2025年中考數(shù)學思想方法復(fù)習系列 【數(shù)形結(jié)合】函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想（解析版）

函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想知識方法精講1．兩點間的距離公式兩點間的距離公式：設(shè)有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點間的距離為AB＝．說明：求直角坐標系內(nèi)任意兩點間的距離可直接套用此公式．2．動點問題的函數(shù)圖象函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．3．一次函數(shù)圖象與幾何變換直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）①關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（關(guān)于X軸對稱，橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數(shù)）②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（關(guān)于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數(shù)）③關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）4．一次函數(shù)與一元一次不等式（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．（2）用畫函數(shù)圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）對應(yīng)一次函數(shù)y＝kx+b，它與x軸交點為（﹣，0）．當k＞0時，不等式kx+b＞0的解為：x＞，不等式kx+b＜0的解為：x＜；當k＜0，不等式kx+b＞0的解為：x＜，不等式kx+b＜0的解為：x＞．5．一次函數(shù)與二元一次方程（組）（1）一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當于已知直線y＝kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值．（2）二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系（3）一次函數(shù)和二元一次方程（組）的關(guān)系在實際問題中的應(yīng)用：要準確的將條件轉(zhuǎn)化為二元一次方程（組），注意自變量取值范圍要符合實際意義．6．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結(jié)為：①當k1與k2同號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有0個交點．7．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．8．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．9．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．10．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．11．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．12．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．13．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．14.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式問題中，在求函數(shù)的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。一．選擇題（共5小題） 1．（2021秋?莊河市期末）已知，函數(shù)與在同一直角坐標系中的大致圖象可能是A． B． C． D．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)【分析】分和兩種情況分類討論即可確定正確的選項．【解答】解：當時，函數(shù)的圖象位于一、三象限，的開口向下，交軸于正半軸，選項符合；當時，函數(shù)的圖象位于二、四象限，的開口向上，交軸于負半軸，沒有符合的選項．故選：．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象及二次函數(shù)的圖象的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例系數(shù)的符號確定其圖象的位置，難度不大．2．（2020秋?青島期末）如圖，函數(shù)與的圖象交于點，，則不等式的解集為A．或 B．或 C．或 D．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【分析】不等式的解集，在圖象上即為一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時的自變量的取值范圍．【解答】解：函數(shù)與的圖象相交于點，，不等式的解集為：或，故選：．【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著運動，其中一點到達終點，另一點也停止運動，設(shè)，時間為，則與之間的函數(shù)圖象大致為A． B． C． D．【考點】動點問題的函數(shù)圖象【分析】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答：①，②，③，④；依據(jù)的取值范圍畫出對應(yīng)的圖形，求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：①當時，此時，點在上，點在上，由題意得：，．．，此時函數(shù)的圖象是以和為端點的線段；②當時，此時點在上，點在上，如圖，由題意得：，．