河北省衡水市重點中學(xué)2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

河北省衡水市重點中學(xué)2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的的值為63，則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是（）A． B． C． D．4．一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則不可能為（）A． B． C． D．6．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．7．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于8．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．9．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．810．設(shè)雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（c,0）（c＞0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．若P是的充分不必要條件，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知多項式的各項系數(shù)之和為32，則展開式中含項的系數(shù)為______．14．如圖是一個算法偽代碼，則輸出的的值為_______________.15．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項和，若，且，則公比的值為_____.16．已知實數(shù)，且由的最大值是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段的長.18．（12分）改革開放年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識強.求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；已知交通安全意識強的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)；安全意識強安全意識不強合計男性女性合計用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再從人中隨機選取人對未來一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中19．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。22．（10分）某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過度的部分按元/度收費，超過度但不超過度的部分按元/度收費，超過度的部分按元/度收費．（I）求某戶居民用電費用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這戶居民中，今年1月份用電費用不超過元的占，求，的值；（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點代替，記為該居民用戶1月份的用電費用，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．2、A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【詳解】.故選：【點睛】本題考查集合的交運算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，直到的值為63，結(jié)束循環(huán)，即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下：初始值：，第一步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第二步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第三步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第四步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第五步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第六步：，此時要輸出，結(jié)束循環(huán)；故，判斷條件為.故選B【點睛】本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結(jié)合輸出結(jié)果，即可確定判斷條件，屬于常考題型.4、A【解析】

將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可．【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，∵四面體所有棱長都是4，∴正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，故選：A．【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．5、D【解析】

依題意，設(shè)，由，得，再一一驗證.【詳解】設(shè)，因為，所以，經(jīng)驗證不滿足，故選：D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.7、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．8、A【解析】

根據(jù)或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．10、C【解析】

由題得，，又，聯(lián)立解方程組即可得，，進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，所以②又③由①②③可得：，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計算，考查了學(xué)生的計算能力.11、D【解析】

先將所求問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得，由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線，設(shè)切點為，則，解得，所以切線斜率為，所以，解得.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.12、B【解析】

試題分析：通過逆否命題的同真同假，結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可．由p是的充分不必要條件知“若p則”為真，“若則p”為假，根據(jù)互為逆否命題的等價性知，“若q則”為真，“若則q”為假，故選B．考點：邏輯命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令可得各項系數(shù)和為，得出,根據(jù)第一個因式展開式的常數(shù)項與第二個因式的展開式含一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數(shù)項的積的和即為展開式中含項，可得解.【詳解】令，則得，解得，所以展開式中含項為：，故答案為：【點睛】本題主要考查了二項展開式的系數(shù)和，二項展開式特定項，賦值法，屬于中檔題.14、5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運算能力，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

將已知由前n項和定義整理為，再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列各項均為正數(shù)，舍根得解.【詳解】因為即又等比數(shù)列各項均為正數(shù)，故故答案為：【點睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得，又實數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當(dāng)過點或點時取最小值，可得所以的最大值是【點睛】本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡，然后求出最值問題，本題有一定難度。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）2【解析】

（1）首先利用對圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）進(jìn)行消參數(shù)運算，化為普通方程，再根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程．（2）設(shè)，聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程，解得；設(shè)，聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程，解得，可得．【詳解】（1）圓C的普通方程為，又，所以圓C的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，則由解得，，得；設(shè)，則由解得，，得；所以【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程的求解運算，考查了學(xué)生的計算能力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.18、，概率為；列聯(lián)表詳見解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)；.【解析】

根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算的值，對照臨界值得出結(jié)論；用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識強的概率根據(jù)題意可知，安全意識強的人數(shù)有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯(lián)表如下：安全意識強安全意識不強合計男性女性合計所以有的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān).由題意可知分?jǐn)?shù)在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名，設(shè)的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設(shè)至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.【點睛】本題考查獨立性檢驗應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.19、（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）根據(jù)題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點建立直角坐標(biāo)系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）由由因為是正四棱錐，故于是，由余弦定理，在中，設(shè)再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點建立直角坐標(biāo)系，如圖：則設(shè)面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計購買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點睛】本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應(yīng)用，考查計算能力.21、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值．【詳解】(1)當(dāng)時，，于是，.又因為，當(dāng)時，且.故當(dāng)時，，即.所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2)方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，①當(dāng)時，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當(dāng)時，，為上的減函數(shù)；當(dāng)時，