高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：函數(shù)

函數(shù)

第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的表示法三、函數(shù)的幾種特性一、函數(shù)的概念1.常量與變量

在某過(guò)程中不發(fā)生變化而保持一定數(shù)值的量稱(chēng)為常量;在某過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量稱(chēng)為變量.常量通常用字母等表示,變量通常用字母等表示.2.函數(shù)的概念

定義1

設(shè)是兩個(gè)變量,是一個(gè)給定的數(shù)集.如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,使得對(duì)于每一個(gè)數(shù)值

,變量都有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)變量是變量的函數(shù),記為其中稱(chēng)為自變量,稱(chēng)為因變量.集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域,記為.

當(dāng)自變量取數(shù)值時(shí),與對(duì)應(yīng)的的值稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值,記為或,函數(shù)值組成的數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的值域,記為.

函數(shù)的兩要素:定義域和對(duì)應(yīng)法則.如果兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則,那么它們是相同的函數(shù).例1

下列函數(shù)是否相同，為什么？解

⑴

與不是相同的函數(shù),因?yàn)槎x域不同.⑵

與是相同的函數(shù),因?yàn)槎x域與對(duì)應(yīng)法則都相同.注

求函數(shù)定義域時(shí)應(yīng)注意的一般規(guī)律開(kāi)偶次方,根號(hào)內(nèi)的表達(dá)式不小于零;

對(duì)數(shù)中的真數(shù)必須大于零;

分式中的分母不能為零;

反正弦和反余弦符號(hào)下的表達(dá)式的絕對(duì)值不能大于1;

分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.二、函數(shù)的表示法1.解析法例2

作自由落體運(yùn)動(dòng)的物體下落時(shí)間為,下落的距離為,假定開(kāi)始下落的時(shí)刻為,那么與之間的依賴(lài)關(guān)系由下式給出:當(dāng)時(shí)間變化時(shí),距離作相應(yīng)的變化.

有些函數(shù)在其定義域上的對(duì)應(yīng)法則不能由一個(gè)式子表示,即在定義域的不同范圍內(nèi)用不同的解析式表示,這成為分段函數(shù).如符號(hào)函數(shù)如圖1.圖1時(shí)間（月）123456產(chǎn)量（噸）1032102410271038105710472.表格法例3

某煉鋼廠(chǎng)上半年生產(chǎn)的鋼產(chǎn)量如下表，這里的時(shí)間(月)和產(chǎn)量(噸)之間是兩個(gè)相互依賴(lài)的變量.對(duì)每個(gè)月份,都有唯一一個(gè)與相應(yīng)的產(chǎn)量.3.圖像法例4

某自動(dòng)記錄儀記錄的某電容放電的電容情況,如圖2所示的曲線(xiàn).圖2

根據(jù)此曲線(xiàn),就可知道某電容隨時(shí)間的變化情況.三、函數(shù)的幾種特性1.函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),對(duì)于任意的,若,則稱(chēng)為奇函數(shù);若,則稱(chēng)為偶函數(shù).注①奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);②一個(gè)函數(shù)可以既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),

如函數(shù).2.函數(shù)的周期性

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果存在一個(gè)常數(shù),使得對(duì)任意有,且

,則稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù),稱(chēng)為的周期.

顯然,若是周期函數(shù)的周期,則也是的周期,通常說(shuō)的周期就是最小正周期.

如函數(shù)和都是以為周期的周期函數(shù).3.函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,對(duì)內(nèi)的任意兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),若有,則稱(chēng)在上是單調(diào)增加的;若有,則稱(chēng)在上是單調(diào)減少的.它們統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).使函數(shù)保持單調(diào)性的自變量的取值區(qū)間稱(chēng)為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

.

如函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的,函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)減少的.4.函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果存在正常數(shù),使得對(duì)于區(qū)間內(nèi)所有,恒有,則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上有界.如果這樣的不存在,則稱(chēng)在區(qū)間上無(wú)界.

如函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是有界的.這是因?yàn)閷?duì)于任意的都有成立.而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是無(wú)界的.第二節(jié)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)三、初等函數(shù)四、反函數(shù)與隱函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)一、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)

⑴冪函數(shù)(為實(shí)數(shù));⑵指數(shù)函數(shù)(是常數(shù)且);⑶對(duì)數(shù)函數(shù)(是常數(shù)且);⑷三角函數(shù)⑸反三角函數(shù)arccot二、復(fù)合函數(shù)

定義2

設(shè)是的函數(shù),而又是的函數(shù).如果對(duì)于的定義域中某些值所對(duì)應(yīng)的值,函數(shù)有定義,則通過(guò)也成為的函數(shù),稱(chēng)為由及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),記為,其中稱(chēng)為中間變量.

注只有當(dāng)時(shí),復(fù)合函數(shù)才有意義.如無(wú)意義,因?yàn)閮?nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域沒(méi)有公共部分,不能復(fù)合.例1

函數(shù)是有哪些較簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合而成的?解是由三個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合而成的.

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成,并可用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù).

如等都是初等函數(shù).三、初等函數(shù)

在工程技術(shù)中常常用到雙曲函數(shù),其定義如下:

雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切

關(guān)于雙曲函數(shù)的一些恒等式：四、反函數(shù)與隱函數(shù)1.反函數(shù)

設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù),其值域?yàn)?如果對(duì)每一數(shù)值,有確定的且滿(mǎn)足的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),其對(duì)應(yīng)法則記為

,則定義在上的函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的反函數(shù).

習(xí)慣上用表示自變量,表示因變量,故常把的反函數(shù)記為例2

求的反函數(shù).解由得交換和,得所以是的反函數(shù).

注函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).2.隱函數(shù)

由二元方程確定的二元函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù).如

前面學(xué)習(xí)的形如的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù).

注有的隱函數(shù)可以改寫(xiě)為顯函數(shù)的形式,如的顯函數(shù)形式為而