計數(shù)原理與概率統(tǒng)計-2025高考數(shù)學一輪復習易混易錯專項復習

（9）計數(shù)原理與概率統(tǒng)計——2025高考數(shù)學一輪復習易混易錯專項

復習

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

2.已知［+?。郏╝>0）的展開式中常數(shù)項為240,則（x+a）（x-2a）2的展開式中/的

系數(shù)為（）

A.10B.-8C.-6D.4

3.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收

入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

4.某班50名同學參加體能測試，經(jīng)統(tǒng)計成績。近似服從N（90,a2）,若

尸（90Wc495）=0.3,則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.30

5.某中學教師節(jié)活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A,B,C,D,E

這5個項目.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動，每位教師上午、下午各

參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午

參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E,甲、乙、丙不能參加上午的項目A和

下午的項目E,其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.20B.40C.66D.80

二、多項選擇題

6.我國新冠肺炎疫情防控進入常態(tài)化，各地有序推動復工復產(chǎn).下面是某地連續(xù)11天

的復工、復產(chǎn)指數(shù)折線圖.

9

2%

9以

8

88%

86%

4%

82%

80,/

78%

76%

根據(jù)該折線圖，（）

A.這11天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.在這11天期間，復產(chǎn)指數(shù)的增量大于復工指數(shù)的增量

C.第3天至第11天，復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)都超過80%

D.第9天至第11天，復產(chǎn)指數(shù)的增量大于復工指數(shù)的增量

7.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色

外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件A和4表示從甲

箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件3表示從乙箱中取出

的兩球都是紅球，則（）

3Q119

AWA）/B.P（叫4）=而C.P（B）=-D.P（A|B）=H

三、填空題

8.某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，

小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密

碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正

確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則小王至少嘗試兩次才能成功

的概率是..

9.從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設抽取

的次品數(shù)為J,則E(5J+2)=.

四、解答題

10.中國跳水隊有“跳水夢之隊”的稱號，在國際賽場上有絕對的優(yōu)勢，同時跳水運

動也得到了廣泛推廣，獲得了越來越多人的喜愛.現(xiàn)有A,B,C,…，J共10位跳水運

動愛好者自發(fā)組建了跳水訓練營，并邀請教練甲幫助訓練.教練訓練前對10位跳水員

進行測試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓后再進行測試打分，10位跳水員得分

情況如圖中實線所示.規(guī)定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優(yōu)秀”.

12得分

10

8

6

4

2

0

mt'wagii吸水員

?---訓練前—訓練后

“優(yōu)秀”人數(shù)“非優(yōu)秀”人數(shù)合計

訓練前

訓練后

合計

(1)將上面的列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，判斷跳水員

的優(yōu)秀情況與訓練是否有關，并說明原因.

(2)從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓練后為“優(yōu)秀”的條件下，求這3

人中恰有1人訓練前也為“優(yōu)秀”的概率.

(3)跳水員A將對“5m,7.5m和10m”這三種高度的跳水運動進行集訓，且在訓

練中進行了多輪測試.規(guī)定：在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的

跳水測試達到“優(yōu)秀”，則該輪測試才記為“優(yōu)秀”.每輪測試中，跳水員A在每個高

度中達到“優(yōu)秀”的概率均為工，每個高度的跳水運動是否達到“優(yōu)秀”互不影響且

3

每輪測試互不影響.如果跳水員A在集訓測試中想獲得“優(yōu)秀”的輪數(shù)平均值為3,那

么理論上至少要進行多少輪測試？

附：%2=-------------------------------,其中〃=。+6+。+2.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

參考答案

1.答案：D

解析：從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，取法有{2,3},{2,4},{2,5},

{2,6},{2,7},{2,8},{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{4,5},{4,6},{4,7},

{4,8},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{6,8},{7,8},共21種,其中這2個數(shù)互質(zhì)的情

況有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},

14?

{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14種.所以這2個數(shù)互質(zhì)的概率尸=五=§.故選D.

2.答案：C

解析：因為1+于1的展開式的通項為&|=c產(chǎn)（2]=屋，「全，令

6-|廠=0,得廠=4,所以（》+9）6的展開式中常數(shù)項為CQ4=240,又a>Q,解得

a=2,所以（x+2）（x-4）2的展開式中含/的項為X（_8X）+2X2,故所求系數(shù)為-6.

3.答案：C

解析：由頻率分布直方圖知年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為

（0.02+0.04）x1=0.06=6%,故A正確；年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為

（0.04+0.02x3）x1=0.10=10%,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10

+10x0.10+1lx0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5,故C錯誤；年收入介于

4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為（0.10+0.14+0.20+0.20）xl=0.64>0.5,故D

正確.故選C.

4.答案：B

解析：由。近似服從N（90,b2）,可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為〃=90,

貝I]P（85<c<90）=P（90<c<95）=0.3,

所以P（c<85）=g[l—2P（90KcV95）]=0.2,

則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為50x0.2=10人,

故選：B.

5.答案：C

解析：因為丁必須參加上午的項目E,甲、乙、丙不能參加上午的項目A,所以上午

甲、乙、丙參加3,C,。這3個項目，共有A；種不同的安排方法.

易知甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為A,B,C,D,

分2類：①丁參加項目A,共有2種不同的安排方法；

②丁參加3,C,。這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A,剩下兩

人參加剩下的2個項目，共有C；xC；xl種不同安排方法.

綜上，共有A；（2+C；*C；x1）=66種不同的安排方法.故選C.

6.答案：CD

解析：由題圖可知第8,9天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均減小，故A錯誤；第1天時復工指

數(shù)小于復產(chǎn)指數(shù)，第H天時兩指數(shù)相等，故復產(chǎn)指數(shù)的增量小于復工指數(shù)的增量，故

B錯誤；由題圖可知第3天至第11天，復工復產(chǎn)指數(shù)都超過80%,故C正確；第9天

至第11天，復產(chǎn)指數(shù)的增量大于復工指數(shù)的增量，故D正確.

7.答案：ACD

解析：依題意可得P(A)=<P(4)=gP(5|A)=*4,P(B|4)=葛$，

JJ-1-V_7tJ.\J

所以P（5）=P（A）P（3|A）+P（4）P（M4）=|><2+|X$=故A正確、B錯誤、

C正確；

12

H4|B）=修叫））：（&）=<17

—,故D正確.

\，P（B）P（B）1111

50

8.答案：工

3

解析：由題意得，小王嘗試三次才成功的概率為』=L，小王嘗試三次也沒成功

6546

5431111

的概率為—x—x—=-，所以小王至少嘗試兩次才能成功的概率為1--------=-.

6542623

9.答案：4

解析：解法一：依題意知自服從參數(shù)為15,2,3的超幾何分布，所以

2x32

E^）=-=-,所以E（5J+2）=5EC）+2=4.

解法二：依題意得，J的可能取值為0,1,2,則p（J=0）=唐=||,

C2cl12C1C21

===p(^=2)=-^l=—

C：535C：535

221212

所以石?=0x——+lx——+2x——=—

3535355

所以E(5J+2)=5EC)+2=4.

10.答案：（1）列聯(lián)表見解析，跳水員的優(yōu)秀情況與訓練有關，此推斷犯錯誤的概率

不超過0.01

3

⑵-

7

（3）至少要進行12輪測試

解析：（1）零假設8°：跳水員的優(yōu)秀情況與訓練無關.

列聯(lián)表為

“優(yōu)秀”人數(shù)非“優(yōu)秀”人數(shù)合計

訓練前2810

訓練后8