專題16三角恒等變換三角函數(shù)的應(yīng)用（核心素養(yǎng)練習(xí)）

專題十六三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用核心素養(yǎng)練習(xí)一、核心素養(yǎng)聚焦考點(diǎn)一邏輯推理公式變形運(yùn)用例題12.(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，試判斷△ABC的形狀．(1)【答案】1【解析】∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.(2)【解析】∵eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，∴eq\r(3)(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(5π,6)，∴C＝eq\f(π,6).∵tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，tanC＝eq\f(\r(3),3)，∴tanB＋eq\f(\r(3),3)＋tanB＝eq\r(3)，tanB＝eq\f(\r(3),3)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(2π,3)，∴△ABC為等腰鈍角三角形．考點(diǎn)二數(shù)學(xué)建模三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用例題13.如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△OAB的周長(zhǎng)最大？【解析】設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長(zhǎng)為l，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝eq\r(2)Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋R.∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，∴l(xiāng)的最大值為eq\r(2)R＋R＝(eq\r(2)＋1)R，此時(shí)，α＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,4)，即當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，△OAB的周長(zhǎng)最大．考點(diǎn)三數(shù)學(xué)運(yùn)算三角函數(shù)求值例題14、已知銳角α，β滿足cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，求sinβ的值．【解析】因?yàn)棣?，β是銳角，即0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，因?yàn)閟in(α－β)＝－eq\f(3,5)＜0，所以cos(α－β)＝eq\f(4,5)，因?yàn)閏osα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(4,5)＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3,5)＝eq\f(2\r(5),5).考點(diǎn)四直觀想象由圖象求函數(shù)的解析式例題15.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，且圖象如圖所示，求其解析式．【解析】法一：(五點(diǎn)作圖原理法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，根據(jù)五點(diǎn)作圖原理(可判為“五點(diǎn)法”中的第一點(diǎn))－eq\f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法二：(方程法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因?yàn)閨φ|＜eq\f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法三：(變換法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位而得到的，解析式為f(x)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).二、學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)評(píng)一、選擇題1．（2016·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α?β)＝?，則tanβ＝()A． B．3 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，且為銳角，則，所以，因?yàn)?，所以故選B.2．（2018·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理））已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cosA＝()A． B．－C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閏os＝－，即cos＝－，所以sin＝－，則sin＋cosA＝sinAcos＋cosAsin＋cosA＝sin＝－.故選B.3．（2018·甘肅高二課時(shí)練習(xí)）若為銳角，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由角的關(guān)系可知因?yàn)闉殇J角，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式，可得所以選A4．（2018·甘肅高二課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以根?jù)所以由正弦函數(shù)差角公式化簡(jiǎn)得所以選D5．（2018·甘肅高二課時(shí)練習(xí)）已知中，，那么是（）A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】D【解析】移項(xiàng)，得由余弦函數(shù)和角公式得在三角形ABC中，所以又因?yàn)樗运匀切螢殁g角三角形所以選D6．（2018·甘肅高二課時(shí)練習(xí)）的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得所以選C7．（2018·甘肅高二課時(shí)練習(xí)）若均為銳角，，，則A． B． C．或 D．【答案】B【解析】∵α為銳角，s，∴α＞45°且，

∵，且，∴，

則cosβ=cos[（α+β）α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα故選B.8．（2012·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值是A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選A9．（2018·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)中提供圖像信息可知，則，將代入可得，即，故，又，故，應(yīng)選答案D。10．（2018·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】C【解析】因?yàn)椋杂蓎=3sin2x的圖象向左平移個(gè)單位得到11．（2018·福建省福州格致中學(xué)高一單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)間隔3分鐘先后從點(diǎn)，繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘【答案】A【解析】由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，3．∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=3×12+=37.5（分鐘）．故選：A．12．（2019·全國(guó)高一單元測(cè)試）若在上是減函數(shù)，則的最大值是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，∴是在原點(diǎn)附近的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合條件得，∴，即的最大值為.故選C.二、填空題13．（2018·甘肅高二單元測(cè)試）__________.【答案】1【解析】，.故答案為：114．（2017·全國(guó)高一單元測(cè)試）給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)y＝2sin(2x－)的一條對(duì)稱軸是x＝；②函數(shù)y＝tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱；③正弦函數(shù)在第一象限內(nèi)為增函數(shù)；④存在實(shí)數(shù)α，使sinα＋cosα＝.以上四個(gè)命題中正確的有____(填寫正確命題前面的序號(hào)).【答案】①②【解析】對(duì)于①,將x＝代入得是對(duì)稱軸,命題正確;對(duì)于②,由正切函數(shù)的圖象可知,命題正確;對(duì)于③,正弦函數(shù)在上是增函數(shù)，但在第一象限不能說是增函數(shù)，所以③不正確；對(duì)于④,,最大值為,不正確;故填①②.15．（2011·山東高三單元測(cè)試（文））已知角的終邊過點(diǎn)，則____【答案】【解析】∵角的終邊過點(diǎn)，∴，則，故答案為.16．（2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>1,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則ω·φ=_____.【答案】π【解析】由是偶函數(shù)可得，則當(dāng)時(shí)，的圖象上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱。則故，即在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，即又，則當(dāng)時(shí)，則故答案為三、解答題17．（2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.(1)求sin2β的值;(2)求cos的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)sin2β=cos=cos=2cos21=2×1=.(2)因?yàn)?<α<<β<π,所以<α+β<,所以sin>0,cos(α+β)<0,又因?yàn)閏os,sin(α+β)=,所以sin,cos(α+β)=,所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=.18．（2018·遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)（1）求的解析式；（2）已知且求的值?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】（1）依題意知A=1，又圖像經(jīng)過點(diǎn)M∴，再由得即因此；（2），且，；19．（2017·浙江省杭州第二中學(xué)高一單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)的圖像過點(diǎn).（1）求的解析式；（2）已知，，求的值；（3）若函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）；（3）單減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【解析】（1）因?yàn)?，所以；?）,所以,=;（3）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，由得單減區(qū)間為，由得單增區(qū)間為。20．（2017·浙江省杭州第二中學(xué)高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，（1）請(qǐng)用“五點(diǎn)作圖法”作出函數(shù)的圖象；（2）的圖象經(jīng)過怎樣的圖象變換，可以得到的圖象.（請(qǐng)寫出具體的變換過程）【答案】（1）見解析；（2）變換過程見解析.【解析】（1）①列表②描點(diǎn)，連線（2）.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜种?，得到函?shù)的圖象；的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫胶瘮?shù)的圖象；的圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到的圖象.21．（2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)cos2x,求g(x)在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）T=π,f(x)=sin；（2）.【解析】(1)由圖可得A=1,,所以T=π,因此ω=2.當(dāng)x=時(shí),由f(x)=1,可得sin=1,即+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin.(2)由(1)知g(x)=f(x)cos2x=sincos2x=sin2x+cos2xco