2023年江蘇省中考數(shù)學第一輪復習卷9三角形

2023年江蘇省中考數(shù)學第一輪復習卷：9三角形一．選擇題（共13小題）1．（2022?射陽縣校級一模）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．（2022?宜興市一模）如圖，△ABC中，BC＝6，∠A＝30°，點O為△ABC的重心，連接AO、BO、CO，若固定邊BC，使頂點A在△ABC所在平面內(nèi)進行運動，在運動過程中，保持∠BAC的大小不變，則線段AO的長度的取值范圍為（）A．3＜AO≤2+4 B．3≤AO≤3+4 C．2≤AO≤2+4 3．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55°，P是AB上的一個動點，則∠APC的度數(shù)可能是（）A．55° B．62° C．120° D．130°4．（2022?如皋市二模）平面直角坐標系xOy中，已知A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），C(n，2n)，其中m，n均為常數(shù)，且n≠0．當△A．﹣3 B．﹣2 C．-3 D．5．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC．為證明“等邊對等角”這一結(jié)論，常添加輔助線AD，通過證明△ABD和△ACD全等從而得到角相等．下列輔助線添加方法和對應(yīng)全等判定依據(jù)有錯誤的是（）A．角平分線AD，全等依據(jù)SAS B．中線AD，全等依據(jù)SSS C．角平分線AD，全等依據(jù)HL D．高線AD，全等依據(jù)HL6．（2022?宜興市校級二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，BD⊥CE，垂足為點D，連結(jié)AD．下列結(jié)論：①若∠ABC＝30°，則BD＞AD；②若∠ABC＝45°，則S△ACE＝4S△BDE；③若sin∠ABC=13，則S△ABC＝S△ABD；④若tan∠ABC＝m，則CE＝2m?A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝10，在△ABC三邊上各取一點連成等邊△DEF，則△DEF面積的最小值是（）A．2533 B．75143 C．758．（2022?蘇州模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，點E、F分別是AB，AD邊上的中點，則sin∠ECF＝（）A．22 B．2315 C．129．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AC的中點，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．410．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，點A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，AD與BC相交于點O，小正方形的邊長為1，則AO的長等于（）A．2 B．73 C．625 11．（2022?常州）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．若DE＝2，則BC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．612．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm13．（2022?蘇州）如圖，點A的坐標為（0，2），點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點C的坐標為（m，3），則m的值為（）A．433 B．2213 C．5二．填空題（共11小題）14．（2022?濱海縣校級三模）如圖1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”．如圖2，已知點A（4，0），點P是y軸上一點，點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB的最小值是．15．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）如圖，點I為△ABC的重心，過點I作PQ∥BC交AB于點P，交AC于點Q，若BC＝10，則IQ的長為．16．（2022?泰興市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以△ABC的三邊為直徑在BC同側(cè)作半圓，得兩個月牙（圖中陰影），過點A作BC的平行線，分別和以AB、BC為直徑的半圓交于D、E兩點，若AD：AE＝4：5，AC﹣AB＝2，則陰影部分的面積和為．17．（2022?鎮(zhèn)江一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，再以點C圓心，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，你有哪些發(fā)現(xiàn)？寫出一個即可：．18．（2022?錫山區(qū)校級三模）“勾股圖”有著悠久的歷史，歐幾里得在《幾何原本》中曾對它做了深入研究．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以△ABC的三條邊為邊向外作正方形．連接EB，CM，DG，CM分別與AB，BE相交于點P，Q．若∠AMP＝30°，則∠ABE＝°，DGQM的值為19．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝8cm，∠ABC的平分線交AC于點D，DE⊥BC，垂足為E，則DC+DE＝cm．