，．，此時函數(shù)的圖象為開口向下，對稱軸為直線的拋物線的一段；③當時，此時點，均在線段上，此時，函數(shù)圖象為軸上以和為端點的線段；④當時，此時點在線段上，點在線段上，如圖，由題意得：，．．．，當時，．此時的函數(shù)的圖象是拋物線上以和為端點的一段．綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為，故選：．【點評】本題主要考查了動點問題函數(shù)的圖形，利用分類討論的方法求出相應(yīng)的函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．4．數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中常用的思想方法，試運用這一思想方法確定函數(shù)與的交點的橫坐標的取值范圍是A． B． C． D．【考點】反比例函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象【分析】建立平面直角坐標系，然后利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出函數(shù)與的圖象，即可得解．【解答】解：如圖，函數(shù)與的交點在第一象限，橫坐標的取值范圍是．故選．故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，準確畫出大致函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵，此類題目利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便．5．如圖，直線交坐標軸于、兩點，則不等式的解集為A． B． C． D．【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式【分析】首先根據(jù)不等式的性質(zhì)知，不等式的解集即為不等式的解集，然后由一次函數(shù)的圖象可知，直線落在軸上方的部分所對應(yīng)的的取值，即為不等式的解集，從而得出結(jié)果．【解答】解：觀察圖象可知，當時，直線落在軸的上方，即不等式的解集為，，解集為．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與不等式（組的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問題關(guān)鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結(jié)合．二．填空題（共17小題）6．（2020秋?張店區(qū)期末）如圖，直線與軸交于點，與直線交于點，則關(guān)于的一元一次方程的解為．【考點】一次函數(shù)與一元一次方程；一次函數(shù)的性質(zhì)【分析】由圖象可知直線與直線的交點是，則可求方程的解．【解答】解：是直線與直線的交點，一元一次方程的解為，故答案為：．【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．7．（2021秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于、兩點，則不等式的解集為或．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標，即可得出不等式的解集．【解答】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當或時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，則不等式的解集是或．故答案為：或．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標得出不等式的解集是關(guān)鍵．8．（2021秋?天長市月考）已知，在同一坐標系中二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖，它們相交于點，，拋物線的頂點，直線交軸于點．（1）當時，的取值范圍是．（2）當時，的取值范圍是．【考點】二次函數(shù)與不等式（組；拋物線與軸的交點【分析】（1）觀察圖象，即可得出答案；（2）先求出點的坐標，再結(jié)合圖象，即可得出答案．【解答】解：（1）在同一坐標系中二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖，它們相交于點，，當時，的取值范圍是，故答案為：．（2）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，解得：，，當時，，解得：，，，，異號，在同一坐標系中二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，，拋物線的頂點，直線交軸于點，當時，的取值范圍是且．故答案為：且．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，學會觀察圖象，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．9．（2021秋?黔西南州期中）如圖，拋物線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點（橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點）依次為，，，，將拋物線沿直線；向上平移，得到一系列拋物線，且滿足條件：①拋物線的頂點，，，，都在直線上；②拋物線依次經(jīng)過點，，，，，則頂點的坐標為．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)圖象與幾何變換；規(guī)律型：點的坐標；二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合整數(shù)點的定義，找出點的坐標為，設(shè)點的坐標為，則以點為頂點的拋物線解析式為，由點的坐標利用待定系數(shù)法，即可求出值，將其代入點的坐標即可得出結(jié)論．【解答】解：拋物線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點（橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點）依次為，，，，，，點的坐標為．