河北省滄州市滄縣鳳化店中學2024屆高三年級第二次診斷性測驗數學試題試卷

河北省滄州市滄縣鳳化店中學2024屆高三年級第二次診斷性測驗數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數（，為自然對數的底數）,定義在上的函數滿足，且當時，．若存在，且為函數的一個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．函數的一個單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．4．若，，則的值為（）A． B． C． D．5．函數在上的圖象大致為（）A． B． C． D．6．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機選出兩名，把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（）A． B． C． D．7．以下三個命題：①在勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；其中真命題的個數為（）A．3 B．2 C．1 D．08．已知是邊長為1的等邊三角形，點，分別是邊，的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）A． B． C． D．9．設復數滿足（為虛數單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．11．雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．612．復數為純虛數，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過動點作圓：的切線，其中為切點，若（為坐標原點），則的最小值是__________．14．已知橢圓的左右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于，若三角形的面積等于，則該橢圓的離心率為________.15．在平面直角坐標系中，曲線在點處的切線與x軸相交于點A，其中e為自然對數的底數.若點，的面積為3，則的值是______.16．若，則=____，=___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖在四邊形中，，，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）已知函數（I）若討論的單調性；（Ⅱ）若，且對于函數的圖象上兩點，存在，使得函數的圖象在處的切線.求證：.19．（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據題中數據寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數的平均數和眾數；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為(單位：元)，求的分布列和數學期望；（3）根據題中數據估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線、的極坐標方程；（2）在極坐標系中，射線與曲線，分別交于、兩點（異于極點），定點，求的面積21．（12分）已知函數，.（1）若不等式對恒成立，求的最小值；（2）證明：.（3）設方程的實根為.令若存在，，，使得，證明：.22．（10分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點.?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先構造函數，由題意判斷出函數的奇偶性，再對函數求導，判斷其單調性，進而可求出結果.【詳解】構造函數，因為，所以，所以為奇函數，當時，，所以在上單調遞減，所以在R上單調遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數的一個零點，所以在時有一個零點因為當時，，所以函數在時單調遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數與方程的綜合問題，難度較大.2、B【解析】

設點位于第二象限，可求得點的坐標，再由直線與直線垂直，轉化為兩直線斜率之積為可得出的值，進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標為，縱坐標為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關鍵就是得出、、的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.3、D【解析】

利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據三角函數單調區(qū)間的求法，求得的單調區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數的恒等變換，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合思想，應用意識.4、A【解析】

取，得到，取，則，計算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，取和是解題的關鍵.5、C【解析】

根據函數的奇偶性及函數在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數為奇函數.所以函數圖象關于原點對稱，排除選項A，B；當時，，，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性的判定及奇偶函數圖像的對稱性，屬于中檔題.6、B【解析】

根據組合知識，計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數為，然后計算和分在一組的數目為，最后簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊混合雙打的總數為：和分在一組的數目為所以所求的概率為故選：B【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細心計算，考驗分析能力，屬中檔題.7、C【解析】

根據抽樣方式的特征，可判斷①；根據相關系數的性質，可判斷②；根據獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎題．8、D【解析】

設，，作為一個基底，表示向量，，，然后再用數量積公式求解.【詳解】設，，所以，，，所以.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.9、A【解析】

由復數的除法運算可整理得到，由此得到對應的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復數對應的點所在象限的求解，涉及到復數的除法運算，屬于基礎題.10、C【解析】

由可得，再利用計算即可.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查二倍角公式的應用，考查學生對三角函數式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎題.11、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±22x，圓心坐標為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系，屬于基礎題.12、B【解析】

復數為純虛數，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b?7=0.∴a，b滿足的關系為：4a+4b?7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直線4a+4b?7=0上取一點到原點距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b?7=0，由點到直線的距離公式得：MN的最小值為：.14、【解析】

由題得直線的方程為，代入橢圓方程得：，設點，則有，由，且解出，進而求解出離心率.【詳解】由題知，直線的方程為，代入消得：，設點，則有，，而，又，解得：，所以離心率.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關系，三角形面積計算與離心率的求解，考查了學生的運算求解能力15、【解析】

對求導，再根據點的坐標可得切線方程，令，可得點橫坐標，由的面積為3，求解即得.【詳解】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【點睛】本題考查利用導數研究函數的切線，難度不大.16、12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項公式為，當時，為，即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數有關問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）【解析】

（1），在和中分別運用余弦定理可表示出，運用算兩次的思想即可求得，進而求出；（2）在中，根據余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面積公式以及正弦函數的有界性，求出的面積的最大值．【詳解】（1）由題設，則在和中由余弦定理得：，即解得，∴（2）在中由余弦定理得，即，∴所以面積的最大值為，此時.【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形面積公式的應用，意在考查學生的數學運算能力，屬于中檔題．18、(1)見解析(2)見證明【解析】

(1)對函數求導，分別討論，以及，即可得出結果；(2)根據題意，由導數幾何意義得到，將證明轉化為證明即可，再令，設，用導數方法判斷出的單調性，進而可得出結論成立.【詳解】（1）解：易得，函數的定義域為，，令，得或.①當時，時，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.②當時，時，，函數單調遞減；或時，，函數單調遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.③當時，時，，函數單調遞增；此時，的減區(qū)間為.綜上，當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為：當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.；當時，增區(qū)間為.（2）證明：由題意及導數的幾何意義，得由（1）中得.易知，導函數在上為增函數，所以，要證，只要證，即，即證.因為，不妨令，則.所以，所以在上為增函數，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點睛】本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，利用導數的方法研究函數的單調性以及函數極值等即可，屬于?？碱}型.19、（1）平均數為360，眾數為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數據相加，再除以總的天數10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數的平均數．從中發(fā)現330出現的次數最多，故為眾數；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應的概率，由此能求出的分布列和數學期望；（3）利用（1）（2）的結果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數的平均數為.眾數為330.（2）設乙公司員工1天的投遞件數為隨機變量，則當時，當時，當時，當時，當時，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元)由（2）估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題.20、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數方程化成普通方程，再利用極坐標的公式把普通方程化成極坐標方程；（2）先利用極坐標求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標方程為：，因為曲線的普通方程為：，曲線的極坐標方程為；（2）由（1）得：點的極坐標為，點的極坐標為，，點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數方程與極坐標方程之間的互化，同時也考查了利用極坐標方程求解面積問題，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）（2）證明見解析