20．（2022?高郵市模擬）如圖，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在作業(yè)本一條橫線l1上，另兩點分別落在另兩條橫線l2，l3上，若l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，斜邊與l3所夾的銳角為α，則tanα的值為．21．（2022?啟東市二模）如圖，為了估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，并且點B，C，D在同一條直線上．若測得CD＝30米，則河寬AB為米．（結(jié)果保留根號）22．（2022?南通）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個條件，則這個條件可以是．23．（2022?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．24．（2022?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一條始終繃直的彈性染色線連接CF，Rt△DEF從起始位置（點D與點B重合）平移至終止位置（點E與點A重合），且斜邊DE始終在線段AB上，則Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域面積是．三．解答題（共9小題）25．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）如圖，△ADE中，AD＝AE，點B、C是直線DE上的兩點，點B在點D左側(cè)，點C在點E右側(cè)，且BD＝CE．（1）求證：AB＝AC；（2）若DA⊥AE，∠B＝28°，求∠BAD的大?。?6．（2022?海州區(qū)校級三模）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若EF＝12，AE＝10，求四邊形AEDF的面積．27．（2022?邗江區(qū)二模）如圖1，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，∠ACB的角平分線交邊AB于D點，BD=2（1）請求出AC的長；（2）如圖2，E為CD上的一個動點，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G點，連接AF，當E點在CD間運動時，請判斷EFAE的值是否為一個定值，如果是請求出具體的值，不是，（3）在（2）的條件下，若AE＝EC，請求出△EGC的面積．28．（2022?揚州三模）如圖，△ABC和△DEC都為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）當n＝60時，①如圖1，當點D在AC上時，請直接寫出BE與AD的數(shù)量關(guān)系：；②如圖2，當點D不在AC上時，判斷線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當n＝90時，①如圖3，探究線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當BE∥AC，AB＝62，AD＝2時，請直接寫出DC的長．29．（2022?連云港模擬）在平面內(nèi)，線段AB＝20，線段BC＝CD＝DA＝10，將這四條線段顏款首尾精接．把AB固定，讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角α（α＞0°）到某一位置時，BC，CD將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．論證：如圖1，當AD∥BC時，設(shè)AB與CD交于點O，求證：AO＝10：發(fā)現(xiàn)：當旋轉(zhuǎn)角α＝60°時，∠ADC（的度數(shù)可能是多少？嘗試：報線段CD的中點M，當點M與點B距離最大時，求點M到AB的距離：拓展：①如圖2，設(shè)點D與B的盟離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點P，直接寫出BP的長（用含d的式子表示）：②當點C在AB下方，且AD與CD垂直時，直接寫出α的余弦值．30．（2022?武進區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），（Ⅰ）連接AB，若把線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則得線段A0B，請在圖①中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點A的對應(yīng)點A0（不寫作法，保留作圖痕跡），直接寫出點A0的坐標；（Ⅱ）若把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為A′，O′，如圖②，求點O′和點A′的坐標；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P′，求P′B+BA+3531．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．（1）∠EDC的度數(shù)為°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（4）求CHCE32．（2022?常州）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點．若△OAB≌△OCD，則點O叫做該四邊形的“等形點”．（1）正方形“等形點”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”．