數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例1】二次函數(shù)f（x)與g（x)的圖象開口大小相同，開口方向也相同。已知函數(shù)g（x）的解析式和f(x）圖象的頂點(diǎn)，寫出函數(shù)f（x)的解析式,函數(shù)g(x）=-2（x+1）2，f(x）圖象的頂點(diǎn)是（—3，2).思路分析：本題給出了圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可以用頂點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù),然后求解。解：設(shè)f(x）的解析式為y=a(x+h)2+k.因?yàn)閒（x）與g（x）=-2(x+1)2的圖象開口大小相同,開口方向也相同，且g（x)=—2（x+1）2與y=-2x2的圖象開口大小相同，開口方向也相同.又因?yàn)閒(x）圖象的頂點(diǎn)是(—3，2)，所以f(x）=—2（x+3)2+2=—2x2-12x—16.溫馨提示（1）若二次函數(shù)f(x）與g（x)的開口大小一致且開口方向相同，則二次項(xiàng)系數(shù)相等;若f（x)與g(x）的開口大小一致且開口方向相反,則二次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相等,符號(hào)相反.(2)若二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）,則此二次函數(shù)可設(shè)為y=a（x—h）2+k.二、二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題【例2】設(shè)函數(shù)f（x)=x2-2x+2,x∈[t，t+1］的最小值為g（t)，求g（t)的表達(dá)式.思路分析：解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.解：f(x）=x2—2x+2=(x—1）2+1,①當(dāng)t+1≤1,即t≤0時(shí),由圖（1）知截取減區(qū)間上的一段，g(t)=f(t+1）=t2+1；②當(dāng)1〈t+1≤2,即0<t≤1時(shí),由圖(2）知正巧將頂點(diǎn)截取在內(nèi)，g(t）=f(1）=1；③當(dāng)t+1>2,即t〉1時(shí)，由圖(3）可知截取增區(qū)間上的一段,g(t)=f（t）=t2—2t+2。綜上，可知g(t)=溫馨提示（1)從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看,令區(qū)間\［t，t+1\]從左向右沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，截取拋物線上的相應(yīng)部分.(2)共截取三種類型:減函數(shù)部分、包含頂點(diǎn)的部分、增函數(shù)部分。(3）初學(xué)這種類型的題目時(shí)，要對(duì)應(yīng)三種情況畫三個(gè)圖象,使問題顯得直觀清晰,隨著學(xué)習(xí)的深入,能力得到提高了,可以只畫一個(gè)圖形就行了。三、二次函數(shù)恒成立問題【例3】已知函數(shù)y=ax2+（a—1)x+a的圖象恒在x軸上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路分析：要使二次函數(shù)圖象恒在x軸上方,只需開口向上且與x軸無交點(diǎn)，即解：若a=0,則f(x)=—x不符合題意。若a≠0,則該函數(shù)為二次函數(shù)，∴解之,得a〉.綜上，可知a>。溫馨提示勿忘二次項(xiàng)系數(shù)等于0的情況.各個(gè)擊破類題演練1已知f(x)=x2+2(2-a）x+2在（—∞,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：要使f(x)在(—∞，2]上是減函數(shù)，由二次函數(shù)圖象可知只要對(duì)稱軸x=≥2即可,解得a≥4.變式提升1已知函數(shù)f(x）=-x2+ax+b+1(a、b∈R）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1—x）=f（1+x)成立，若當(dāng)x∈［-1，1］時(shí),f(x）〉0恒成立，則b的取值范圍是（)A。—1〈b<0B.b>2C。b<-1或b>2解析:由f（1-x）=f（1+x）,得f(x）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，∴a=2且f(x)在[—1，1]上是增函數(shù)?！嘁箈∈［—1，1］時(shí)，f(x）〉0恒成立,只需f(-1）>0，即b-2>0?！郻〉2。答案：B類題演練2函數(shù)f（x)=-3x2-3x+4b2+，b>0，x∈［-b,b],f（x)的最大值為7，求b的值.解析：f(x)=-3(x+）2+4b2+3，當(dāng)對(duì)稱軸直線x=在區(qū)間［—b，b］左側(cè)，即〈—b,b<時(shí),函數(shù)應(yīng)在x=-b時(shí)取得最大值，f(-b)=b2+3b+.由條件，得b2+3b+=7。因?yàn)閎〉0,由此求得b=>，與b<矛盾。當(dāng)對(duì)稱軸直線x=在區(qū)間［—b,b］內(nèi)通過,即-b≤≤b，亦即b≥時(shí),函數(shù)f（x)最大值為4b2+3.由4b2+3=7，求得b=1，滿足條件。變式提升2求f(x）=x2—2ax-1在區(qū)間\[0，2\]上的最大值和最小值.解析：f（x）=(x-a)2-1—a2,對(duì)稱軸為x=a。①當(dāng)a<0時(shí),由圖(1）可知f(x)min=f(0）=—1，f（x）max=f(2）=3-4a;②當(dāng)0≤a〈1時(shí)，由圖(2）可知f(x)min=f（a）=—1—a2,f（x）max=f（2)=3-4a;③當(dāng)1<a≤2時(shí)，由圖(3）可知f（x)min=f(a)=-1—a2，f（x）max=f(0）=—1；④當(dāng)a>2時(shí)，由圖(4）可知f(x）min=f(2）=3-4a，f（x）max=f（0)=—1。類題演練3已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)與一次函數(shù)y2=kx+m（k≠0)的圖象相交于點(diǎn)A(—2，4)、B（8,2）(如圖所示），則能使y1〉y2成立的x的取值范圍是_______________。解析:由圖象可知，當(dāng)x〈—2或x>8時(shí)，拋物線在直線的上方，有y1〉y2.答案：｛x｜x<-2或x>8}變式提升3設(shè)函數(shù)