2024北京大峪中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京大峪中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（滿分：150分；時(shí)間：120分鐘；命題人：高二集備組；審核人：宋揚(yáng)）一、選擇題（本大題共10.小題，每題4分，共40分）1.在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B. C. D.2.已知直線l的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.直線被圓截得的弦長為（）A.1 B. C.2 D.4.已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)含 B.相切 C.相交 D.外離5.若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，則滿足的條件為（）A. B.C. D.6.設(shè)aR，則“a＝1”是“直線：ax＋2y－1＝0與直線：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，在空間四邊形OABC中，，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8.棱長為1的正方體中，若G為正方形的中心，即（）A.2 B. C.－1 D.19.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)，變化時(shí)，直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.10.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作，，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切.則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.6二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）11.已知向量，若，則__________．12.已知直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為________，這兩條平行直線間的距離為______.13.已知，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____.14.在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)，變化時(shí)，的最大值為______.15.如圖，若正方體的棱長為2，點(diǎn)是正方體的底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是_____．

①若保持，則點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長度為②三棱錐體積的最大值為③若，則二面角的余弦值的最大值為④若則與所成角的余弦值的最大值為三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.已知兩點(diǎn)，直線為線段AB的垂直平分線，求：（1）直線的方程；（2）直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.17.在①圓的一條對(duì)稱軸為，②圓經(jīng)過點(diǎn)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，進(jìn)行求解.已知圓經(jīng)過點(diǎn)且______.（1）求圓的方程；（2）在圓中，求以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.18.如圖，在長方體中，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積.19.已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方.（1）求圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長等于，求直線的方程.20.如圖，四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若二面角的余弦值是，求的值；（3）若，在線段AD上是否存在一點(diǎn)，使得．若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．21.人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點(diǎn)，，求的最大值；（3）已知點(diǎn)，是直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共10.小題，每題4分，共40分）1.【答案】B【分析】直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所?故選：B2.【答案】D【分析】由直線的方向向量的概念，即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角.【詳解】由直線l的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選：D.3.【答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離，然后利用半徑、圓心距和弦的關(guān)系可求出弦長【詳解】解：圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線被圓所截得的弦長為，故選：B4.【答案】A【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值比較，即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內(nèi)含；故選：A5.【答案】B【分析】由已知，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，再由垂直直線的斜率關(guān)系和點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)在上，建立方程組，即可得到.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得.故選：B.6.【答案】A【詳解】∵當(dāng)a=1時(shí)，直線：x+2y﹣1=0與直線：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．7.【答案】C【分析】根據(jù)已給條件該題可利用向量法求解與夾角的余弦值,可先求與的數(shù)量積，再利用代入向量的夾角公式求解即可.【詳解】，，設(shè)異面直線與的夾角為，則.故選：C.8.【答案】D【分析】設(shè)，，，利用基向量表示、，再求其數(shù)量積.【詳解】設(shè)，，，則，且，，，即，且，，，則，，則.故選：D.9.【答案】B【分析】將點(diǎn)代入直線方程中得出點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合圖像分析即可求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則表示圓心為，半徑為1的圓上的點(diǎn)，如圖：由圖可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率得到最值，設(shè)，由圓與直線相切，故有圓心到直線的距離為半徑1，即，解得：，由圖分析得：直線的斜率的取值范圍是.故選：B.10.【答案】A【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得邊上的高線，垂直平分線和中線合一，其“歐拉線”為邊的垂直平分線，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的關(guān)系，求得邊上的垂直平分線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合圓的對(duì)稱性得出答案.【詳解】解：因?yàn)樵谥?，所以邊上的高線、垂直平分線和中線合一，則其“歐拉線”為邊的垂直平分線因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，所以因?yàn)橹本€的斜率為，所以的垂直平分線的斜率為所以的垂直平分線方程為，即因?yàn)椤皻W拉線”與圓相切所以可得圓心到“歐拉線”的距離為圓心到直線的距離為由圓的對(duì)稱性可知，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用距離公式得出圓心到直線的距離，再由對(duì)稱性得出最小值.二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）11.【答案】-7【分析】根據(jù)空間共線向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】∵，，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，解得,∴．故答案為：.12.【答案】①.②.##【分析】先聯(lián)立直線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用平行關(guān)系得斜率，從而利用點(diǎn)斜式方程求解直線方程，再化為一般式即可，最后代入兩平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由，可得，即，又，故過點(diǎn)且與平行的直線方程為，即，可將表示為，此時(shí)兩平行直線間的距離為.故答案為：，13.【答案】【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量夾角為鈍角需滿足數(shù)量積為負(fù)，且夾角不為平角.【詳解】，與的夾角為鈍角，則，即.又當(dāng)與的夾角為平角時(shí)，有，得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故答案為：14.【答案】3【分析】問題轉(zhuǎn)化為圓的圓心到直線的距離的最大值加上圓的半徑即可得到.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡是圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓,直線過定點(diǎn),如圖所示:過作,垂足為,則,所以,取等的條件是與重合,此時(shí).故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想,點(diǎn)到直線的距離,圓的方程,直線過定點(diǎn),屬于中檔題.15.【答案】①②④【分析】對(duì)于①，易知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在底面內(nèi)的四分之一圓，即可知①正確；對(duì)于②，的面積為定值，建立空間直角坐標(biāo)系求得到平面的距離最大值為，可得②正確；對(duì)于③，若，由空間向量可得二面角的余弦值的最大值為，即③錯(cuò)誤；異面直線與所成角的余弦值的最大值為，即④正確.【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意可知平面，所以為直角三角形，即，且若保持，可知，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在底面內(nèi)的部分，即為四分之一圓，因此點(diǎn)在底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)路徑長度為，即①正確；對(duì)于②，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：易知，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，令，可得，即；可設(shè)，則，所以到平面的距離為，易知當(dāng)時(shí)，距離最大值為；又在中，易知，所以邊上的高為；其面積為定值，即；所以到平面的距離最大時(shí)，三棱錐體積的最大為，即②正確；對(duì)于③，根據(jù)正方體性質(zhì)可知平面，又是棱的中點(diǎn)，，所以可得點(diǎn)在平面，又點(diǎn)在底面內(nèi)，平面平面，所以；根據(jù)B中的坐標(biāo)系可知，所以可得，；則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，令，則，即；易知平面的一個(gè)法向量為，所以，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，可得在上恒成立，即在上單調(diào)遞增；此時(shí)時(shí)，最大，當(dāng)，，易知在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，又由圖可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，綜上二面角的余弦值的取值范圍為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，根據(jù)選項(xiàng)C易知，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，易知當(dāng)時(shí)，取到最大值為，綜上可知，與所成角的余弦值的最大值為，即④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解二面角以及線面角最值問題時(shí)，一般需要借助空間向量得出空間角余弦值的表達(dá)式，再利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求出最值即可.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)和直線垂直的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式即可得解.（2）求求出直線與坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積.【小問1詳解】點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，直線的斜率，于是直線的斜率為，其方程為，即.【小問2詳解】由（1）知，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.17.【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選擇條件①、條件②，求出線段中垂線方程，進(jìn)而求出圓心和半徑即可求出圓的方.（2）先求出弦的中點(diǎn)與圓心所在直線的斜率，進(jìn)而求出弦所在的直線的斜率，再求直線方程即可.【小問1詳解】選條件①，由點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)，直線的斜率，于是線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此圓的圓心，半徑，所以圓的方程為