已知CD＝42，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，求OFOG33．（2022?蘇州）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點D，DE∥AC，交BC于點E．①若DE＝1，BD=32，求②試探究ABAD（2）如圖2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2個外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延長線于點D，DE∥AC，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為S1，△CDE的面積為S2，△BDE的面積為S3．若S1?S3=916S22，求cos∠

2023年江蘇省中考數(shù)學第一輪復習卷：9三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共13小題）1．（2022?射陽縣校級一模）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：如圖，延長AC交平行線與點H，則∠2＝30°，∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．故選：A．2．（2022?宜興市一模）如圖，△ABC中，BC＝6，∠A＝30°，點O為△ABC的重心，連接AO、BO、CO，若固定邊BC，使頂點A在△ABC所在平面內(nèi)進行運動，在運動過程中，保持∠BAC的大小不變，則線段AO的長度的取值范圍為（）A．3＜AO≤2+4 B．3≤AO≤3+4 C．2≤AO≤2+4 【解答】解：如圖1，作△ABC的外接圓E，連接BE，EC，過點E作ED⊥BC于D，∵BE＝EC，∴BD＝CD＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠BEC＝60°，∵BE＝EC，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝6，ED＝33，當點A接近點B或點C時，OA的值最小，OA＞3，當AO與ED在同一直線上時，如圖2，AO最大，∵AD＝AE+DE＝6+33，∵O是重心，∴AO=23AD＝4+23，即AO的最大值是4+2綜上所述，3＜OA≤4+23故選：D．3．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55°，P是AB上的一個動點，則∠APC的度數(shù)可能是（）A．55° B．62° C．120° D．130°【解答】解：如圖，連接CP．∵AB＝AC，∠A＝55°，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣55°）＝∵∠APC＝∠B+∠PCB，∴62.5°＜∠APC＜125°，故選：C．4．（2022?如皋市二模）平面直角坐標系xOy中，已知A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），C(n，2n)，其中m，n均為常數(shù)，且n≠0．當△A．﹣3 B．﹣2 C．-3 D．【解答】解：∵A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），∴|AB|=(2m+2-2m此時，△ABC中，|AB|長度確定，設(shè)△ABC的高為h，∴S△ABC∴當△ABC的面積最小時，h最小，設(shè)直線AB為：y＝kx+b，則-m解得：k=-∴直線AB為：y=-12（x﹣2m）﹣m﹣1=-∴2y＝﹣x﹣2，x+2y+2＝0，點C到直線AB的距離為：n=|n+2×由圖可知，點C在第三象限會使h最小時，n＜0，n+4n當且僅當n=4n，n＝﹣故選：B．5．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC．為證明“等邊對等角”這一結(jié)論，常添加輔助線AD，通過證明△ABD和△ACD全等從而得到角相等．下列輔助線添加方法和對應(yīng)全等判定依據(jù)有錯誤的是（）A．角平分線AD，全等依據(jù)SAS B．中線AD，全等依據(jù)SSS C．角平分線AD，全等依據(jù)HL D．高線AD，全等依據(jù)HL【解答】解：A、當AD是角平分線時，則利用SAS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故A不符合題意；B、當AD是中線時，則利用SSS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故B不符合題意；C、當AD是角平分線時，則利用SAS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故C符合題意；D、當AD是角平分線時，則利用SAS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故D不符合題意；故選：C．6．（2022?宜興市校級二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，BD⊥CE，垂足為點D，連結(jié)AD．