2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【新定義問題】圓中的新定義問題（解析版）

圓中的新定義問題知識方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運(yùn)用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.3．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?．弧長的計(jì)算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．一．填空題（共2小題）1．（2021?祿勸縣模擬）如圖，是正三角形，曲線叫做“正三角形的漸開線”，其中弧、弧、弧的圓心依次按、、循環(huán)，它們依次相連接．若，則曲線的長是．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；弧長的計(jì)算【分析】曲線的長由弧，弧，弧組成，它們所對的圓心角都為，而半徑分別為1，2，3，根據(jù)弧長公式分別計(jì)算三個(gè)弧長，求它們的和即可．【解答】解：是正三角形，，又，，，，弧的長度；弧的長度；弧的長度；所以曲線的長為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了弧長的計(jì)算公式：，其中表示弧長，表示弧所對的圓心角的度數(shù)．2．（2020?成都模擬）如圖，在中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱為的中內(nèi)弧，例如，圖中是其中的某一條中內(nèi)?。粼谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)，，，在中，，分別是，的中點(diǎn)，的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是或．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形中位線定理；垂徑定理【分析】先判斷出點(diǎn)在線段的垂直平分線上，再求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，再分點(diǎn)在上方和下方，即可得出得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接，由垂徑定理可知，圓心一定在線段的垂直平分線上，作的垂直平分線，，分別是，的中點(diǎn)，且，，，，，，若圓心在線段上方時(shí)，設(shè)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心在線段上方射線上均可，，當(dāng)圓心在線段下方時(shí)，，，，，作交直線于，，根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)的下方（含點(diǎn)的直線上時(shí)也符合要求；，綜上所述，或，故答案為或．【點(diǎn)評】此題主要考查了新定義，垂徑定理，三角形的中位線，線段的垂直平分線定理，找出點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解本題的關(guān)鍵．二．解答題（共18小題）3．（2021秋?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為2．點(diǎn)P，Q為⊙O外兩點(diǎn)，給出如下定義：若⊙O上存在點(diǎn)M，N，使得以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則稱點(diǎn)P，Q是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)A，B，C，D橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在點(diǎn)B，C，D中，與點(diǎn)A組成⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的點(diǎn)是B、C；（2）點(diǎn)E（t，t）在第一象限，點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于x軸對稱，若點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍；（3）點(diǎn)G在y軸上，若直線y＝4上存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)yG的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）根據(jù)⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義，利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷即可；（2）由題意可得點(diǎn)E（t，t）在直線y＝x上，利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的線段的長度不大于圓的直徑列出不等式，解不等式即可得出結(jié)論；（3）利用分類討論的思想分析得到點(diǎn)G的大致位置，通過計(jì)算點(diǎn)G，H的最大臨界值即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示，在點(diǎn)B，C，D中，與點(diǎn)A組成⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的點(diǎn)是：B，C，故答案為：B，C．（2）∵點(diǎn)E（t，t）在第一象限，∴點(diǎn)E（t，t）在直線y＝x上，設(shè)直線y＝x與⊙O交于點(diǎn)M（a，a），可知OM＝2，∴a2+a2＝OM2＝4，解得：a＝±，∵點(diǎn)M在第一象限，∴a＞0，∴a＝．由⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可知：⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在圓外，∴OE＞OM，∴t＞．∵點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于x軸對稱，∴EF＝2t，由題意：EF≤2×2＝4，∴2t≤4．解得：t≤2．∴若點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，t的取值范圍：＜t≤2．（3）當(dāng)yG＝4時(shí)，如圖所示：顯然，直線y＝4上不存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；當(dāng)yG＜4時(shí)，如圖所示：顯然，直線y＝4上不存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；當(dāng)yG＞4時(shí)，顯然，直線y＝4上存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，如圖所示：點(diǎn)G，H是⊙O的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，MN為⊙O的直徑，∵GH≤MN，∴此時(shí)，GH取得最大值，yG取得最大值．