2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章變化率與導(dǎo)數(shù)3.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義學(xué)案含解析北師大版選修1-1

PAGE2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第32頁一、導(dǎo)數(shù)的概念1．定義：設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x1趨于x0，即Δx趨于0時，假如平均改變率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趨于一個固定的值，那么這個值就是函數(shù)y＝f(x)在x0點的瞬時改變率，也稱為y＝f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)．2．記法：函數(shù)y＝f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)，通常用符號f′(x0)表示，記作f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do6(x1→x0))eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝lieq\o(m,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).二、與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的概念1．平均改變率與導(dǎo)數(shù)平均改變率導(dǎo)數(shù)表達式eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)幾何意義曲線y＝f(x)上過兩點(x0，f(x0))和(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的割線的斜率曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率圖示2.切線的定義如表中圖，當(dāng)Δx趨于零時，點B將沿著曲線y＝f(x)趨向于點A，割線AB將繞點A轉(zhuǎn)動，最終趨于直線l，稱直線l為曲線y＝f(x)在點A處的切線．[疑難提示]利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過某點的切線方程的步驟(1)若已知點(x0，y0)在已知曲線上，則先求出函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，然后依據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)不存在，就是切線與y軸平行或是y軸；若f′(x0)>0，切線與x軸正方向夾角是銳角；若f′(x0)<0，則切線與x軸正方向夾角為鈍角；f′(x0)＝0，切線與x軸平行或是x軸．(2)若題中所給的點(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點坐標(biāo)，然后依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標(biāo)，進而求出切線方程．[想一想]1．函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)與Δx有關(guān)嗎？提示：導(dǎo)數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)y＝f(x)在x＝x0及其旁邊的函數(shù)值有關(guān)，與Δx無關(guān)．[練一練]2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是()A．在點x0處的斜率B．在點(x0，f(x0))處的切線與x軸所夾的銳角的正切值C．曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率D．點(x0，f(x0))與點(0,0)連線的斜率答案：C3．函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是()A．在該點的函數(shù)的增量與自變量的增量之比B．一個函數(shù)C．一個常數(shù)D．函數(shù)在這一點到它旁邊一點之間的平均改變率答案：C4．已知二次函數(shù)f(x)的圖像的頂點坐標(biāo)為(1,2)，則f′(1)的值為()A．1 B．0C．－1 D．2解析：∵二次函數(shù)f(x)的圖像的頂點坐標(biāo)為(1,2)，∴過點(1,2)的切線平行于x軸，即切線的斜率為0，∴f′(1)＝0，選B.答案：B授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第33頁探究一導(dǎo)數(shù)概念的理解[典例](1)求函數(shù)y＝eq\r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)；(2)設(shè)f′(a)＝3，求eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa－Δx,2Δx)的值． [解析](1)∵f(x)＝eq\r(x)，∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\r(1＋Δx)－1，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)2－12,Δx\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(Δx,Δx\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1).當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→eq\f(1,2)，∴f′(1)＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝3，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa－Δx,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa＋fa－fa－Δx,2Δx)＝eq\f(3,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa,3Δx)＋eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa－Δx－fa,－Δx)＝eq\f(3,2)f′(a)＋eq\f(1,2)f′(a)＝2f′(a)＝6.1．解答此類問題，應(yīng)留意以下幾條：(1)嚴(yán)格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟．(2)當(dāng)Δx趨于0時，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趨于0.(3)留意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用．2．利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝f(x)在某點處的導(dǎo)數(shù)的步驟：(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均改變率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)當(dāng)Δx趨于0時，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).1．一條水管中流過的水量y(單位：m3)是時間t(單位：s)的函數(shù)，y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)，并說明它的實際意義．解析：因為eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(f2＋Δt－f2,Δt)＝eq\f(32＋Δt－3×2,Δt)＝3，所以f′(2)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δt)＝3.f′(2)＝3的意義是：水流在2s時的瞬時流量為3m3/s，即假如保持這一速度，每經(jīng)過1s，水管中流過的水量為3m2．