設(shè)點的坐標為，則以點為頂點的拋物線解析式為，點在拋物線上，，解得：或（舍去），的坐標為，的坐標為．故答案為：．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出值是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?宜州區(qū)期中）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的兩根之和是2．【考點】拋物線與軸的交點；根與系數(shù)的關(guān)系【分析】由二次函數(shù)的圖象可知和軸交點橫坐標分別為和3，進而可求出方程的兩根之和．【解答】解：由圖象可知和軸交點橫坐標分別為和3，方程的兩根之和為，故答案為：2．【點評】本題考查的是拋物線與軸的交點，熟知拋物線與軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．11．（2021秋?臺州期中）如圖，“心”形是由拋物線和它繞著原點，順時針旋轉(zhuǎn)的圖形經(jīng)過取舍而成的，其中點是頂點，點，是兩條拋物線的兩個交點，點，，是拋物線與坐標軸的交點，則，，．（寫出其中兩個即可）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與軸的交點【分析】如圖1，連接，過點作于點，設(shè)，則，可得，根據(jù)拋物線經(jīng)過點，建立方程可求得；由拋物線繞著原點，順時針旋轉(zhuǎn)的圖形與軸交于點，，可得，，再令，可求得，，即可求出；如圖2，設(shè)點的坐標為，設(shè)點旋轉(zhuǎn)前的點為，則，過點作軸于點，可得出點的坐標為，，代入拋物線，即可求得答案．【解答】解：如圖1，連接，過點作于點，拋物線和它繞著原點，順時針旋轉(zhuǎn)的圖形交于、兩點，，、關(guān)于直線對稱，，，，設(shè)，則，，，拋物線經(jīng)過點，，解得：或，，，，，，拋物線繞著原點，順時針旋轉(zhuǎn)的圖形與軸交于點，，，，，在中，令，則，，，，如圖2，設(shè)點的坐標為，設(shè)點旋轉(zhuǎn)前的點為，則，過點作軸于點，，，，，點的坐標為，，點，在拋物線上，，解得：，點的坐標為，，，故答案為：，，．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點之間距離公式，直角三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，運用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想．12．（2021?福州模擬）在平面直角坐標系中，已知點，點，則線段的長度的最小值是．【考點】勾股定理；兩點間的距離公式【分析】根據(jù)點的坐標可知點在直線上運動，點在雙曲線上運動，則根據(jù)圖象的對稱性可知：作直線交圖象與、點，此時最小，即可解決問題．【解答】解：，點，點在直線上運動，點在雙曲線上運動，根據(jù)圖象的對稱性可知：作直線交圖象與、點，此時最小，，，最小值為，故答案為：．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象的軸對稱性等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?江漢區(qū)校級月考）拋物線的部分圖象如圖所示，則當時，的取值范圍是或．【考點】拋物線與軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】由函數(shù)圖象可知拋物線的對稱軸為，從而可得到拋物線與軸的另一個交點坐標為，，找出拋物線位于軸下方部分的取值范圍即可．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知：拋物線的對稱軸為，拋物線與軸一個交點的坐標為，由拋物線的對稱性可知：拋物線與軸的另一個交點坐標為．，或．故答案為：或．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象確定出拋物線與軸兩個交點的坐標是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?姑蘇區(qū)期中）如圖①，在平面直角坐標系中，點、分別在軸和軸上，軸，．點從點出發(fā)，以的速度沿邊勻速運動，點從點出發(fā)，沿線段勻速運動．點與點同時出發(fā)，其中一點到達終點，另一點也隨之停止運動．設(shè)點運動的時間為，的面積為，已知與之間的函數(shù)關(guān)系如圖②中的曲線段、線段與曲線段．以下說法正確的是③．（填序號）①點的運動速度為；②點的坐標為；③線段段的函數(shù)解析式為；④曲線段的函數(shù)解析式為；⑤若的面積是四邊形的面積的，則時間或．【考點】動點問題的函數(shù)圖象【分析】結(jié)合函數(shù)圖象得出當3秒時，，此時的面積為，進而求出為，即可得出點的速度，進而求出的長即可，進而判斷①②；過點作于點，根據(jù)三角形的面積公式可表達此時的，進而判斷③；畫出圖形可得出，，則，求出即可面積可判斷④；首先得出的面積，分兩種情形分別列出方程即可解決問題進而判斷⑤．【解答】解：由題意可得出：當3秒時，的面積的函數(shù)關(guān)系式改變，則在上運動3秒，當3秒時，，此時的面積為，為，點的運動速度為：，故①正確；當運動到5秒時，函數(shù)關(guān)系式改變，則，，可求出，；故②錯誤；當點在上時，如圖，于點，，故③正確；如圖，，，過點作于點，則，，即曲線段的函數(shù)解析式為：；故④正確；，，當時，，時，或（舍棄），當時，；；解得或（舍棄），綜上所述：或，的面積是四邊形的面積的．故⑤錯．故答案為：①③④．【點評】此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象以及三角形，面積求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，具體的關(guān)鍵是學會以分類討論的思想思考問題，學會理由方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．15．（2021春?花都區(qū)期末）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為．