設(shè)yG＝m，m＞4，直線y＝4與y軸交于點(diǎn)K，則OG＝m，GK＝m﹣4．則四邊形GHNM是矩形，∴GH＝MN＝4，∠M＝∠MGH＝90°．∴∠MGO+∠HGK＝90°，∵GK⊥KH，∴∠HGK+∠GHK＝90°．∴∠MGO＝∠GHK．∵∠M＝∠GKH＝90°，∴△MGO∽△KHG，∴．∴．解得：m＝2±2．∵m＞4，∴m＝2+2．∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)yG的取值范圍：4＜yG≤2+2．【點(diǎn)評】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，圓的直徑，矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，本題是新定義型題目，理解題干的新定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上任意兩點(diǎn)間的距離有最大值，將這個(gè)最大值記為．對點(diǎn)及圖形給出如下定義：點(diǎn)為圖形上任意一點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間的距離有最大值，且最大值恰好為．則稱點(diǎn)為圖形的“倍點(diǎn)”．（1）如圖1，圖形是半徑為1的．①圖形上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為2；②在點(diǎn)，，中，的“倍點(diǎn)”是；（2）如圖2，圖形是中心在原點(diǎn)的正方形，點(diǎn)．若點(diǎn)是正方形的“倍點(diǎn)”，求的值；（3）圖形是長為2的線段，為的中點(diǎn)，若在半徑為6的上存在線段的“倍點(diǎn)”，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)組成的圖形的面積．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）①根據(jù)定義解答可；②分別找出、、的最大值，再根據(jù)定義判斷即可；（2）正方形上的任意兩點(diǎn)間的距離最大值為，若點(diǎn)是正方形的“倍點(diǎn)”，則點(diǎn)到上點(diǎn)的最大距離好為．結(jié)合圖形即可求解；（3）分線段在內(nèi)部和在外兩種情況討論即可求解．【解答】解：（1）①圖形是半徑為1的，圖形上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為2．故答案為：2；②如圖1，連接并延長交于點(diǎn)，，，不是的“倍點(diǎn)”；到上各點(diǎn)連線中最大距離為，不是的“倍點(diǎn)”；到上各點(diǎn)連線中最大距離為，是的“倍點(diǎn)”．故答案為：．（2）如圖2，在正方形中，正方形上任意兩點(diǎn)之間距離的最大距離，，由圖可知當(dāng)點(diǎn)在如圖所示的位置時(shí)，是正方形的“倍點(diǎn)“，，的值為：3或．（3）上，，當(dāng)線段在內(nèi)部時(shí)，組成的圖形為半徑為4的圓，；當(dāng)線段在外部時(shí)，組成的圖形為半徑為8的圓，，故點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為或．【點(diǎn)評】此題考查考查了圓的性質(zhì)和新定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考壓軸題．5．（2021秋?豐臺區(qū)期末）對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：若圖形和圖形有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)是圖形和圖形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知點(diǎn)，，，．（1）直線經(jīng)過點(diǎn)，的半徑為2，在點(diǎn)，，中直線和的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)；（2）為線段中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），若和有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求半徑的取值范圍；（3）的圓心為點(diǎn)，，半徑為，直線過點(diǎn)且不與軸重合．若和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，請直接寫出的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）利用“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）由題意判定出為等邊三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，依據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義判定出圓心的位置，利用即可得出結(jié)論；（3）由題意判定出和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的軌跡是以為直徑的半圓，除外），根據(jù)題意求得直線的兩個(gè)臨界值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），，，，，點(diǎn)到的距離為2．的半徑為2，是的切線．直線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與相交，而過點(diǎn)的直線有無數(shù)條，在點(diǎn)，，中直線和的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)．故答案為：點(diǎn)；（2）由題意畫出圖形如下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，，．．，，．為的垂直平分線．．，．為等邊三角形．，，是的垂直平分線．點(diǎn)是的外心．．為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），和有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，點(diǎn)在線段上與，不重合），半徑．平分，．，．．，由題意：，．半徑的取值范圍為：；（3）設(shè)直線與相切于點(diǎn)，如圖，則點(diǎn)為直線與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．，，的半徑為，是的切線．由切線長定理可得：．和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的軌跡是：以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓（與軸的交點(diǎn)，除外），即點(diǎn)的軌跡是以為直徑的半圓，除外）．由題意：．和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得：．設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則，．．．．．