下列結(jié)論：①若∠ABC＝30°，則BD＞AD；②若∠ABC＝45°，則S△ACE＝4S△BDE；③若sin∠ABC=13，則S△ABC＝S△ABD；④若tan∠ABC＝m，則CE＝2m?A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：①如圖1，延長BD，CA交于點G，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△GBC是等邊三角形，∵CD⊥BG，∴BD＝DG，Rt△BAG中，AD=12BG＝故①錯誤；②如圖2，過點E作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，∴AE＝EF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴AB＝AC，同理得△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF，設(shè)AE＝x，則BF＝EF＝x，BE=2x，AB＝AC＝x+2∴CE=A∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC＝90°，∴△BDE∽△CAE，∴S△ACES△BDE=（CEBE）∴S△ACE＝（2+2）S△BDE故②錯誤；③如圖3，過點E作EF⊥BC于F，∵sin∠ABC=EF設(shè)EF＝a，BE＝3a，則AE＝EF＝a，∴BF＝22a，∵∠EAC＝∠CFE＝90°，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△FCE（HL），∴AC＝CF=2a延長BD，CA交于點G，∵∠GCD＝∠BCD，CD⊥BG，∴∠CBD＝∠G，∴CG＝CB＝32a，BD＝DG，∴AG＝22a，∴S△ABD=12?S△ABG=12×12×22a×S△ABC=12?2a?4a＝22a∴S△ABC＝S△ABD；故③正確；④如圖4，延長BD，CA交于點G，∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠DEB＝∠AEC，∴∠ACE＝∠DBE，∵∠EAC＝∠BAG＝90°，∴△AEC∽△AGB，∴CEBG由③知：BG＝2BD，∵tan∠ABC=ACAB∴CE2BD=∴CE＝2m?BD．故④正確；本題正確的結(jié)論有：③④．故選：D．7．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝10，在△ABC三邊上各取一點連成等邊△DEF，則△DEF面積的最小值是（）A．2533 B．75143 C．75【解答】解：由題意知，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠B＝60°，延長BC至G，連接FG使∠G＝∠B＝60°，∵△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF＝EF，∠DEF＝60°，∴∠BED+∠FEG＝120°，∵∠B＝60°，∴∠BED+∠BDE＝120°，∴∠FEG＝∠BDE，在△GFD和△BDE中，∠G=∴△GFE≌△BDE（AAS），∴BE＝GF，設(shè)CG＝x，∵Rt△CFG中，∠G＝60°，∴∠CFG＝30°，∴GF＝2x，F(xiàn)C=3x∴BE＝2x，CE＝10﹣2x，在Rt△DCF中，由勾股定理得，EC2+CF2＝EF2，∴EF=(10-2x∵0≤2x≤10，即0≤x≤5，∴當x=207時，EF最小值∴S△DEF的最小值=1故選：C．8．（2022?蘇州模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，點E、F分別是AB，AD邊上的中點，則sin∠ECF＝（）A．22 B．2315 C．12【解答】解：如圖，連接AO，EF交于點O，過點E作EG⊥CF于點G，∵AB＝AD，點E、F分別是AB，AD邊上的中點，∴AE＝AF＝BE＝DF，∵∠BAD＝60°，∴△EAF是等邊三角形，∵AB＝AD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC＝∠CAD＝30°，AC⊥EF，設(shè)AE＝23x，則EF＝BE＝23x，AO＝3x，∴BC＝4x，AC＝8x，∴OC＝8x﹣3x＝5x，由勾股定理得：EC＝FC=BC2+B∵S△EFC=12?EF?OC=12?∴EF?OC＝CF?EG，∴23x?5x＝27x?EG，∴EG=5∴sin∠ECF=EG故選：D．9．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AC的中點，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E為AC的中點，∴DE=12AC＝故選：C．10．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，點A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，AD與BC相交于點O，小正方形的邊長為1，則AO的長等于（）A．2 B．73 C．625 【解答】解：如圖：連接AE，由題意得：AE∥BC，AD=32+42=∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，故選：A．11．（2022?常州）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．若DE＝2，則BC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE，∵DE＝2，∴BC＝4，故選：B．12．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【解答】解：當3cm是腰長時，3，3，5能組成三角形，當5cm是腰長時，5，5，3能夠組成三角形．則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D．13．（2022?蘇州）如圖，點A的坐標為（0，2），點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點C的坐標為（m，3），則m的值為（）A．433 B．2213 C．