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

圖1

（2）真接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo)（用含f的式子表示）；

（3）若tanNAOC=左，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線丁=⑦^(guò)+陵+4。＞。）頂點(diǎn)為「，且有

6a+3b+2c=0,△PQ4的面積為人.當(dāng).=交時(shí)，求拋物線的解析式.

2k2

5.（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=-尤2+8+。的圖

象與坐標(biāo)軸相交于A、3、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,3點(diǎn)坐標(biāo)為（—1,0）,連接AC、

BC.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒夜個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，

動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)，在線段B4上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到

達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

（1）求b、c的值；

（2）在p、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？

（3）在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)使AMPQ是以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的等腰直

角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，拋物線y=（x+l）（x—a）（其中。＞1）與X軸交于A、

B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

（1）直接寫出N0C4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；

（2）若點(diǎn)D為5c的外心，且△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為9：4,求此拋物線

的解析式；

（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y=（x+l）（x—。）上是否存在一點(diǎn)P,使得

NC4P=NDBA?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.（2021?四川中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=-尤2+6x+c交x軸于點(diǎn)A

和C（l,0）,交了軸于點(diǎn)3（0,3）,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式;

(2)將線段OE繞著點(diǎn)。沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段O?,旋轉(zhuǎn)角為a0。</<90。)，連接

AE',BE',求的最小值.

(3)M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為

頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

8.(2021?江蘇中考真題)如圖，拋物線丫=-)/+法+。與x軸交于A(-l,0),B(4,0),與，

軸交于點(diǎn)C.連接AC,BC,點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)/CAQ=NCBA+45。時(shí)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

⑶如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)H,

當(dāng)APFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長(zhǎng).

9.（2021?黑龍江中考真題）如圖，拋物線〉=。/+及+3（。*0）與*軸交于點(diǎn)4；1,0）和點(diǎn)

3（-3,0）,與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線ED上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)

的三角形與ABOC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

10.（2021?湖北中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=加+法+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,O）

和點(diǎn)8,與丁軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,T）.

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖1,若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足/PCB=NCBD,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）如圖2,M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MNLx軸交拋物線于點(diǎn)N,。是直線AC

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AQMV為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)

11.（2021?湖南中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱

該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”.例如（1,1）,（2021,2021）……都是"雁點(diǎn)”.

4

（1）求函數(shù)y=—圖象上的"雁點(diǎn)"坐標(biāo)；

x

（2）若拋物線y=ax2+5x+c上有且只有一個(gè)"雁點(diǎn)"E,該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)

M在點(diǎn)N的左側(cè)）.當(dāng)時(shí).

①求c的取值范圍；

②求的度數(shù)；

（3）如圖，拋物線y=-f+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物

線丫=-產(chǎn)+2苫+3上一點(diǎn)，連接BP,以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰必△BPC,是否存在點(diǎn)

P,使點(diǎn)C恰好為"雁點(diǎn)"？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.（2021,湖南中考真題）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與v軸交于點(diǎn)C,且。4=2,

OB=4,OC=8,拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)N.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與AMA?相似？

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)X軸上的點(diǎn)E,再走到拋物線對(duì)稱軸

上的點(diǎn)F,最后返回到點(diǎn)C.要使動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫出坐

標(biāo)，并求出最短路程.

（4）點(diǎn)Q是拋物線上位于X軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在X軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的

等腰放△CQR?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+4x經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),

與x軸正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M（八〃）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)機(jī)>0,n>0,且〃=3瓶時(shí)，

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

②若點(diǎn)在該拋物線上，連接。M,BM,C是線段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)M,B

不重合），過(guò)點(diǎn)C作CZ）〃MO,交X軸于點(diǎn)D,線段OD與MC是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖2,該拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)在對(duì)稱軸上，當(dāng)機(jī)>2,n>0,

且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)N,G為y軸

上一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為10,g）,連接GF.若EF+NF=2MF,求證：射線FE平分/AFG.