和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，當(dāng)直線與以為直徑的半圓相切時(shí)，取得最大值，設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)于點(diǎn)，，．．．．，的取值范圍為：．【點(diǎn)評】本題是一道圓的綜合題，主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?大興區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，以點(diǎn)為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，對于點(diǎn)和，給出如下定義：若拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為，則稱點(diǎn)為的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）已知，，，，，，在點(diǎn)，，，中，的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是，；（2）已知的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在第一象限，若，判斷與的位置關(guān)系，并證明；（3）已知，，當(dāng)?shù)摹皥D象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在外且在四邊形內(nèi)時(shí)，直接寫出拋物線中的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由拋物線及圓的對稱性可知，的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在線段的垂直平分線上，由此可判斷；（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明即可；（3）求出點(diǎn)縱坐標(biāo)為1.5或2時(shí)的函數(shù)解析式，再判斷的取值范圍即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為，則頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在點(diǎn)，，，中，點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，在點(diǎn)，，，中，的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是，；故答案為：，．（2）與的位置關(guān)系是：相切．為的直徑，為的中點(diǎn)．，，．．連接．為的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)在拋物線的對稱軸上．是的垂直平分線．．過點(diǎn)作于．．．與相切．（3）由（1）知，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（2）知的半徑為1.5，已知，，當(dāng)?shù)摹皥D象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在外且在四邊形內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)范圍大于1.5且小于2，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)代入得，；當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)代入得，；的取值范圍為：．【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生認(rèn)真理解題意．7．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）平面內(nèi)的和外一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)在，之間），點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)．若以為邊的正方形的面積等于分別以，為一組鄰邊的矩形的面積，則稱正方形為點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”，該正方形的中心稱為點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”．如圖所示，正方形的面積等于矩形的面積，其中，稱正方形為點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”，該正方形中心點(diǎn)稱為點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”．特別的，當(dāng)點(diǎn)恰好在上時(shí)，稱此時(shí)正方形的中心為點(diǎn)關(guān)于的“單純原本點(diǎn)”．（1）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為4，．①過點(diǎn)的直線與軸重合，則點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長為；②過點(diǎn)的直線與軸夾角為，則點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有個(gè)．（2）的圓心為，半徑為1．點(diǎn)為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．直線與，軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”，求的取值范圍．（3）的圓心為，，半徑為．點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，且．若直線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“單純原本點(diǎn)”，直接寫出的最小值．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）①根據(jù)新定義設(shè)點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長為，得出、的坐標(biāo)，即可求得答案；②根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證得，得出，再由橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)即可得出答案；（2）根據(jù)“原本正方形”的定義，分別求出的最小值和最大值，即可得出答案；（3）如圖4，過點(diǎn)作于，交于，連接，以為邊長作正方形，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，先求出，，，利用三角函數(shù)得出，根據(jù)直線上點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“單純原本點(diǎn)”，求出、，再根據(jù)三角函數(shù)定義建立方程求解即可．