5【解答】解：過C作CD⊥x軸于點D，CE⊥y軸于點E，如圖：∵CD⊥x軸，CE⊥y軸，∠DOE＝90°，∴四邊形EODC是矩形，∵將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC=AE2+C在Rt△BCD中，BD=B在Rt△AOB中，OB=A∵OB+BD＝OD＝m，∴m2-3化簡變形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m=533或∴m=5故選：C．二．填空題（共11小題）14．（2022?濱海縣校級三模）如圖1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”．如圖2，已知點A（4，0），點P是y軸上一點，點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB的最小值是45．【解答】解：如圖，在y軸的正半軸上截取OC，使得OC＝OA＝4，連接AC，BC．∵△AOC，∠APB都是等腰直角三角形，∴∠OAC＝∠PAB，AC=2OA，AB=2∴∠OAP＝∠CAB，OAAC∴△OAP∽△CAB，∴∠AOP＝∠ACB＝90°，∴點B在直線y＝x+4上運動，作點O關(guān)于直線BC的對稱點E，連接AE交BC于點T，當點B與T重合時，OB+AB的值最小，∵E（﹣4，40，a（4，0），∴AE=42+∴OB+AB的最小值為45，故答案為：45．15．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）如圖，點I為△ABC的重心，過點I作PQ∥BC交AB于點P，交AC于點Q，若BC＝10，則IQ的長為103【解答】解：連接AI并延長交BC于D，如圖，∵點I為△ABC的重心，∴AI＝2ID，∴AIAD∵PQ∥BC，∴AQAC又∵PQ∥BC，∴△AIQ∽△ADC，∴IQDC∴IQ＝DC×2∵I為△ABC的重心，∴DC=1∴IQ=5×故答案為：10316．（2022?泰興市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以△ABC的三邊為直徑在BC同側(cè)作半圓，得兩個月牙（圖中陰影），過點A作BC的平行線，分別和以AB、BC為直徑的半圓交于D、E兩點，若AD：AE＝4：5，AC﹣AB＝2，則陰影部分的面積和為12．【解答】解：設(shè)DE交以AC為直徑的半圓于F，取BC的中點O，作OG⊥DF于G，連接CF、BD、OA．∵AC是直徑，∴∠AFC＝90°．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°．∵DF∥BC，OG⊥DF，∴四邊形BCFD、四邊形DBOG是矩形，∴BC＝DF，OB＝DG，∵AD：AE＝4：5，設(shè)AD＝4k，AE＝5k，則AG=12AE=∴DG＝AD+AG＝4k+52k=∴OB＝OA＝DG=132k，BC＝DF＝2OB＝13∴AF＝DF﹣AD＝13k﹣4k＝9k，∴OG=OA2∴CF＝BD＝OG＝6K，在Rt△ABD中，AB=AD2+B在Rt△ACF中，AC=AF2+C∵AC﹣AB＝2，∴313k﹣213k＝2，∴k=2∴AB＝4，AC＝6，S陰影＝直徑為AC的半圓的面積+直徑為AB的半圓的面積+S△ABC﹣直徑為BC的半圓的面積=12π（AC2）2+12π（AB2）2+12AC=18π（AC）2+18π（AB）2-18π（BC=18π（AC2+AB2﹣BC2）+1=12AC=12×＝12．故答案為：12．17．（2022?鎮(zhèn)江一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，再以點C圓心，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，你有哪些發(fā)現(xiàn)？寫出一個即可：A、C、D三點共線（答案不唯一）．【解答】解：寫出一個發(fā)現(xiàn)為：A、C、D三點共線，理由如下：連接BD、CD，在△ABC和△DBC中，AC=DCAB=DB∴△ABC≌△DBC（SSS），∴∠BCD＝∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠BCD＝180°，∴A、C、D三點共線，故答案為：A、C、D三點共線（答案不唯一）．18．（2022?錫山區(qū)校級三模）“勾股圖”有著悠久的歷史，歐幾里得在《幾何原本》中曾對它做了深入研究．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以△ABC的三條邊為邊向外作正方形．連接EB，CM，DG，CM分別與AB，BE相交于點P，Q．若∠AMP＝30°，則∠ABE＝30°，DGQM的值為3-1【解答】解：∵四邊形AEDC、四邊形AMNB四邊形BCGF都為正方形，∴AE＝AC＝CD，AB＝AM，BC＝CG，∠EAC＝∠MAB＝∠ACD＝∠BCG＝90°，∴∠EAB＝∠CAM，在△EAB和△CAM中，AE=AC∠EAB=∠CAM∴△EAB≌△CAM（SAS），∴∠EBA＝∠CMA＝∠AMP＝30°，∴∠BPQ＝∠APM＝60°，∴∠BQP＝90°，∴PQ=12設(shè)AP＝a，∴PM＝2AP＝2a，在Rt△MAP中，由勾股定理得：AM=P∴PB＝AB﹣AP＝AM﹣AP＝（3-1）a∴PQ=12PB=∴QM＝QP+PM=3-12a+2a∵∠ACB＝90°，∴∠DCG＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠ACB＝∠DCG，在△ACB和△DCG中，BC=CG∠ACB=∠DCG∴△ACB≌△DCG（SAS），∴DG＝AB=3a∴DGQM故答案為：30；3-119．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝8cm，∠ABC的平分線交AC于點D，DE⊥BC，垂足為E，則DC+DE＝4cm．