3

14.（2021?湖北中考真題）如圖，直線>=-萬(wàn)％+6與無(wú)軸交于點(diǎn)8,與>軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸

為線段A5的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)0、A重合）.

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)8、點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）連接PQ,在第一象限內(nèi)將AOPQ沿尸。翻折得到AEPQ,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.若

ZOQE=90°,求線段A0的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線廣依2-2a2尤+/+。+1("0)的頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

①若點(diǎn)C在AP0E內(nèi)部(不包括邊)，求。的取值范圍；

②在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)C,使|CQ-CE|最大？若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

15.(2021?青海中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與坐標(biāo)軸交于A8兩

點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)8在丁軸上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),拋物線y=a/+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,B,C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)根據(jù)圖象寫出不等式內(nèi)2+g_l)x+c>2的解集；

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線A3的垂線段，垂足為。點(diǎn)，當(dāng)=2時(shí),

求P點(diǎn)的坐標(biāo).

16.（2021?湖南中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y=af+6x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2,-3）且與x軸

交于原點(diǎn)及點(diǎn)8（8,0）.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；

（3）判斷AABO的形狀，試說(shuō)明理由；

（4）若點(diǎn)尸為。。上的動(dòng)點(diǎn)，且。。的半徑為2后，一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度沿線段轉(zhuǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段9勻速運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)8后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/的最小值.

17.(2021?山東中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=-：》+3與x軸交于點(diǎn)A,

與了軸交于點(diǎn)8,拋物線yngd+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)

(1)求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

25

(2)點(diǎn)E是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接￡B,EA,當(dāng)鉆的面積等于冷時(shí),

求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將直線A3向下平移，得到過(guò)點(diǎn)”的直線>=盛+”,且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取

點(diǎn)0(2,0),連接DM,求證：ZADM-ZACM=45°.

18.（2021?湖北中考真題）拋物線”爾-2bx+b（"0）與V軸相交于點(diǎn)C（0,-3）,且拋

物線的對(duì)稱軸為x=3,。為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于后、/兩點(diǎn)，若ADEF是

等腰直角三角形，求ADEF的面積；

（3）若尸（3#是對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值（用含f的代數(shù)式

表示）.

19.（2020?棗莊）如圖，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A（-3,0）,B（4,0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,AC,BC.M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PMJ_x軸，交拋物線于點(diǎn)P,

交BC于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PN_LBC,垂足為點(diǎn)N.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(m,0),請(qǐng)用含m的代數(shù)式表

示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

(3)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形

是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(2020?瀘州)如圖，已知拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過(guò)A(-2,0),B(4,0),C(0,4)

三點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)D,交線段AC于點(diǎn)E,若BD=5DE.

①求直線BD的解析式；

②已知點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸I上，且縱坐標(biāo)為1,點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的動(dòng)

點(diǎn)，且在I右側(cè)，點(diǎn)R是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若△PQR是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角

形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

專題21二次函數(shù)與幾何圖形綜合題(與特殊三角形問(wèn)題)

1.(2022?山東濱州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Y一2x-3與x軸相交于點(diǎn)A、

B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C,連接4C,BC.

⑴求線段AC的長(zhǎng)；⑵若點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)R4=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

⑶若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ABCW為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)JIU'⑵(1，T)⑶(1，-4)或(―2,5)或J-5+f］或1,,二,

【分析】(1)根據(jù)解析式求出A,B,C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長(zhǎng)；(2)求出對(duì)

稱軸為x=l,設(shè)P(1,t),用t表示出PA?和PC?的長(zhǎng)度，列出等式求解即可；(3)設(shè)點(diǎn)M

(m,m2-2m-3),分情況討論，當(dāng)CM?+3C?=ftW?,BM-+BC-=CM2,BM2+CM2=BC2

分別列出等式求解即可.