【解答】解：（1）①設(shè)點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長為，如圖1，的半徑為4，，，，，，，，，故答案為：．②如圖2，，直線與交于、，連接、，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，，，，由①知：，四邊形是正方形，，根據(jù)，可知或3，或3，或或或，或，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有8個(gè)，故答案為：8．（2）如圖3，，的圓心為，半徑為1，，即點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的面積為4，點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長為2，先求的最小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則，，，直線與，軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，，，，，，，，再求的最大值，，，的取值范圍為．（3）如圖4，過點(diǎn)作于，交于，連接，以為邊長作正方形，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，，，，，，半徑為，，，，直線上點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“單純原本點(diǎn)”，點(diǎn)為正方形的中心，，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，即，解得：，的最小值為．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是理解并正確運(yùn)用新定義．8．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，的半徑為1．如果將線段繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段所在的直線與相切，且切點(diǎn)在線段上，那么線段就是的“關(guān)聯(lián)線段”，其中滿足題意的最小就是線段與的“關(guān)聯(lián)角”．（1）如圖1，如果，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么它的“關(guān)聯(lián)角”為60．（2）如圖2，如果、，、，、．那么的“關(guān)聯(lián)線段”有（填序號，可多選）．①線段②線段③線段（3）如圖3，如果、，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么的取值范圍是．（4）如圖4，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且存在以為端點(diǎn)，長度為的線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么的取值范圍是．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）畫圖確定相切位置確定關(guān)聯(lián)角即可；（2）連接，，，，根據(jù)線段掃過的位置判斷即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡判斷的最小值即可得出取值范圍；（4）結(jié)合題意作圖得出的最大值和最小值即可得出的取值范圍．【解答】解：（1）如圖1，作與相切于點(diǎn)，，，，，，的“關(guān)聯(lián)角”為，故答案為：60；（2）如圖2，連接，，，，，繞旋轉(zhuǎn)無法與相切，故不是的“關(guān)聯(lián)線段”，，，，是的“關(guān)聯(lián)線段”，，是的“關(guān)聯(lián)線段”，故答案為：②③；（3）如圖3，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)路線在半徑為1的上，當(dāng)與相切時(shí)，由（1）知，，當(dāng)時(shí)，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，故答案為：；（4）如圖4，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動最小半徑是到過的直線的距離是，，，，，的最大值為4，如圖5，當(dāng)取最小值時(shí)，開始時(shí)存在與相切，，，，，，綜上，的取值為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的綜合題型，準(zhǔn)確理解關(guān)聯(lián)線段與關(guān)聯(lián)角的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若幾何圖形與有公共點(diǎn)，則稱幾何圖形的叫的關(guān)聯(lián)圖形，特別地，若的關(guān)聯(lián)圖形為直線，則稱該直線為的關(guān)聯(lián)直線．如圖，為的關(guān)聯(lián)圖形，直線為的關(guān)聯(lián)直線．（1）已知是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：①直線；②直線；③雙曲線，是的關(guān)聯(lián)圖形的是①③（請直接寫出正確的序號）．（2）如圖1，的圓心為，半徑為1，直線與軸交于點(diǎn)，若直線是的關(guān)聯(lián)直線，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．（3）如圖2，已知點(diǎn)，，，經(jīng)過點(diǎn)，的關(guān)聯(lián)直線經(jīng)過點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為；的關(guān)聯(lián)直線經(jīng)過點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為；直線，交于點(diǎn)，若線段在直線上且恰為的直徑，請直接寫出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）根據(jù)的關(guān)聯(lián)圖形的定義判斷即可．（2）直線的臨界狀態(tài)是和相切的兩條直線和，求出兩種特殊情形的點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解決問題．（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，得到的最大值為2．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，直線，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)得到的最小值為，由此即可解決問題．【解答】解：（1）由題意①③是的關(guān)聯(lián)圖形，故答案為①③．