【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到不等式的解集，本題得以解決．【解答】解：由圖象可得，當時，對應(yīng)的自變量的值是1，該函數(shù)圖象隨的增大而增大，不等式的解集為，故答案為：．【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題是解答本題的關(guān)鍵．16．（2021?阜寧縣二模）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為．【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到，，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，，，不等式可化為：，解得，，故答案為：．【點評】本題考查的是一次函數(shù)與不等式，掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．17．（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，若直線經(jīng)過，兩點，直線經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集是．【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式【分析】觀察函數(shù)圖象得到當時，直線都在直線的上方，即．【解答】解：當時，，即關(guān)于的不等式的解集為．故答案為．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．18．（2020?浙江自主招生）如圖，拋物線與軸交于點，，把拋物線在軸及其下方的部分記作，將向左平移得，與軸交于點，．若直線與，共有3個不同的交點，則的取值范圍是．【考點】拋物線與軸的交點；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】先由題意得關(guān)于的一元二次方程，從而求得點和點的坐標；再得出平移后的解析式；然后分兩種情況得出臨界值：當直線過，有2個交點；當直線與拋物線相切時，有2個交點；最后根據(jù)圖形得出符合題意的取值范圍即可．【解答】解：拋物線與軸交于點，，令，解得：，，，．向左平移4個單位長度得，的解析式為：，當直線過，有2個交點，，；當直線與拋物線相切時，有2個交點，，，相切，△．如圖：若直線與，共有3個不同的交點，；故答案為：．【點評】本題主要考查了拋物線與軸的交點以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進行解題，此題有一定的難度．19．（2021秋?揭東區(qū)期末）如圖，直線與直線相交于點，則方程組的解是．【考點】一次函數(shù)與二元一次方程（組【分析】由兩條直線的交點坐標，先求出，再求出方程組的解即可．【解答】解：經(jīng)過，，，直線與直線相交于點，，故答案為【點評】本題考查一次函數(shù)的交點與方程組的解的關(guān)系、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解方程組的解就是兩個函數(shù)圖象的交點坐標，屬于中考常考題型．20．（2021秋?青島期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則方程組的解是．【考點】一次函數(shù)與二元一次方程（組【分析】由兩條直線的交點坐標，先求出，再求出方程組的解即可．【解答】解：的圖象經(jīng)過，，，一次函數(shù)與的圖象相交于點，方程組的解是，故答案為．【點評】本題考查一次函數(shù)的交點與方程組的解的關(guān)系、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解方程組的解就是兩個函數(shù)圖象的交點坐標．21．（2021春?營口期末）如圖，直線與相交于點，則關(guān)于的不等式的解集為．【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式【分析】觀察函數(shù)圖象得到，當，函數(shù)的圖象都在函數(shù)圖象的上方，于是可得到關(guān)于的不等式的解集．【解答】解：當，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方，所以關(guān)于的不等式的解集為．故答案為．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．22．（2021春?雨花區(qū)期末）在平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象，如圖所示，則不等式的解集為．【考點】一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)與一元一次不等式【分析】結(jié)合圖象，寫出直線在直線下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：如圖所示：一次函數(shù)和的圖象交點為，關(guān)于的一元一次不等式的解集是：，故答案為：．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）23．（2021?和平區(qū)一模）如圖，拋物線，交軸于點，交軸于，兩點，拋物線的頂點為，連接，．（1）求直線的函數(shù)表達式；（2）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點的坐標；（3）過點作軸的垂線交于點，點為線段上一動點，連接，將沿翻折到（點，點分別位于直線的兩側(cè)），交于點，當為直角三角形時．①請直接寫出線段的長為；②將此繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到，若直線分別與直線，直線交于點，，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的縱坐標為．