2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【分類討論】等腰三角形中的分類討論思想（解析版）

等腰三角形中的分類討論思想知識方法精講1．三角形三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．5．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7.分類討論思想每個HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學結論都有其成立的條件，每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共7小題）1．（2021秋?昌平區(qū)期末）如圖，已知中，，，在直線上取一點，使得是等腰三角形，則符合條件的點有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】等腰三角形的判定【分析】分三種情況，，，．【解答】解：分三種情況，如圖：，，，當時，以為圓形，長為半徑畫圓，交直線于，兩個點，，，是等邊三角形，，當時，以為圓形，長為半徑畫圓，交直線于，當時，作的垂直平分線，交直線于，綜上所述，在直線上取一點，使得是等腰三角形，則符合條件的點有2個，故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題目的已知畫出圖形是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想．2．（2021秋?綦江區(qū)期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點，是小正方形的頂點，如果點是小正方形的頂點，且使是等腰三角形，則點的個數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．9【考點】等腰三角形的判定【分析】當是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結構，找出一個小正方形與、頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形；當是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，垂直平分線上的格點都可以作為點，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，分情況討論：①為等腰的底邊時，符合條件的點有4個；②為等腰其中的一條腰時，符合條件的點有4個．所以是等腰三角形，點的個數(shù)為8個，故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形．分類討論思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．3．（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）若等腰三角形的一個角是，則此等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．【考點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)【分析】可分兩種情況：當角為頂角時；當角為底角時，結合等腰三角形的性質(zhì)，利用三角形的內(nèi)角和定理分別求解即可．【解答】解：當角為頂角時，則等腰三角形的頂角為；當角為底角時，等腰三角形的頂角為，即此等腰三角形的頂角為或．故選：．【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．4．（2021秋?長春期末）若中剛好有，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學們知道這個三角形的“可愛角”應該是A．或 B．或 C．或 D．或或【考點】三角形內(nèi)角和定理【分析】分設三角形底角為，頂角為或設三角形的底角為，頂角為，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，得出答案．【解答】解：①設三角形底角為，頂角為，則，解得：，②設三角形的底角為，頂角為，則，解得：，，三角形的“可愛角”應該是或，故選：．【點評】本題是新定義題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，運用分類思想是解題的關鍵．5．（2021秋?洪山區(qū)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的頂點稱作格點，圖中、在格點上，則圖中滿足為等腰三角形的格點的個數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．10【考點】等腰三角形的判定【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以、為圓心，長為半徑畫弧，作的垂直平分線，即可確定點的位置．【解答】解：如圖所示：分三種情況：①以為圓心，長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點，，即為點的位置；②以為圓心，長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點，，，，，即為點的位置；③作的垂直平分線，垂直平分線沒有經(jīng)過格點；為等腰三角形的格點的個數(shù)為：8，故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，利用兩圓一線來解答是解題的關鍵．6．（2019秋?蜀山區(qū)期末）在中，與相鄰的外角是，要使為等腰三角形，則的度數(shù)是A． B． C．或 D．或或【考點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：．當時，；當時，，則；當時，．的度數(shù)為或或，故選：．【點評】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關鍵．7．（2020秋?河池期中）已知等腰三角形的一個外角為，則這個等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，可以得到：（1）當這個的外角為頂角的外角時，則這個等腰三角形的頂角為；（2）當這個的外角為底角的外角時，可以得到這個等腰三角形的頂角為．【解答】解：分為兩種情況：（1）當這個的外角為頂角的外角時，則這個等腰三角形的頂角為；（2）當這個的外角為底角的外角時，可以得到這個等腰三角形的頂角為；故選：．