⑴

y=x2-2%-3與x軸交點(diǎn)：

令y=0,解得玉=-l,x2=3,

即A(-1,0),B(3,0),

y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)：

令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),

回AO=1,CO=3,

0AC=7AO2+CO2=7io；

(2)拋物線y=--2x-3的對(duì)稱軸為：x=l,

設(shè)P(1,t),

0PA2=(l+l)2+(r-0)2=4+/2,PC2=(l—oy+(r+3)2=l+(r+3?，

2

04+產(chǎn)=i+(f+3)

0t=-l,

團(tuán)p(1,-1);

⑶設(shè)點(diǎn)M(m,m2-2m-3),

BM2=(m—3)2+(加2-2m—3-0)2=(m-3)2+^m2-2m—3),

222

CM=(m-0)+(加之_2根一3+3『-m+(加2一2根『,

BC2=(3-0)2+(0+3)2=18,

①當(dāng)CM2+5。2=皿2時(shí)，

m2+^m2-2m)+18=(m-3)2+^m2—2m-3),

解得，呵=0(舍)，m2=1,

團(tuán)M(1,-4)；

②當(dāng)即r+以丁=CA/2時(shí)，

(m-3)2+(m2-2m-3)+18=m2+(m2-2m),

解得，叫=-2,e=3(舍)，

團(tuán)M(-2,5)；

③當(dāng)5"+。河2=及丁時(shí)，

(m-3)2+(m2-2m-3)+m2+(m2-2m)=18,

解得，m=［土"，

綜上所述：滿足條件的M為（1,-4）或（-2,5）或宇）或［\后，一二!.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、線段求值、存在直角三角形等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考?jí)狠S題.

2.（2022?四川省遂寧市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,E為AABC邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,

求ADEF周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖2,N為射線CB上的一點(diǎn)，M是拋物線上的一點(diǎn)，M、N均在第一象限內(nèi)，B、

N位于直線AM的同側(cè)，若M到x軸的距離為d,AAMN面積為2d,當(dāng)AAMN為等腰三角

形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

圖1圖2備用圖

【解析［解：(1)?.?拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(0,-3).

(1—b+c=0

tc=—3

fb=-2

tc=—3，

,拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

(2)如圖，設(shè)Di為D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，D2為D關(guān)于ZX直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接

由對(duì)稱性可知DE=DiE,DF=D2F,2kDEF的周長(zhǎng)=DIE+EF+D2F,

??.當(dāng)DI,E.F.D2共線時(shí)，ADEF的周長(zhǎng)最小，最小值為D1D2的長(zhǎng),

令y=0,則x2-2x-3=0,

解得x=-l或3,

.-.B(3,0),

...OB=OC=3,

??.△BOC是等腰直角三角形，

???BC垂直平分DD2,且D(-2,0),

??.D2(1,-3),

???D,Di關(guān)于x軸的長(zhǎng)，

,Di(0,2),

???D1D2=JD2c2+DIC2=A/52+M=后,

.-.△DEF的周長(zhǎng)的最小值為國(guó).

(3)?.?M到x軸距離為d,AB=4,連接BM.

**?S△ABM=2d,

又S△AMN=2d，

,*?SAABM~SAAMN，

??.B,N到AM的距離相等，

vB,N在AM的同側(cè)，

.-.AM||BN,

設(shè)直線BN的解析式為y=kx+m,

則有昭一3

fk=1

dm=-3，

???直線BC的解析式為y=x-3,

???設(shè)直線AM的解析式為y=x+n,

???A(-1,0),

??.直線AM的解析式為y=x+l,

由憂？.給解得仁城蟄

??.M(4,5),

???點(diǎn)N在射線BC上,

二設(shè)N(t,t-3),

過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線1,過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)P,交直線1于點(diǎn)Q.