.選條件②，由點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)，直線的斜率，于是線段的中垂線方程為，即，顯然圓心在線段的中垂線上，設(shè)，由，得，解得，因此圓的圓心，半徑，所以圓的方程為

.【小問2詳解】記，由（1）知，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，直線的斜率，因此以為中點(diǎn)的圓的弦所在的直線斜率為，方程為，即，所以所求直線方程為

.18.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）設(shè)，連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（3）計(jì)算出的面積，再利用三棱錐的體積公式可求得三棱錐的體積.【小問1詳解】證明：設(shè)，連接，在長方體中，底面為矩形，且，所以，為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?【小問2詳解】證明：在矩形中，，則矩形為正方形，故，在長方體，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問3詳解】解：因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的正方形，則，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，則.19.【答案】（1）（2）或【分析】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得出，利用點(diǎn)到直線的距離求出的值，可得出圓心坐標(biāo)，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離為，然后對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線的斜率，綜合可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在直線上方，則，可得，因?yàn)榘霃綖榈膱A與相切，則，因?yàn)?，解得，所以，圓心為原點(diǎn)，故圓的方程為.【小問2詳解】解：由勾股定理可得，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合乎題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.20.【答案】（1）證明見解析（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）推導(dǎo)出平面．．由此能證明平面;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出的值;（3）設(shè)，當(dāng)，，，由知，,，這與矛盾,從而在線段上不存在點(diǎn)，使得．【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫妫?所以平面,又因?yàn)槠矫妫裕谥?，，是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?平面,所以平面．【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)?所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則,則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即，令，則，，故．因?yàn)槠矫?，平面，所?又,平面,所以平面．又因?yàn)?，所以取平面的法向量為所以，則，解得．又因?yàn)?，所以；【小?詳解】結(jié)論：不存在．理由如下：證明：設(shè)．當(dāng)時(shí)，，，由知,，這與矛盾,所以在線段上不存在點(diǎn)，使得．21.【答案】（1），（2）（3）存在，和【分析】（1）代入和的公式，即可求解；（2）首先設(shè)，代入，求得點(diǎn)的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合公式，結(jié)合余弦值，即可求解；（3）首先求的最小值，分和兩