（2）如圖1中，直線是的關(guān)聯(lián)直線，直線的臨界狀態(tài)是和相切的兩條直線和，當(dāng)臨界狀態(tài)為時(shí)，連接為切點(diǎn)），，，且，是等腰直角三角形，，，，，把，代入中，得到，同法可得當(dāng)直線是臨界狀態(tài)時(shí)，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，得到的最大值為2，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，直線，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)得到的最小值為，綜上所述，，．【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了的關(guān)聯(lián)圖形的定義，直線與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．10．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過（半徑為外一點(diǎn)引它的一條切線，切點(diǎn)為，若，則稱點(diǎn)是的“沙湖點(diǎn)”．（1）當(dāng)?shù)陌霃綖?時(shí)，①在點(diǎn)，，中，的“沙湖點(diǎn)”是，；②點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)是的“沙湖點(diǎn)”，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）的圓心為，半徑為2，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，．若直線上的所有點(diǎn)都是的“沙湖點(diǎn)”，求的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）①畫出圖形，求出切線長，根據(jù)的“沙湖點(diǎn)”的定義判斷即可．②如圖2中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，構(gòu)建方程求出兩種特殊位置時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問題．（2）求出幾種特殊位置時(shí)的值即可判斷．①如圖中，設(shè)是的切線，當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)．②如圖中，設(shè)是的切線，連接，則．③如圖中，當(dāng)在直線的左側(cè)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接．分別求出的值，結(jié)合圖形即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①如圖1中，，，，切線的長，切線的長，切線的長，點(diǎn)，是，的沙湖點(diǎn)，故答案為：，．②如圖2中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)過點(diǎn)的切線長為時(shí)，，，解得，．結(jié)合圖象可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．（2）由題意，．①如圖中，設(shè)是的切線，當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)，此時(shí)．觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)．②如圖中，設(shè)是的切線，連接，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，③如圖中，當(dāng)在直線的左側(cè)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接．，，，，，是切線，，，，，，，，此時(shí)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)，綜上所述，的取值范圍是或．【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了圓的沙湖點(diǎn)的定義，切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．11．（2021秋?溧陽市期中）概念認(rèn)識：平面內(nèi)，為圖形上任意一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，將、兩點(diǎn)間距離的最小值稱為圖形到的“最近距離”，記作．例：如圖1，在直線上有、、三點(diǎn)，以為對角線作正方形，以點(diǎn)為圓心作圓，與交于、兩點(diǎn)，若將正方形記為圖形，則、兩點(diǎn)間的距離稱為圖形到的“最近距離”．?dāng)?shù)學(xué)理解：（1）在平面內(nèi)有、兩點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作，將點(diǎn)記為圖形，若，則3或7．（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，半徑為2作圓．①將點(diǎn)記為圖形，則．②將一次函數(shù)的圖記為圖形，若，求的取值范圍．推廣運(yùn)用：（3）在平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)為，的半徑為2，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，將記為圖形，若，則．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）根據(jù)圖形到的“最近距離”的定義即可解決問題．（2）①如圖2中，連接交于．求出的長即可．②如圖，設(shè)直線與相切于，．連接，．求出直線，直線的解析式即可解決問題．（3）分兩種情形：①如圖中，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作于，交于．②如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的外側(cè)時(shí)，分別求解即可．【解答】解：（1）如圖1中，，，，，．故答案為：3或7．（2）①如圖2中，連接交于．，，，，．故答案為：3．②如圖，設(shè)直線與相切于，．連接，．，，，，，，，四邊形是菱形，，四邊形是正方形，，直線的解析式為，直線的解析式為，，觀察圖象可知滿足條件的的值為且．（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的右邊時(shí)．，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的外側(cè)時(shí)，由題意可知，，．綜上所述，滿足條件的的值為8或．【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，圖形到的“最近距離”的定義，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．12．（2021?常州一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑是，，為外兩點(diǎn)，．給出如下定義：平移線段，使平移后的線段成為的弦（點(diǎn)，分別為點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)），線段長度的最小值成為線段到的“優(yōu)距離”．