.-.AM=5V2.AN=J(t+1)2+(t—3)2,MN=7(t-4)2+(t-8)2,

???△AMN是等腰三角形，

當(dāng)AM=AN時(shí)，5魚(yú)幻(t+1尸+(t-3/,

解得t=l土何，

當(dāng)AM=MN時(shí)，5V2=V(t-4)2+(t-8)2,

解得t=6±V21-

當(dāng)AN=MN時(shí)，J(t+1)2+(t—3尸=J(t一40+(t—8尸,

解得t=|,

?；N在第一象限，

7

.；t的值為a，1+V21,6+VH,

二點(diǎn)N的坐標(biāo)為弓，|）或（1+A/^I,-2+V^I）或（6+V21，3+V21）.

3.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，已知拋物線丁=g2+"+4（。/0）與*軸交于點(diǎn)人

（1,0）和B,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為x=3.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合）,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行

線交拋物線于點(diǎn)Q,連接0Q.當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理

由.

（3）如圖2,在（2）的條件下，D是0C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E,且

ZDQE=2Z0DQ.在y軸上是否存在點(diǎn)F,使得小呂斯為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）丁=必—5X+4；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見(jiàn)詳解；（3）（0,

25

一）或（0,1）或（0,-1）

8

【分析】

（1）設(shè)拋物線y=a（x—l）（x—4）,根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；

（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4,設(shè)P（x,-x+4）,則Q（x,爐一5%+4），（0<x<4）,

得至UPQ=—（%-2丫+4,從而求出線段PQ長(zhǎng)度最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM，y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QNIIy軸，過(guò)點(diǎn)E作ENIIx軸，交于點(diǎn)N,推出

MQNE

ZMDQ=ZDQN=ZEQN,從而得卡=三二；，進(jìn)而求出E（5,4）,設(shè)F（0,y）,

MDNQ

分三種情況討論，即可求解.

【詳解】

解：（1）：拋物線丁=4?2+云+4（。/0）與*軸交于點(diǎn)人（1,0）和B,與y軸交于點(diǎn)C,

對(duì)稱軸為直線x=3，

2

B(4,0),C(0,4),

設(shè)拋物線y=a(x—l)(x—4),把C(0,4)代入得：4=?(0-l)x(0-4),解得：a=l,

二拋物線的解析式為：y=x2-5x+4；

(2)-.1B(4,0),C(0,4),

???直線BC的解析式為：y=-x+4,

設(shè)P(x,-x+4),貝I]Q(x,%2_5%+4),(0<x<4),

,PQ=-x+4-(無(wú)2_5尤+4)=—％2+4x=—+4,

當(dāng)X=2時(shí)，線段PQ長(zhǎng)度最大=4,

此時(shí)，PQ=CO,

又PQIICO,

,四邊形OCPQ是平行四邊形；

(3)過(guò)點(diǎn)Q作QMJ_y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QNIIy軸，過(guò)點(diǎn)E作ENIIx軸，交于點(diǎn)N,

由(2)得：Q(2,-2),

「D是OC的中點(diǎn)，

.D(0,2),

QNIIy軸,

ZODQ=ZDQN,

文:ZDQE=2ZODQ,

NDQE=2ZDQN,

ZMDQ=ZDQN=NEQN,

MQNE

tanZMDQ=tanZEQN,即：而=

、2x—2c

設(shè)E(x,5x+4)，則了=―”,二、，解得：西=5,X=2(舍去)，

4x--5x+4-(-2)2

E(5,4),

設(shè)F(0,y),則所2=(4—oy+(o—,了=16+/,

EF2=(5-0)2+(4-y)2=25+(4-yj,BE2=(5-4)2+(4-0)2=17,

0/J

①當(dāng)BF二EF時(shí)，16+y?=25+（4-y）,解得：y=一，

8

②當(dāng)BF二BE時(shí)，16+/=17,解得：y=l或y=—l,

③當(dāng)EF二BE時(shí)，25+（4—y）2=17,無(wú)解，

25

綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0,—）或（0,1）或（0,-1）.

