專題08證明不等式問題（原卷版）

專題08證明不等式問題【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）題型三：分析法題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友題型六：放縮法題型七：虛設(shè)零點(diǎn)題型八：同構(gòu)法題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理題型十：分段分析法、主元法、估算法題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題題型十三：三角函數(shù)【典例例題】題型一：直接法例1．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，．例2．設(shè)函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時(shí)，證明：．例3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，，時(shí)，證明：．題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）例4．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．例5．已知．（1）若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．例6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若的極大值點(diǎn)為，求證：．．例7．已知函數(shù)．（1）判斷的單調(diào)性，并說明理由；（2）若數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意，．題型三：分析法例8．已知，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。唬áⅲ?．已知，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：．（參考數(shù)值：例10．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：．題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)例11．已知函數(shù)且（1）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：．例12．已知函數(shù)，．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．例13．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友例14．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．例15．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．例16．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．例17．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．題型六：放縮法例18．已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，．例19．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．例20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）解關(guān)于的不等式題型七：虛設(shè)零點(diǎn)例21．設(shè)函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．例22．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．例23．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．參考數(shù)據(jù)：，．題型八：同構(gòu)法例24．已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．例25．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．例26．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，，證明：當(dāng)時(shí)，題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例27．已知函數(shù)，．（1）若恰為的極小值點(diǎn)．（?。┳C明：；（ⅱ）求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，，又由泰勒級(jí)數(shù)知：，．證明：．例28．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．例29．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，，，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，若區(qū)間，滿足當(dāng)定義域?yàn)椋瑫r(shí)，值域也為，，則稱為的“和諧區(qū)間”，（?。r(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ⅱ）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由．題型十：分段分析法、主元法、估算法例30．設(shè)且，函數(shù)．（1）若在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，證明：，；（2）若在區(qū)間沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．例31．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．例32．已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（3）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）例33．已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若取，試估計(jì)的范圍．（精確到0.01）題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值例34．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；（2）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：．例35．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在其零點(diǎn)處的切線方程；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：．例36．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程：（2）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，求證：．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題例37．已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)．（1）若函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）求證：．例38．證明：．例39．已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求證：恒成立；（2）設(shè)是正整數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，，求的最小值．題型十三：三角函數(shù)例40．已知函數(shù).(1)設(shè)且，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)，證明：.例41．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：．例42．已知.（1）當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)，求證：.【過關(guān)測(cè)試】1．（2022·重慶市第十一中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文））已知.(1)若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.4．（2022·全國(guó)·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：.5．（2022·江蘇江蘇·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)試討論f（x）的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意，均有，求a的取值范圍；(3)求證:.6．（2022·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；(2)若對(duì)于恒成立，求正整數(shù)的最大值；(3)求證：．7．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的值域；(2)當(dāng)時(shí)，證明：8．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，且；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：，，，.9．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)，我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過“二分法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點(diǎn)，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實(shí)施如下步驟：在處作曲線的切線，