（1）如圖1，中的弦、是由線段平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是平行；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段長度等于線段到的“優(yōu)距離”；（2）若點(diǎn)，，線段的長度是線段到的“優(yōu)距離”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）如圖2，若，是直線上兩個(gè)動點(diǎn)，記線段到的“優(yōu)距離”為，則的最小值是；請你在圖2中畫出取得最小值時(shí)的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可以得到，由圖可以得到的長度等于線段到的“優(yōu)距離”；（2）根據(jù)定義和（1）提示，可以知道，平移，使對應(yīng)點(diǎn)落在圓上，即在圓上滿足，，這樣的只有兩條，別切位于圓心兩側(cè)，根據(jù)題意畫出草圖，可以得到如圖1的位置，線段是線段到的優(yōu)距離，利用和坐標(biāo)，求出直線解析式，從而得到直線的比例系數(shù)，同時(shí)可以得到為等腰直角三角形，因?yàn)?，過作，利用垂徑定理和勾股定理，求出，利用，得到為等腰直角三角形，過作軸于點(diǎn)，從而可以求得，得到直線解析式為，設(shè)，過作軸于，在△中，利用勾股定理，列出方程即可求解；（3）由（2）可知，經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)落在圓上，，，符合條件的只有兩條，并且位于點(diǎn)兩側(cè)，如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，過作，分別交于，交于，用（2）中方法求解和，得到的長度，即可解決．【解答】解：（1）平移得到，，同理，，，由圖可得，連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段長度等于線段到的“優(yōu)距離”，故答案為：平行，，；（2）如圖1，過作軸于，則，，，，設(shè)直線為，代入點(diǎn)，得，直線為，設(shè)直線交軸于，軸，軸，，由（1）可得，平移，使對應(yīng)點(diǎn)落在上，此時(shí)，且，這樣的對應(yīng)線段有兩條，分別位于圓心點(diǎn)兩側(cè)，所以當(dāng)在如圖位置時(shí)，線段的長度是到的“優(yōu)距離”，過作，分別交于，交于，，，連接，，，在△中，，過作軸于，，，，，設(shè)直線為，代入點(diǎn)，得，直線為，設(shè)，過作軸于，在△中，，，或3，，，，故答案為：；（3）由（2）可知，經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)落在圓上，，，符合條件的只有兩條，并且位于點(diǎn)兩側(cè)，如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，，，四邊形為平行四邊形，，為矩形，，令，則，，同理，，，為等腰直角三角形，過作，分別交于，交于，連接，，在△中，，，，，又是等腰直角三角形，，，，，，又，四邊形為平行四邊形，，即的最小值為．【點(diǎn)評】本題是以圓為背景的新定義題目，能在題目中提煉出定義的內(nèi)容，是本題的突破口，借助特殊三角形和勾股定理，垂徑定理，求解相關(guān)的線段和角度，是解決此類問題的基本功．13．（2021?建鄴區(qū)二模）【概念學(xué)習(xí)】在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱的最小值為對該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，，則對線段的“最近覆蓋距離”為3．【概念理解】（1）對點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為4．（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且對點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使對點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，求的取值范圍．（4）、，且，將對線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）由題意即可求解；（2）由題意可知，到圓的最小距離為3，即到圓心的距離為4，設(shè)，則，即可求解；（3）考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使對點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出；同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，即可求解；（4）由題意可知，是一條傾斜角度為，長度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦，，如果落在弧上，或者落在弧上，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）由題意得，對點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為4，故答案為：4；（2）由題意可知，到圓的最小距離為3，即到圓心的距離為4，設(shè)，則，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或，，故答案為：或，；（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使對點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，，，，，則，設(shè)，則，由勾股定理可得：，解得（舍，，此時(shí)．同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近軸，則存在點(diǎn)，或；（4）由題意可知，是一條傾斜角度為，長度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦，，如果落在弧上，或者落在弧上，則成立，當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為，此時(shí)，綜上，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識、三角形相似、新定義等，數(shù)形結(jié)合是本題解題的關(guān)鍵．14．（2021?石景山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于內(nèi)的一點(diǎn)，若在外存在點(diǎn)，使得，則稱點(diǎn)為的二倍點(diǎn)．（1）當(dāng)?shù)陌霃綖?時(shí)，①在，，，三個(gè)點(diǎn)中，是的二倍點(diǎn)的是、；②已知一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，若一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，求的取值范圍．