【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴AC=12BC＝4∵BD平分∠ABC，DA⊥BA，DE⊥BC，∴DE＝DA，∴DC+DE＝DC+DA＝AC＝4cm．故答案為：4．20．（2022?高郵市模擬）如圖，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在作業(yè)本一條橫線l1上，另兩點分別落在另兩條橫線l2，l3上，若l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，斜邊與l3所夾的銳角為α，則tanα的值為13【解答】解：如圖1所示，過點A作l1的垂線，垂足為D，過點C作l1、l3的垂線，垂足為E、F，設(shè)l1、l2之間的距離為a，則l2與l3之間的距離也為a，∵∠ABC＝90°，∴∠DBA+∠EBC＝90°，∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EBC＝∠DAB，∵∠ADB＝∠BEC，AB＝BC，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴AD＝BE＝2a，DB＝EC＝a，∴AF＝DE＝3a，∵CF＝a，∴tanα=1故答案為：1321．（2022?啟東市二模）如圖，為了估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，并且點B，C，D在同一條直線上．若測得CD＝30米，則河寬AB為153【解答】解：設(shè)河寬AB為x米．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴BC=33在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD=3AB=3∴CD＝BD﹣BC=3x-33x∴233x＝解得x＝153．即：河寬AB為153米．故答案是：153．22．（2022?南通）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個條件，則這個條件可以是AB＝DE（答案不唯一）．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案為：AB＝DE（答案不唯一）．23．（2022?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是2．【解答】解：∵E是AD的中點，∴CE是△ACD的中線，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面積是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案為：2．24．（2022?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一條始終繃直的彈性染色線連接CF，Rt△DEF從起始位置（點D與點B重合）平移至終止位置（點E與點A重合），且斜邊DE始終在線段AB上，則Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域面積是21．【解答】解：如圖，連接CF交AB于點M，連接CF′交AB于點N，過點F作FG⊥AB于點H，過點F′作F′H⊥AB于點H，連接FF′，則四邊形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE=DF在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB=AC∵12?DF?EF=12?DE∴FG=12∴BG=B∴GE＝BE﹣BG=165，AH＝GE∴F′H＝FG=12∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴BMAM∴BM=14AB同法可證AN=14AB∴MN＝15-15∴Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域的面積=12×（10+15故答案為：21．三．解答題（共9小題）25．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）如圖，△ADE中，AD＝AE，點B、C是直線DE上的兩點，點B在點D左側(cè)，點C在點E右側(cè)，且BD＝CE．（1）求證：AB＝AC；（2）若DA⊥AE，∠B＝28°，求∠BAD的大?。窘獯稹浚?）證明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中AD=AE∠ADB=∠AEC∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AB＝AC；（2）解：∵AD⊥AE，AD＝AE，∴∠ADE＝45°，∵∠B＝28°，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝17°．26．（2022?海州區(qū)校級三模）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若EF＝12，AE＝10，求四邊形AEDF的面積．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°，∴DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，DA=DADE=DF∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵AD垂直平分EF，EF＝12，AE＝10，∴EG=12EF=6，∠AGE∴AG=A∵∠AGE＝∠AED＝90°，∠GAE＝∠EAD，∴△GAE∽△EAD，∴AEAD=AG∴AD=25∴S四邊形27．