【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．二．填空題（共2小題）8．（2021秋?淮南月考）如圖，已知的半徑為2．弦的長度為2，點是上一動點，若為等腰三角形，則的長為或12或4．【考點】垂徑定理；勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)【分析】當為等腰三角形時，分兩種情況：①如圖1，，在的兩側各有一個符合條件的點，根據(jù)勾股定理可得結論；②如圖2，當時，連接，，交于，則，根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)和勾股定理，垂徑定理可得結論．【解答】解：當為等腰三角形時，分以下兩種情況：①如圖1，以為底邊時，，連接，，則過圓心，，，，，，，，；②如圖2，以為腰時，，連接，，交于，則，，，△是等邊三角形，，，，，，綜上，或12或4．故答案為：或12或4．【點評】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．9．（2021秋?鹽池縣期末）已知等腰三角形的一邊長為，另一邊長為，則這個等腰三角形的周長為20．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關系【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為和，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：，，腰長不能為，只能為，等腰三角形的周長．故答案為：20．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．三．解答題（共10小題）10．（2021?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，點是直線上（不與點重合）的動點，連結，過點作的垂線分別交直線、直線于點、，連結．（1）如圖，當，點是的中點時，求的值；（2）當時，①若與相似，求的長．②若是等腰三角形，求的長．【考點】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及同角的余角相等可得，再運用三角函數(shù)定義即可求得答案；（2）①根據(jù)與相似，是公共斜邊，可得或與，分兩種情況討論即可；③由是等腰三角形，可得或或，分三種情況進行討論．【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，，，點是的中點，，，，，．（2）①與相似，是公共斜邊，或，當時，，設，則，，在中，，，解得：，．當時，如圖2，，點在的延長線上，與，，，在和中，，，，設，則，在中，，，解得：，，，，，，，，，即，，，綜上所述，或．②是等腰三角形，或或，當時，如圖3，，，，，，，；當時，如圖4，設，則，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，即，；當時，如圖5，，，，，，設，則，，，，，，，，即，，，，，，解得：，；綜上所述，的長為4或或．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角函數(shù)定義等，涉及知識點較多，難度較大，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關知識，靈活運用數(shù)形結合思想和分類討論思想是解題關鍵．11．（2021?高郵市二模）如圖，是的高，，，，點是邊上的一個動點（與、不重合），于點，，于點，交于點，連接．（1）若點是的中點，則；（2）在點的運動過程中，①的值為；②當點運動到何處時，線段最小？最小值是多少？③當是等腰三角形時，求的長．【考點】三角形綜合題【分析】（1）如圖1，設，根據(jù)三角形的中位線定理得，根據(jù)正切定義得，得，，根據(jù)，列方程可得的值，最后根據(jù)勾股定理計算的長；（2）①過點作于，證明四邊形為矩形，得，，根據(jù)三角函數(shù)定義可得，可得結論；②由①得：，設，則，根據(jù)勾股定理計算，根據(jù)平方的非負性可得當時，取最小值為，由平行線分線段成比例定理得，計算的長，可得結論；③設，，，根據(jù)勾股定理計算和的長，為等腰三角形，分三種情況：，，，列方程可解答．【解答】解：（1）如圖1，設，，，，，，，是的中位線，，，即，，，，，，，，，，，，；故答案：；（2）①如圖2，過點作于，，，，四邊形為矩形，，，，，故答案為：8；②由①得：，設，則，，當時，取最小值為，此時，，，，，中，由勾股定理得：，，當時，線段最小，最小值是；③設，，，，，，，，當為等腰三角形時，存在以下三種情況：，則，解得：，；，，，，，；，則，，解得：（舍，，；綜上所述，的長為或或．【點評】本題是三角形的綜合題，解答本題主要應用了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線定理，二次根式的計算，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定三角函數(shù)等知識，熟練掌握平行線分線段成比例定理是關鍵，并結合方程思想和分類討論的思想解決問題．12．（2021秋?南沙區(qū)期末）在平面直角坐標系中，以坐標原點為圓心的半徑為3．（1）試判斷點與的位置關系，并加以說明．（2）若直線與相交，求的取值范圍．（3）若直線與相交于點，．點是軸正半軸上的一個動點，以，，三點為頂點的三角形是等腰三角形，求點的坐標．【考點】圓的綜合題【分析】（1）計算與半徑3進行比較即可；（2）當直線與相切于點時，求出的長度，即可得出相交時的范圍；（3）首先得出，，分，，三種情形，分別計算即可．【解答】解：（1），，，點在外；（2）如圖，當直線與相切于點時，連接，則，，，直線與相交時，；（3）直線與相交于點，．，，，當時，，，，，當時，軸，，，當時，點與重合，，點的坐標為，或，或或．【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了點和圓的位置關系，直線與圓的位置關系，等腰三角形的性質(zhì)等知識，運用分類思想是解題的關鍵．13．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知：如圖，在紙片中，，，，按圖所示的方法將沿折疊，使點恰好落在邊上的點處，點是射線上的一個動點．（1）求折痕長．（2）點在線段上運動時，設，．求關于的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．（3）當是等腰三角形時，求的長．【考點】三角形綜合題【分析】（1）由翻折可知：，，設，在中，根據(jù)，構建方程即可解決問題．（2）利用勾股定理即可解決問題．（3）分三種情形：①，②，③當時，分別求解即可．