（2）已知點(diǎn)，，，的半徑為2，若線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）①的半徑為2時(shí)，的二倍點(diǎn)到的距離小于2，且大于1，求出，，，與圓心的距離即可得答案；②過作于，一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，，且且，用的代數(shù)式表示，列出不等式，即可解得的范圍；（2）畫出圖形，找到“臨界點(diǎn)”，列出不等式即可解得范圍．【解答】解：（1）對于內(nèi)的一點(diǎn)，若在外存在點(diǎn)，使得，則稱點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，的半徑為2時(shí)，的二倍點(diǎn)到的距離小于2，且大于1，①，，，，，，，的二倍點(diǎn)的是、，故答案為：、．②若，則在第二象限的圖象是一條射線（不含端點(diǎn)），不可能所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，故，又時(shí)，，即直線過定點(diǎn)，過作于，如圖：由，可得，而可得，一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，且，解得；（2）①當(dāng)從左側(cè)沿正方向移動時(shí)，線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，如圖則滿足，且，，且，解得，且或，結(jié)合圖形可得，此時(shí)線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，，②當(dāng)移動到右側(cè)，線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，如圖：則滿足，且，，且，解得或，且，結(jié)合圖形可得，此時(shí)線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，，綜上所述，線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，則或．【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合知識及新定義問題，解題的關(guān)鍵是理解二倍點(diǎn)的定義，找到“臨界點(diǎn)”，題目難度較大．15．（2020?雨花區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和正實(shí)數(shù)，給出如下定義：當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，稱為點(diǎn)的“倍雅圓”例如，在圖1中，點(diǎn)的“1倍雅圓”是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓．（1）在點(diǎn)，中，存在“1倍雅圓”的點(diǎn)是．該點(diǎn)的“1倍雅圓”的半徑為．（2）如圖2，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且滿足，試判斷直線與點(diǎn)的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖3，已知點(diǎn)，，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線．①當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，若始終存在點(diǎn)的“倍雅圓”，求的取值范圍；②點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)的“倍雅圓”的半徑為，是否存在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線有且只有1個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）求出圓的半徑，而，即可求解；（3）①利用全等求出點(diǎn)，得到直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)始終存在點(diǎn)的“倍雅圓”時(shí)，則且△成立，即可求解；②，假設(shè)存在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線有且只有1個(gè)交點(diǎn)，則，即可求解．【解答】解：（1）對于，圓的半徑為，故符合題意；對于，圓的半徑為，故不符合題意；故答案為，10；（2）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)，，則圓的半徑，則中，，，直線與點(diǎn)的“2倍雅圓”的位置關(guān)系為相交；（3）①過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交過點(diǎn)與軸的平行線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則，故，，，，，，，，，即，，解得：，，故點(diǎn)；設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，故直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，始終存在點(diǎn)的“倍雅圓”時(shí)，則圓的半徑恒成立，且△成立，即且△，解得：；②存在，理由：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)同理可得，直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，則，則，則，假設(shè)存在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線有且只有1個(gè)交點(diǎn)，則，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：．【點(diǎn)評】此題屬于圓的綜合題，涉及了一次函數(shù)和二次函數(shù)基本知識、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．16．（2020?豐臺區(qū)二模）過直線外一點(diǎn)且與這條直線相切的圓稱為這個(gè)點(diǎn)和這條直線的點(diǎn)線圓．特別地，半徑最小的點(diǎn)線圓稱為這個(gè)點(diǎn)和這條直線的最小點(diǎn)線圓．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)，，，分別以，為圓心，1為半徑作，，以為圓心，2為半徑作，其中是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓的是，；（2）記點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓為，如果與直線沒有公共點(diǎn)，求的半徑的取值范圍；（3）直接寫出點(diǎn)和直線的最小點(diǎn)線圓的圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）由點(diǎn)線圓的定義畫出圖形可得出答案；（2），經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，此時(shí)的半徑，經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，切點(diǎn)分別為，，連接，，，過作軸于點(diǎn)，設(shè)，即得出．解出．可得出答案；（3）畫圖可知點(diǎn)和直線的最小點(diǎn)線圓的圓心的軌跡，則可得出答案．【解答】解：（1）如圖1，由點(diǎn)線圓的定義可知：是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓，如圖2，不經(jīng)過點(diǎn)，故不是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓，如圖3，由點(diǎn)線圓的定義可知：是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓，故答案為：，．（2）如圖4，經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，此時(shí)的半徑，如圖5，經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，切點(diǎn)分別為，，連接，，，過作軸于點(diǎn)，設(shè)，，，，，，，．由勾股定理得，，即．解得：（舍去），，．（3）如圖6，點(diǎn)和直線的最小點(diǎn)線圓的圓心在直徑為1的圓上，，，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．17．（2020?海淀區(qū)一模），是上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)在的內(nèi)部．若為直角，則稱為關(guān)于的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心在邊（含頂點(diǎn)）上時(shí)，稱為關(guān)于的最佳內(nèi)直角．如圖1，是關(guān)于的內(nèi)直角，是關(guān)于的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系中．（1）如圖2，的半徑為5，，是上兩點(diǎn)．①已知，，，在，，中，是關(guān)于的內(nèi)直角的是，；②若在直線上存在一點(diǎn)，使得是關(guān)于的內(nèi)直角，求的取值范圍．（2）點(diǎn)是以為圓心，4為半徑的圓上一個(gè)動點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊）．現(xiàn)有點(diǎn)，，對于線段上每一點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，請直接寫出的最大值，以及取得最大值時(shí)的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）判斷點(diǎn)，，是否在以為直徑的圓弧上即可得出答案；（2）求得直線的解析式，當(dāng)直線與弧相切時(shí)為臨界情況，證明，可求出此時(shí)，則答案可求出；（3）可知線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，則當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值2，再分點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合兩種情況求出臨界位置時(shí)的值即可得解．【解答】解：（1）如圖1，，，，，，，不在以為直徑的圓弧上，故不是關(guān)于的內(nèi)直角，，，，，，，，，是關(guān)于的內(nèi)直角，同理可得，，是關(guān)于的內(nèi)直角，故答案為：，；（2）是關(guān)于的內(nèi)直角，，且點(diǎn)在的內(nèi)部，滿足條件的點(diǎn)形成的圖形為如圖2中的半圓（點(diǎn)，均不能取到），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，并可求出直線的解析式為，當(dāng)直線過直徑時(shí)，，連接，作直線交半圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，，，，，是半圓的切線．，，，，，，，，，，，直線的解析式為，直線的解析式為，此時(shí)，的取值范圍是．（3）對于線段上每一個(gè)點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，點(diǎn)一定在的邊上，，，線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值，即的最大值為2．分兩種情況：①若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，那么點(diǎn)必須在邊上，此時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，，，，，，，，，，，，當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)的取值范圍是，②若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，臨界位置有兩個(gè)，一個(gè)是當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，另一個(gè)是當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的取值范圍是，綜合以上可得，的取值范圍是．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確理解最佳內(nèi)直角的意義是解本題的關(guān)鍵．18．（2020?延慶區(qū)一模）對于平面內(nèi)的點(diǎn)和圖形，給出如下定義：以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，使得圖形上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部（或邊上），當(dāng)最小時(shí)，稱為圖形的點(diǎn)控制圓，此時(shí)，的半徑稱為圖形的點(diǎn)控制半徑．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，其中點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)，正方形的點(diǎn)控制半徑為，正方形的點(diǎn)控制半徑為，請比較大?。?；（2）連接，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，直線；若存在正方形的點(diǎn)控制圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）根據(jù)控制半徑的定義，分別求出和的值即可得解．（2）如圖所示：和的半徑均等于，分兩種情況：①當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則，②當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則；分別求得兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出值，則可得答案．【解答】解：（1）由題意得：，，，故答案為：．（2）如圖所示：和的半徑均等于，當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則，則直線的解析