2025屆黑龍江省哈爾濱師范大學青岡實驗中學高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆黑龍江省哈爾濱師范大學青岡實驗中學高三沖刺模擬數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知中,,則()A.1 B. C. D.3.已知正方體的棱長為,,,分別是棱,,的中點,給出下列四個命題:①;②直線與直線所成角為;③過,,三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個數(shù)為()A. B. C. D.4.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.5.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.136.設則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.7.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.8.的展開式中的項的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.409.設是虛數(shù)單位,則“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件10.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.11.設是定義在實數(shù)集上的函數(shù),滿足條件是偶函數(shù),且當時,,則,,的大小關系是()A. B. C. D.12.復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,已知,,是邊的垂直平分線上的一點,則__________.14.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數(shù)、豕價各幾何?”.其意思是“若干個人合買一頭豬,若每人出100,則會剩下100;若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少?”.設分別為人數(shù)、豬價,則___,___.15.若,則的最小值是______.16.設,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件,質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對其余所有零件進行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗,這些零件的長度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨立.若零件的長度滿足,則認為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學期望;(2)小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件,若以此頻率作為當天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元,而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.假設充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說明理由.附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則.18.(12分)秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念,為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量(單位:萬臺)按季度(一年四個季度)統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值,并估計銷量的中位數(shù);(2)請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量(同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表),并以此預計年的銷售量.19.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點.(1)求證:平面;(2)(文科)求三棱錐的體積;(理科)求二面角的正切值.20.(12分)已知點是拋物線的頂點,,是上的兩個動點,且.(1)判斷點是否在直線上?說明理由;(2)設點是△的外接圓的圓心,點到軸的距離為,點,求的最大值.21.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程;(2)把曲線向下平移個單位,然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€(縱坐標不變),設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.22.(10分)已知函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若且A為銳角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)誘導公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎題.2、C【解析】

以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運算,屬于中檔題.3、C【解析】

畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關點的線段,為的中點,連接,因為是中點,可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線與直線所成角就是直線與直線所成角為;正確;過,,三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點,所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應用,涉及空間幾何體的體積,直線與平面的位置關系的應用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.4、A【解析】試題分析:設公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質(zhì).5、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點睛】本題考查了二項式定理的應用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學運算能力.6、A【解析】

計算的中點坐標為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點坐標為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點睛】本題考查了圓的標準方程,意在考查學生的計算能力.7、A【解析】

構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動一個單位得到,的定義域為,且,所以為奇函數(shù),圖像關于原點對稱,所以圖像關于對稱.不等式等價于,等價于,注意到,結(jié)合圖像關于對稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式,屬于中檔題.8、A【解析】

化簡得到,再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選:【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學生的計算能力.9、D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設,此時復數(shù),不是純虛數(shù),所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵,屬于基礎題.10、B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出,進而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率,屬于基礎題.11、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函數(shù),∴f(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關于x=1對稱.

∵當x≥1時,為減函數(shù),∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,

故選C12、D【解析】

由復數(shù)除法運算求出,再寫出其共軛復數(shù),得共軛復數(shù)對應點的坐標.得結(jié)論.【詳解】,,對應點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查共軛復數(shù)的概念,考查復數(shù)的幾何意義.掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

作出圖形,設點為線段的中點,可得出且,進而可計算出的值.【詳解】設點為線段的中點,則,,,.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算,涉及平面向量數(shù)量積運算律的應用,解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量,考查計算能力,屬于中等題.14、10900【解析】

由題意列出方程組,求解即可.【詳解】由題意可得,解得.故答案為10900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法,用消元法來求解即可,屬于基礎題型.15、8【解析】

根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當且僅當且,即時,等號成立.時,取得最小值.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式,構(gòu)造基本不等式的形式是解題關鍵.16、121【解析】

在所給的等式中令,,令,可得2個等式,再根據(jù)所得的2個等式即可解得所求.【詳解】令,得,令,得,兩式相加,得,所以.故答案為:.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,考查學生分析問題的能力,屬于基礎題,難度較易.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)需要,見解析【解析】

(1)由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據(jù)公式求得;(2)由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】(1),由于滿足二項分布,故.(2)由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為;若檢查,成本為,由于,當充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應用,考查二項分布的期望,考查補集思想的應用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.18、(1),中位數(shù)為;(2)新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺,以此預計年的銷售量約為萬臺.【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值,利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值;(2)利用每個矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積,相加可得出銷量的平均數(shù),由此可預計年的銷售量.【詳解】(1)由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為,則,解得,由于,因此,銷量的中位數(shù)為;(2)由頻率分布直方圖可知,新能源汽車平均每個季度的銷售量為(萬臺),由此預測年的銷售量為萬臺.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計算,考查計算能力,屬于基礎題.19、(1)見解析(2)(文)(理)【解析】

(1)證明:取PD中點G,連結(jié)GF、AG,∵GF為△PDC的中位線,∴GF∥CD且,又AE∥CD且,∴GF∥AE且GF=AE,∴EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,又EF不在平面PAD內(nèi),AG在平面PAD內(nèi),∴EF∥面PAD;(2)(文)解:取AD中點O,連結(jié)PO,∵面PAD⊥面ABCD,△PAD為正三角形,∴PO⊥面ABCD,且,又PC為面ABCD斜線,F(xiàn)為PC中點,∴F到面ABCD距離,故;(理)連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,∴∠MEB=∠AOB,則∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.連PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,則PM⊥EC,即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角,在Rt△EBC中,,∴,∴,即二面角P-EC-D的正切值為.【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.本題(1)是就是利用方法①證明的.20、(1)不在,證明見詳解;(2)【解析】

(1)假設直線方程,并于拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達定理,計算,可得,然后驗證可得結(jié)果.(2)分別計算線段中垂線的方程,然后聯(lián)立,根據(jù)(1)的條件可得點的軌跡方程,然后可得焦點,結(jié)合拋物線定義可得,計算可得結(jié)果.【詳解】(1)設直線方程,根據(jù)題意可知直線斜率一定存在,則則由所以將代入上式化簡可得,所以則直線方程為,所以直線過定點,所以可知點不在直線上.(2)設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為,直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由,所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得:線段的中垂線的方程為則由(1)可知:所以即,所以點軌跡方程為焦點為,所以當三點共線時,有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用,第(1)問中難點在于計算處,第

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