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）先根據(jù)拋物線，交軸于點，求出點坐標，再運用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達式即可；（2）將，代入拋物線求出，，即可得拋物線解析式，運用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可得出頂點坐標；（3）①根據(jù)為直角三角形，且點，點分別位于直線的兩側(cè)，可分三種情況：或或，經(jīng)分析僅有符合題意，過點作于點，則，先證明，再運用面積法即可求出答案；②由是以為腰的等腰三角形，可分兩種情況：或，分別求出點的縱坐標即可．【解答】解：（1）設(shè)直線的函數(shù)表達式為：，拋物線，交軸于點，，將，分別代入，得：，解得：，直線的函數(shù)表達式為：，（2）拋物線經(jīng)過，兩點，，解得：，拋物線的解析式為，，頂點的坐標為；（3）①如圖1，為直角三角形，且點，點分別位于直線的兩側(cè)，或或，當時，，點落在直線上，不符合題意，當時，，點，點位于直線的同側(cè)，不符合題意，當時，點，點分別位于直線的兩側(cè)，符合題意，，，過點作于點，則，，軸，，，，，，，，，，，即，，，，，故答案為：；②是以為腰的等腰三角形，或，當時，如圖2，由旋轉(zhuǎn)知：點到、的距離相等，，，由①知，，，即，，的縱坐標為，即的縱坐標為，為、的中點，的縱坐標為，當時，如圖3，點為的垂直平分線與的交點，，，經(jīng)過點平行的直線為，點到直線的距離為，直線的解析式為，直線的解析式為，，；綜上所述，點的縱坐標為或．【點評】本題是關(guān)于二次函數(shù)的綜合題，屬于中考壓軸題，綜合性強，難度大，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等；熟練掌握相關(guān)知識，靈活運用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解決問題是解題關(guān)鍵．24．（2021?河南模擬）小亮遇到一個函數(shù)，他想利用初中學習函數(shù)的經(jīng)驗對這個函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行探究，以下是他的研究過程，請補充完整：（1）列表：00.610.761.051.391.71.851.922.13.7220.63000.630.63000.633.72其中2；；（2）如圖，在平面直角坐標系中，描出了表中各組對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)；（4）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①方程有個互不相等的實數(shù)根；②有兩個點，和，在此函數(shù)圖象上，當時，比較和的大小關(guān)系為：（填“”、“”或“”；③根據(jù)的取值范圍判斷關(guān)于的方程實數(shù)根情況．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象；根的判別式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征【分析】（1）將，2分別代入即可求出，．（2）描點如下函數(shù)圖象，關(guān)鍵圖象即可求得；（3）觀察函數(shù)圖象選擇一條即可；（4）①通過圖象可以看出；②根據(jù)圖象，可以得出此時為遞增函數(shù)，故得出結(jié)論；③根據(jù)圖象特點，分類討論求出．【解答】解：（1）當時，，則；當時，，則．故答案為：；．（2）描點即可畫出，如下圖，（3）函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；（4）①由圖像得，當時，函數(shù)圖像與軸有4個交點，故方程有4個不相等的實數(shù)根．故答案為：4；②根據(jù)圖象得，當時，隨增大而增大，故當時，．故答案為：；③由圖象可知，當時，無實數(shù)根；當或時，有2個實數(shù)根；當時，有4個實數(shù)根；當時，有3個實數(shù)根．【點評】本題主要考查學生的創(chuàng)新能力和二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象去回答問題即可．25．（2021秋?沭陽縣校級月考）如圖，二次函數(shù)的圖象過點、點．（1）該二次函數(shù)的頂點是；（2）點為點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，直線經(jīng)過、兩點，滿足的的取值范圍是．（3）在對稱軸上找一點，使取得最大值，求出此時的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化成頂點式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接寫出滿足的的取值范圍．（3）連接與對稱軸交于點，此時，最大，求出直線解析式，再求的坐標即可得出答案．【解答】解：（1），二次函數(shù)的頂點坐標為，故答案為：，（2）由（1）得，二次函數(shù)的對稱軸為直線，，點與點關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱，點，由圖象可知，不等式的的取值范圍：．故答案為：．（3）函數(shù)的對稱軸為直線，點與點關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱，如圖所示，，連接與對稱軸交于點，此時，的最大值為；設(shè)直線解析式為的圖象經(jīng)過，兩點，，解得，直線解析式為，把代入得，，的坐標為．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法，軸對稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵時熟練掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．26．（2021秋?惠城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點的坐標為．（1）求出拋物線的解析式；（2）如圖1．若點在拋物線上且滿足，求點的坐標；（3）如圖2．是直線上一個動點，過點作軸交拋物線于點，是直線上一個動點，當為等腰直角三角形時，直接寫出此時點的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】