利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝eq\f(1,x2)＋2在點x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解析：Δy＝[eq\f(1,1＋Δx2)＋2]－(eq\f(1,1)＋2)＝eq\f(1,1＋Δx2)－1＝eq\f(－2Δx－Δx2,1＋Δx2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2－Δx,1＋Δx2)，當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)＝－2，∴函數(shù)y＝eq\f(1,x2)＋2在x＝1時的導(dǎo)數(shù)為－2.探究二導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用eq\x(\a\al(導(dǎo)數(shù)幾何意,義的應(yīng)用))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(求切線方程),—\x(求切點坐標(biāo)),—\x(求參數(shù)),—\x(綜合應(yīng)用)))3．(1)求曲線f(x)＝eq\f(2,x)在點(－2，－1)處的切線方程；(2)求過點A(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程．解析：(1)∵點(－2，－1)在曲線y＝eq\f(2,x)上，∴曲線y＝eq\f(2,x)在點(－2，－1)處的切線斜率就等于y＝eq\f(2,x)在點(－2，－1)處的導(dǎo)數(shù)．∴k＝f′(－2)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f－2＋Δx－f－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(2,－2＋Δx)－\f(2,－2),Δx)＝lieq\o(m,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,－2＋Δx)＝－eq\f(1,2)，∴曲線y＝eq\f(2,x)在點(－2，－1)處的切線方程為y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.(2)∵當(dāng)x＝3時，f(3)＝32＝9，∴點(3,5)不在曲線y＝x2上，設(shè)切點為A(x0，y0)，即A(x0，xeq\o\al(2,0))，則過點A的切線斜率k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，∴過點A的切線方程為y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)，即2x0x－y－xeq\o\al(2,0)＝0，又∵點(3,5)在切線上，∴6x0－5－xeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴x0＝1或5，∴切點為(1,1)或(5,25)，∴切線方程為y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.4．在曲線y＝eq\f(4,x2)上求一點P，使得曲線在該點處的切線分別滿意下列條件：(1)平行于直線y＝x＋1；(2)垂直于直線2x－16y＋1＝0；(3)傾斜角為135°.解析：設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy＝eq\f(4,x0＋Δx2)－eq\f(4,x\o\al(2,0))＝eq\f(4x\o\al(2,0)－4x0＋Δx2,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)＝eq\f(－8x0Δx－4Δx2,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－8x0－4Δx,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，∴當(dāng)Δx無限趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)無限趨近于－eq\f(8,x\o\al(3,0))，即f′(x0)＝－eq\f(8,x\o\al(3,0)).(1)因為切線與直線y＝x＋1平行．∴由導(dǎo)數(shù)幾何意義知f′(x0)＝1，即－eq\f(8,x\o\al(3,0))＝1，∴x0＝－2，y0＝1.即P(－2,1)．(2)∵切線與直線2x－16y＋1＝0垂直，∴有f′(x0)·(eq\f(－2,－16))＝－1，∴－eq\f(8,x\o\al(3,0))·eq\f(1,8)＝－1，∴x0＝1，y0＝4，即P(1,4)．(3)∵切線傾斜角為135°，∴f′(x0)＝tan135°＝－1，∴－eq\f(8,x\o\al(3,0))＝－1，∴x0＝2，y0＝1，即P(2,1)．5．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程；(2)求由直線l1，l2和x軸圍成的三角形的面積．解析：(1)y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2－x＋2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(2xΔx＋Δx2＋Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x＋Δx＋1)＝2x＋1.∴y′eq\a\vs4\al(|x＝1)＝2×1＋1＝3，∴直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3.設(shè)直線l2過曲線y＝x2＋x－2上的點B(b，b2＋b－2)，則l2的方程為y＝(2b＋1)x－b2－2.∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－eq\f(1,3)，解得b＝－eq\f(2,3).∴直線l2的方程為y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6),y＝－\f(5,2))).∴直線l1和l2的交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(5,2))).l1，l2與x軸的交點坐標(biāo)分別為(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)，0))，∴所求三角形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(22,3)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝eq\f(125,12).6.如圖表示物體運動的路程隨時間改變的函數(shù)f(t)＝4t－2t2的圖像，試依據(jù)圖像，描述、比較曲線f(t)在t0、t1、t2旁邊的改變狀況．解析：(1)當(dāng)t＝t0時，曲線f(t)在t0處的切線l0平行于t軸．所以在t＝t0旁邊曲線比較平坦．幾乎沒有升降．(2)當(dāng)t＝t1時，曲線f(t)在t1處的切線l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1旁邊曲線下降，即函數(shù)f(t)在t＝t1旁邊單調(diào)遞減．(3)當(dāng)t＝t2時，曲線f(t)在t2處的切線l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2旁邊曲線下降，即函數(shù)f(t)在t＝t2旁邊也單調(diào)遞減．由圖像可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，說明曲線f(t)在t1旁邊比在t2旁邊下降得緩慢．因?qū)?dǎo)數(shù)的概念理解不透徹致誤[典例]已知f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為4，則eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝________.[解析]eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δ