圖2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,

添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?湖北荊州市?中考真題）已知：直線y=T+l與％軸、》軸分別交于A、B兩點(diǎn),

點(diǎn)C為直線A3上一動(dòng)點(diǎn)，連接OC,NAOC為銳角，在OC上方以O(shè)C為邊作正方形

OCDE,連接比，設(shè)BE=t.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段A3上時(shí)，判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）真接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)（用含/的式子表示）；

（3）若tanNAOC=左，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線丁=依2+及+。（。＞0）頂點(diǎn)為尸，且有

6a+3b+2c=0,△PQ4的面積為」-?當(dāng).=交時(shí)，求拋物線的解析式.

2k2

【答案】（1）BE±AB,理由見(jiàn)解析；（2）（-Al一旦）；（3）y=%?-4x+3

22

【分析】

（1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，則可判斷AAOB是等腰直角三角形，然后結(jié)合正方形的旋轉(zhuǎn)

可證明AAOS△BOE（SAS）,可得NOBE=NOAC=45。，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）作輔助線如圖1（見(jiàn)解析），根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△M08△NEO,可得CM=ON,

OM=EN,由（1）的結(jié)論可得AC=BE=t,然后解等腰直角4ACM,可求出AM=CM=^7，

2

進(jìn)而可得答案；

（3）由拋物線過(guò)點(diǎn)A結(jié)合已知條件可求出拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,然后由（2）可求出

當(dāng)/=交時(shí)k=L進(jìn)一步即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是問(wèn)題可求

2

解.

【詳解】

解：(1)BE_LAB,理由如下：

對(duì)于直線y=-x+l,當(dāng)x=0時(shí)，y=l,當(dāng)y=0時(shí)，x=l,

/.B(0,1),A(1,0),

OA=OB=1,

/.ZOBA=ZOAB=45°,

V四邊形OCDE是正方形，

/.OC=OE,ZCOE=90°,

,/ZAOB=90°,

/.ZAOC=ZBOE,

/.△AOCM△BOE(SAS),

/.ZOBE=ZOAC=45°,

/.ZEBC=ZEBO+ZOBA=45°+45°=90°,

即BE±AB；

(2)作CM_LOA于點(diǎn)M,作EN_Lx軸于點(diǎn)N,如圖1,貝l」NCMO=NENO=90。,

,/ZEON+ZNEO=ZEON+ZCOM=90°,

/.ZNEO=ZCOM,

又;OC=OE,

/.△MOS△NEO,

/.CM=ON,OM=EN,

在aACM中，ZCMA=90°,ZMAC=45°,AC=BE=t,

AM=CM=-^-t，

2

OM=1—烏，

2

?.?點(diǎn)E在第二象限，

???點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-包心％);

22

(3)拋物線過(guò)點(diǎn)A(1,0),

a+b+c=O,

6a+3b+2c=0,

消去c可得b=-4a,

?,?拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,

如圖1,當(dāng)r=42時(shí)，由(2)可得AC=《Z,

22

AM=CM=-,

2

0M=X--=-=CM,

22

tanNAOC=l,即k=l,

?APOA的面積為上，

2

即;xlx|yp|=g,解得|詞=1,

a>0,

頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-1,

點(diǎn)P(2,-1),

設(shè)y=a(x-2)~-1,

把點(diǎn)A(1,0)代入，可求得a=L

拋物線的解析式是y=(x—2『—1=——4%+3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

一次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，具有一定的難度，熟練掌握相關(guān)

知識(shí)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?四川廣安市?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-尤2+8+。的圖

象與坐標(biāo)軸相交于A、3、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),3點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,0),連接AC、

BC.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒起個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，

動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，在線段B4上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到

達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接尸Q,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(2)在尸、。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形3CPQ的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使AMPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直

角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)b=2,c=3；(2)t=2,最小值為4；(3)(3+后，23+折)

48

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)過(guò)點(diǎn)P作PE±x軸，垂足為E,利用S四邊形BCPQ=SAABC&APQ表示出四邊形BCPQ的面積,

求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可;

(3)畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E,過(guò)M作y軸的垂線，與EP交于F,證

明^PFM空AQEP,得至1JMF=PE=t,PF=QE=4-2t,得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式,

求出t值，即可算出M的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)..,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(-1,0),

0=—9+3匕+c

則

0=-1-b+c

仿=2

解得：＜

c=3

(2)由(1)得：拋物線表達(dá)式為y="2+2x+3,C(0,3),A(3,0),

△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可知:

AP=J五，過(guò)點(diǎn)P作PE_Lx軸，垂足為E,

AE=PE=^=t,即E(3-t,0),

V2

又Q(-1+t,0)，

■S四邊形BCPQ=SAABC-SAAPQ

=gx4x3-：x[3-(-1+

=-t2-2t+6

2

???當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng),

AC=V32+32=3A/2,AB=4,

0<t<3,

.?.當(dāng)時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為3級(jí)-2x2+6=4；

2X22

(3)■.■點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E,過(guò)M作y軸的垂線，與EP交于F,

APMQ是等腰直角三角形，PM=PQ,NMPQ=90。，

ZMPF+ZQPE=90°,又NMPF+ZPMF=90°,

ZPMF=NQPE,

在^PFM和八QEP中，

Z=ZQEP

<ZPMF=ZQPE,

PM=PQ

...APFMV△Q,EP(AAS),

MF=PE=t,PF=QE=4-2t,

/.EF=4-2t+t=4-t,又0E=3-t,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3-2t,4-t),

.??點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，

4-t=-(3-2t)2+2(3-2t)+3,

解得：t=9-后或9+萬(wàn)（舍），

88

M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+而',23+M）.

48

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角

形面積，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

6.(2021,四川自貢市?中考真題)如圖，拋物線y=(x+D(x—a)(其中a>1)與x軸交于A、

B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫出NOC4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)(用a表示)；

(2)若點(diǎn)D為6c的外心，且△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為JIU：4,求此拋物線

的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x—上是否存在一點(diǎn)P,使得

NCAP=NDBA?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)NOCA=45°,AB=a+l；(2)y=x2-x-2；(3)存在，Pi(—',,

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出OA=OB=a,

OB=1,即可證明△OCA是等腰直角三角形，可得NOCA=45。，根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示

AB的長(zhǎng)；

(2)如圖，作△ABC的外接圓。D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=&a，利用兩點(diǎn)

間距離公式可用a表示出BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得ND=2ZOAC=90%可得△DBC是等

腰直角三角形，即可證明4DBO△OCA,根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求出

a值即可得答案；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH_LAB于H,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交X軸于F,過(guò)點(diǎn)。作OG_LAC

于G,連接AP交CF于E,可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的

解析式，根據(jù)外心的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可得出BH、DH的長(zhǎng)，

根據(jù)=ZBHD=NACE=90?？勺C明ABHD-△ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可

求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，

聯(lián)立直線AE與拋物線的解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可得答案.

【詳解】

(1)拋物線y=(x+l)(x—a)(其中。>1)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

當(dāng)x=0時(shí)，y=-a,

當(dāng)y=0時(shí)，(x+l)(x-a)=0,

解得：下=—1,%=。，

A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

/.OB=1,OA=OC=a,

△OCA是等腰直角三角形，

ZOCA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如圖，作AABC的外接圓OD,

???點(diǎn)D為△ABC的外心，

DB=DC,

???△OCA是等腰直角三角形，OA二a,

ZOAC=45°,AC=y[2a?

NBDC和NBAC是3c所對(duì)的圓心角和圓周角，

/.ZBDC=2ZBAC=90°,

ZDBC=45°,

/.ZDBC=ZOAC,

/.△DB5△OCA,

△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為Ji6：4，

.BC_曬即Va2+1_M

AC4缶4

解得：a=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)：±2是原方程的根，

<a>\,

a=2,

2

???拋物線解析式為：y=(X+1)(X-2)=X_X-2.