（2022?邗江區(qū)二模）如圖1，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，∠ACB的角平分線交邊AB于D點，BD=2（1）請求出AC的長；（2）如圖2，E為CD上的一個動點，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G點，連接AF，當E點在CD間運動時，請判斷EFAE（3）在（2）的條件下，若AE＝EC，請求出△EGC的面積．【解答】解：（1）如圖，作DM⊥BC于M，∵CD平分∠ACB，∠DAC＝90°，∴AD＝DM，∵BD=2，∠B＝45∴DM＝BM＝1，∴AD＝DM＝1，又∵∠A＝90°，∠B＝45°，∴AC＝AB=2（2）EFAE如圖2，取AF的中點為N，連接EN，CN，∵∠AEF＝∠ACF＝90°，∴EN＝CN＝AN＝NF，∴A、E、C、F四點共圓，∴∠AFE＝∠ACD，又∵∠DAC＝∠AEF＝90°，∴△AEF∽△DAC，∴EFAE（3）由第（2）問可知A、E、C、F四點共圓，∴∠EAC＝∠CFE，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AFE＝∠ACE，∴∠AFE＝∠EFC，∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝45°，∴∠ACD＝22.5°，∴∠AFE＝∠EFC＝22.5°，∴∠AFC＝45°，∴CF＝AC=2+又∵tan∠EFC＝tan∠AFE，∴CGCF∴CFCG∴CG＝1，∴AG=2∵∠EAC＝∠ACE，∵∠EAC+∠DAE＝∠ACE+∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE＝EC，∴S△AEC=12S△ADC=12×12∵S△EGC∴S△GEC=2+1428．（2022?揚州三模）如圖，△ABC和△DEC都為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）當n＝60時，①如圖1，當點D在AC上時，請直接寫出BE與AD的數(shù)量關(guān)系：BE＝AD；②如圖2，當點D不在AC上時，判斷線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當n＝90時，①如圖3，探究線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當BE∥AC，AB＝62，AD＝2時，請直接寫出DC的長．【解答】解：（1）①當n＝60時，△ABC和△DEC均為等邊三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，∵BE＝BC﹣EC，AD＝AC﹣DC，∴BE＝AD，故答案為：BE＝AD；②BE＝AD，理由如下：當點D不在AC上時，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①BE=2AD理由如下：當n＝90時，在等腰直角三角形DEC中：DCEC=sin45在等腰直角三角形ABC中：ACBC∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA在△DCA和△ECB中，DCEC∴△DCA∽△ECB，∴ADBE∴BE=2②當點D在△ABC外部時，設(shè)EC與AB交于點F，如圖所示：∵AB＝62，AD＝2，由上可知：AC＝AB＝62，BE=2AD=2∵BE∥AC，∴∠EBF＝∠CAF＝90°，而∠EFB＝∠CFA，∴△EFB∽△CFA，∴EFCF∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝62，∴BF=14×在Rt△EBF中：EF=B∵CF＝3EF＝3×5∴EC＝EF+CF＝102（或EC＝4EF＝102），在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC?cos45°＝102×2當點D在△ABC內(nèi)部時，過點D作DH⊥AC于H，∵AB＝AC＝62，AD＝2，∠DAC＝45°∴AH＝DH=2，CH＝AC﹣AH＝52∴CD=DH2綜上所述，滿足條件的CD的值為10或213．29．（2022?連云港模擬）在平面內(nèi)，線段AB＝20，線段BC＝CD＝DA＝10，將這四條線段顏款首尾精接．把AB固定，讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角α（α＞0°）到某一位置時，BC，CD將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．論證：如圖1，當AD∥BC時，設(shè)AB與CD交于點O，求證：AO＝10：發(fā)現(xiàn)：當旋轉(zhuǎn)角α＝60°時，∠ADC（的度數(shù)可能是多少？嘗試：報線段CD的中點M，當點M與點B距離最大時，求點M到AB的距離：拓展：①如圖2，設(shè)點D與B的盟離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點P，直接寫出BP的長（用含d的式子表示）：②當點C在AB下方，且AD與CD垂直時，直接寫出α的余弦值．