2025屆河北省衡水市重點(diǎn)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆河北省衡水市重點(diǎn)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)2．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤3．函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．4．“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對(duì)稱軸是 D．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是6．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）A．B．C．D．7．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．8．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，則該人年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為（）A．元 B．元 C．元 D．元9．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A． B． C． D．10．方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．1011．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．212．已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則的最小值是______.14．函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________________.15．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)值作答）16．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任意，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，且互不相等，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為.當(dāng)_________時(shí)，為的幾何平均數(shù).（只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn=bnan，求數(shù)列18．（12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點(diǎn)，連結(jié).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．20．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點(diǎn)，求直線的極坐標(biāo)方程.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)(在軸上方)，求的值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】由題意得，函數(shù)點(diǎn)定義域?yàn)榍?，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選D.4、A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的等價(jià)條件，得到，分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，解得，故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，然后通過(guò)題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，在恒成立，在恒成立，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是，故選B.7、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識(shí)的考查．8、A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用，再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，得到年的就醫(yī)費(fèi)用，然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，所以年的就醫(yī)費(fèi)用元，而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人所以儲(chǔ)畜費(fèi)用：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由圓過(guò)原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問(wèn)題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題可解，如果僅從方程組角度研究?jī)汕€交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒(méi)法求解．10、C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像，和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，計(jì)算得到答案.【詳解】，驗(yàn)證知不成立，故，畫出函數(shù)和的圖像，易知：和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，圖像共有8個(gè)交點(diǎn)，故所有解之和等于.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.11、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項(xiàng)等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結(jié)合，可得到的齊次方程，進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)），所以最小值為.【點(diǎn)睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開(kāi)后利用基本不等式求解，注意取等號(hào)的條件.14、【解析】

令，則，恰有四個(gè)解.由判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個(gè)解.有兩個(gè)解，由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得.設(shè)的負(fù)根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于難題.15、-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由定義可知三點(diǎn)共線，即，通過(guò)整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由定義可知：三點(diǎn)共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式，考查了推理能力，考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）an=（2）Tn【解析】

（1）利用an與Sn的遞推關(guān)系可以an的通項(xiàng)公式；P點(diǎn)代入直線方程得b【詳解】(1)由an+1=2S兩式相減得an+1-a又a2=2S1+1=3，所以a由點(diǎn)P(bn,bn+1則數(shù)列{bn(2)因?yàn)閏n=b則13兩式相減得：23所以Tn【點(diǎn)睛】用遞推關(guān)系an=Sn-18、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，，可得平面，故而平面平面．（Ⅱ）過(guò)作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計(jì)算，再計(jì)算．【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)?，，，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）過(guò)作于，則由平面，且平面知，所以平面，從而是直線與平面所成角.因?yàn)椋?，，所以，從?【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題．19、（1）點(diǎn)M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達(dá)定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則由知：點(diǎn)在圓上點(diǎn)的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而通過(guò)化簡(jiǎn)整理得到結(jié)果；易錯(cuò)點(diǎn)是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.20、（1），，表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程，利用，即得的直角坐標(biāo)方程；（2）由直線與拋物線相切，求導(dǎo)可得切線斜率，再由直線與圓相切，故切線與圓心與切點(diǎn)連線垂直，可求解得到切點(diǎn)坐標(biāo)，即得解.【詳解】（1）消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程為：.的極坐標(biāo)方程.∵，.當(dāng)時(shí)表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線.（2）設(shè)切點(diǎn)為，由于，則切線斜率為，由于直線與圓相切，故切線與圓心與切點(diǎn)連線垂直，故有，直線的直角坐標(biāo)方程為，所以的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)，參數(shù)方程綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.21、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得．設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，對(duì)應(yīng)參數(shù)為．則，，且.．【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與