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH_LAB于H,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交X軸于F,O作OGJ_AC

于G,連接AP交CF于E,

「a=2,

C(0,-2),A(2,0),AC=2A/2>

,,,Z0cA=45",

ZOCF=45°,

?△OCF是等腰直角三角形，

F(-2,0),

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b,

-2k+b=0

b=-2

k=-l

解得：《

b=-2,

直線CF的解析式為y=-x-2,

△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

.〔OG所在直線為AC的垂直平分線，點(diǎn)G為AC中點(diǎn),

???點(diǎn)D為6c的外心，

.,.點(diǎn)D在直線OG上，

A(2,0),C(0,-2),

G(1,-1),

設(shè)直線0G的解析式丫=!!^,

m=-l,

???直線0G的解析式y(tǒng)=-x,

???點(diǎn)、D為AABC的外心，

.,.點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為一-1「+2二二1,

把x=g代入y=-x得y=-g,

113

/.DH=—,BH=1+—=-,

222

???/CAP=/DBA,ZBHD=ZACE=90°,

/.△BHD?△ACE,

3

PH祟即上

~CE2

CE2A/2

解得“考

,??點(diǎn)E在直線CF上，

「?設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（n,-n-2）,

設(shè)直線AEi的解析式為y=kix+bi,

’24

—k+4=—

,-.<31}13,

2k]+4=0

解得：＜

b、=-1

???直線AEi的解析式為y=：x—1,

同理：直線AE2的解析式為y=2x—4,

'1,

V——x-1

聯(lián)立直線AEI解析式與拋物線解析式得r2

2c

y=x-x-2

1

X]=fG

解得：\；2，%=2c（與點(diǎn)A重合，舍去），

、，-9M=o

y=2x-4

聯(lián)立直線AE2解析式與拋物線解析式得＜2C

y=x-x-2

%—1x?=2

解得：＜C（與點(diǎn)A重合，舍去），

J=—2[%=0

P2(1,-2).

綜上所述：存在點(diǎn)P,使得NC4P="BA,點(diǎn)p坐標(biāo)為P1（―,P2（1，-2）.

24

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圓周角

定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.

7.（2021?四川中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=-/+法+＜?交無(wú)軸于點(diǎn)A

和C（l,0）,交V軸于點(diǎn)8（0,3）,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式；

（2）將線段OE繞著點(diǎn)。沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段O?,旋轉(zhuǎn)角為1（0。＜/＜90。），連接

AE',BE：求的最小值.

（3）M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為

頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）漁1；（3）存在，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2,-1,土石

32

或土立.

2

【分析】

（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，設(shè)解析式為、=-犬+法+。將C（1,O）,3（0,3）兩點(diǎn)代

入求得b,c的值即可；

（2）胡不歸問(wèn)題，要求的值，將折線化為直線，構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)化

為;DE，,再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得8E'+；AE'最值；

（3）分2種情形討論：①AB為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質(zhì)可以求得

N點(diǎn)的坐標(biāo)；

②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),RN=3AB,利用兩點(diǎn)距離公式求解方程可得N點(diǎn)

的坐標(biāo).

【詳解】

解：（1）;y=-%2+—+c過(guò)C（l,0）,B（0,3）

.J-l+b+c=0

,,〔c=3

b=—2,c=3

二拋物線的解析式為：J=-X2-2X+3

（2）在OE上取一點(diǎn)。，使得OD=；OE,連接BD

?：OD=-OE=-OE'

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對(duì)稱軸彳=:一二一］

2

/.￡(-1,0),OE=\

OE'=OE=1,OA=3

.OE'OP_1

ZDOE'=ZE'OA

*~OA~~OE'~3

：.ADOE^AE'OA

/.DE'=-AE'

3

：.BE'+-AE'=BE'+DE'

3

當(dāng)8,。三點(diǎn)在同一點(diǎn)直線上時(shí)，BE*DE，最小為BD.

在RtABOD中，OD=」，OB=3

3

/.BD