【解答】論證：證明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOD和△BOC中，∠A=∴△AOD≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，∵AO+BO＝AB＝20，∴AO＝10；發(fā)現(xiàn)：①設(shè)AB的中點為O，如圖：當AD從初始位置AO繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，BC也從初始位置BC'繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，而BO＝BC'＝10，∴△BC'O是等邊三角形，∴BC旋轉(zhuǎn)到BO的位置，即C與O重合，∵AO＝AD＝CD＝10，∴△ADC是等邊三角形，∴此時∠ADC＝60°；②如圖：當AD從AO繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，CD從CD'的位置開始也旋轉(zhuǎn)60°，故△ADO和△CDO都是等邊三角形，∴此時∠ADC＝120°，綜上所述，∠ADC為60°或120°；嘗試：取線段CD的中點M，當點M與點B距離最大時，D、C、B共線，過D作DQ⊥AB于Q，過M作MN⊥AB于N，如圖：由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，設(shè)AQ＝x，則BQ＝20﹣x，∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，解得x=5∴AQ=5∴DQ=A∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴MNDQ=BM∴MN=15∴點M到AB的距離為1515拓展：①設(shè)直線CP交DB于H，過D作DG⊥AB于G，連接DP，連接BD，如圖：∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH=12BD=設(shè)BG＝m，則AG＝20﹣m，∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，∴m=d∴BG=d∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，∴△BHP∽△BGD，∴BPBD∴BP=BH?BD②過C作CK⊥AB于K，過F作FH⊥AC于H，如圖：∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，∴AC2＝200，∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，解得AK=25∴CK=ARt△ACK中，tan∠KAC=CKRt△AFH中，tan∠KAC=FH設(shè)FH=7n，則CH＝FH=7n，AH＝5∵AC＝AH+CH＝102，∴5n+7n＝102解得n=10∴AF=AH2Rt△ADF中，cosα=AD30．（2022?武進區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），（Ⅰ）連接AB，若把線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則得線段A0B，請在圖①中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點A的對應(yīng)點A0（不寫作法，保留作圖痕跡），直接寫出點A0的坐標；（Ⅱ）若把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為A′，O′，如圖②，求點O′和點A′的坐標；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P′，求P′B+BA+35【解答】解：（1）如圖①所示，點A0為所求點，過點A0作A0D⊥y軸于D，∴∠A0DB＝90°＝∠AOB，∵點A（4，0），點B（0，3），∴OA＝4，BO＝3，∵把線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，∴∠A0BA＝90°＝∠AOB，A0B＝AB，∴∠ABO+∠OAB＝90°＝∠ABO+∠A0BD，∴∠A0BD＝∠OAB，∴△A0BD≌△BAO（AAS），∴BD＝AO＝4，A0D＝BO＝3，∴點A0（3，7）；（2）如圖②，過點O'作O'H⊥y軸于H，過點A'作A'E⊥O'H于E，∵把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，∴BO＝BO'＝3，∠OBO'＝120°，A'O＝AO＝4，∠AOB＝∠A'O'B＝90°，∴∠O'BH＝60°，∴∠BO'H＝30°，∴BH=32，O'H=3∴OH=9∴點O'（92，3∵∠A'O'E＝90°﹣∠BO'H＝60°，∴∠O'AE'＝30°，∴EO'=12A'O'＝2，A'E=3EO'＝∴HE=33∴點A'（332-2，9（3）如圖③，過點P作PC⊥AB于C，∵OA＝4，BO＝3，∴AB=AO2∴sin∠BAO=OB∴PC=35∵旋轉(zhuǎn)，∴BP'＝BP，∴P′B+BA+35AP＝BP+5+作點B關(guān)于x軸的對稱點B'，過點B'作B'C'⊥AB于C'，交x軸于P''，此時BP+PC的最小值為B'C'的長，∴BO＝B'O＝3，∴BB'＝6，∵sin∠ABO=AO∴B'C'=24∴P′B+BA+35AP的最小值為531．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．（1）∠EDC的度數(shù)為45°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（4）求CHCE【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝122，∵D、E分別為BC、PC的中點，∴DE∥AB，DE=12∴∠EDC＝∠ABC＝45°，故答案為：45；（2）設(shè)AP＝x，則BP＝12﹣x，∵DE=12∴DE＝6-x∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠DEF＝45°，∴DF＝EF=22DE＝32∵點D是BC的中點，∴BD＝CD＝62，∴C