【解答】解：（1）如圖1中，由翻折可知：，，設，在中，，，解得，．（2）如圖2中，當點在左側，，則，，．當點在右側，同理可得．關于的函數(shù)解析式為．（3）如圖3中，①當時，設，在中，，，解得，．②當時，是等腰三角形，③當時，點在的延長線上．如圖4，．綜上所述，滿足條件的的值為或或6．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會由分類討論的思想思考問題．14．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點為軸正半軸上一點，過點的直線軸，且直線分別與反比例函數(shù)和的圖象交于、兩點，，．（1）求點的坐標；（2）若軸上有一點，使得為等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．【考點】反比例函數(shù)綜合題【分析】（1）由．得，設，代入反比例函數(shù)中即可；（2）首先利用勾股定理得，當若，則或；若，則，則；若，設點，則，從而解決問題．【解答】解：（1），，，，，，反比例函數(shù)的解析式為，，軸，，，設，，（負值舍去），點的坐標為，，（2），若為等腰三角形，可分三種情況：①若，則或；②若，則，則；③若，設點，則，解得：，，，綜上所述，滿足條件的點的坐標為：，或，或或．【點評】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，的幾何意義，等腰三角形等知識，運用分類討論思想是解題的關鍵．15．（2020秋?沈北新區(qū)校級期末）如圖1，在中，，，，點以每秒個單位長度的速度從點處沿射線方向運動，點以每秒2個單位長度的速度從點出發(fā)沿邊向點運動，點，兩點同時出發(fā)，當運動至點時，點、同時停止運動，設點運動時間為秒．（1）用含的代數(shù)式分別表示線段和的長度．則，．（2）若為等腰三角形，求值．（3）如圖2，以為對角線作正方形，在運動過程中，若正方形的一邊恰好落在的一邊上，請直接寫出所有符合條件的值．【考點】四邊形綜合題【分析】（1）由運動速度與時間的關系，直接可求；（2）分三種情況求解：①當時，；②當時，過點作交于點，則，即；③當時，過點作交于點，，即；分別求出的值即可；（3）分四種情況求解：①當在上時，，再由，可得，可求；②當在上時，，，即，可求；③當在上時，，由，可求；④當在上時，，由，可求．【解答】解：（1）由題意可得，，故答案為：，；（2）①當時，，；②如圖1，當時，過點作交于點，，，，，，，，在中，，，；③如圖2，當時，過點作交于點，，在中，，，；綜上所述：若為等腰三角形，的值為或2或；（3）如圖3，當在上時，，，，，，在中，，，；②如圖4，當在上時，在中，，，，，，，；③如圖5，當在上時，在中，，，，，；④如圖6，當在上時，在中，，，，，；綜上所述：的值為或或或．【點評】本題考查四邊形綜合，熟練掌握正方形的性質(zhì)，角的直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結合是解題的關鍵．16．（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點，且有，點是線段上的動點（與、不重合），聯(lián)結，設，．（1）求的度數(shù)；（2）求關于的函數(shù)解析式（無需寫出定義域）；（3）當是等腰三角形時，求的長．【考點】三角形綜合題【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出；（2）作于，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理列式計算求出關于的函數(shù)解析式；（3）分、兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．【解答】解：（1），，是的平分線，，，，；（2）如圖，作于，在中，，，，，，，，，在中，，，在中，，即，解得：；（3）在中，，，，當時，；當時，，解得：，即，點與、不重合，，綜上所述：當是等腰三角形時，的長為或8．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用分情況討論思想、勾股定理是解題的關鍵．17．（2021秋?雞冠區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊在軸上，點在軸上，，、的長分別是一元二次方程的兩個根，且．（1）求點的坐標；（2）點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點的直線與軸平行，直線交邊或邊于點，設點的橫坐標為，線段的長為，求關于的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請你直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．【考點】三角形綜合題【分析】（1）解一元二次方程求出、，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，得到點的坐標；（2）利用待定系數(shù)法分別求出直線、直線的解析式，分點在線段上、點在線段上兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到關于的函數(shù)解析式；（3）分、、三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．【解答】解：（1）解方程，可得，，、的長分別是一元二次方程的兩個根，且，，，，，，又，，，即，解得，；（2）由（1）可知，，，設直線解析式為，，解得，直線的解析式為，同理可求得直線解析式為，當點在線段上時，即時，則點在直線上，點坐標為，；當點在線段上時，即時，則點在直線上，點坐標為，；綜上可知關于的函數(shù)關系式為；（3）存在．由勾股定理得，，當，點在點的右側時，點的坐標為，，當時，，，點的坐標為，當時，如圖，，在中，，即，解得，，，點的坐標為，，綜上所述，為等腰三角形時，點的坐標為，或或，．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．18．（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，已知平面直角坐標系內(nèi)，點，點，，連接．動點從點出發(fā)，沿線段向運動，到達點后立即停止，速度為每秒個單位，設運動時間為秒．（1）當點運動到中點時，求此時的解析式；（2）在（1）的條件下，若第二象限內(nèi)有一點，當時，求的值；（3）如圖2，當點從點出發(fā)運動時，同時有點從出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿直