數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)第三講第三節(jié)平面與圓錐面的截線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)【例1】如圖3-3—1，已知平面π與圓錐的軸的夾角為β,圓錐母線與軸的夾角為α,α=β,求證:平面π與圓錐的交線為拋物線.圖3—3—1證明：當(dāng)β=α?xí)r，平面與圓錐的一部分相交,且曲線不閉合。在圓錐內(nèi)嵌入一個(gè)Dandelin球與圓錐交線為圓S.記圓S所在平面為π′，π與π′的交線記為m。球切π于F1點(diǎn).在截口上任取一點(diǎn)P,過P作PA⊥m于A,過P作PB⊥平面π′于B，過P作圓錐的母線交平面π′于C，連結(jié)AB、PF1、BC。由切線長(zhǎng)定理,PF1=PC?！逷B平行圓錐的軸,∴∠APB=β,∠BPC=α。在Rt△ABP中，PA=，在Rt△BCP中，PC=.∵α=β,∴PC=PA?！郟F1=PA,即截口上任一點(diǎn)到定點(diǎn)F和到定直線m的距離相等.∴截口曲線為拋物線。二、探討圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例2】探索圖3—3—2中雙曲線的準(zhǔn)線和離心率。其中π′是Dandelin球與圓錐交線S2所在平面，與π的交線為m.圖3-3—2解析:P是雙曲線上任意一點(diǎn)，連結(jié)PF2，過P作PA⊥m于A，連結(jié)AF2，過P作PB⊥平面π′于B,連結(jié)AB,過P作母線交S2于Q2。∵PB平行于圓錐的軸,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α。在Rt△BPA中,PA=,PQ2=。由切線長(zhǎng)定理得PF2=PQ2，∴PF2=?！鄀==。∵0＜β＜α＜,∴cosβ＞cosα.∴e＞1.同理,另一分支上的點(diǎn)也具有同樣的性質(zhì)。綜上所述,雙曲線的準(zhǔn)線為m，離心率e=。三、圓錐曲線幾何性質(zhì)應(yīng)用【例3】已知雙曲線兩頂點(diǎn)間距離為2a,焦距為2c，則兩準(zhǔn)線間的距離是______________。解析：如圖3-3—4，l1、l2是雙曲線的準(zhǔn)線,F1、F2是焦點(diǎn)，A1、A2是頂點(diǎn)，O為中心。圖3-3—4由離心率定義,∴A1H1=A1F1.又A1F1=OF1—OA1∴A1H1=?！郞H1=OA1-A1H1=a-=。由對(duì)稱性，得OH2=.∴H1H2=。答案：各個(gè)擊破類題演練1探究:圖3-3—1中拋物線的準(zhǔn)線與離心率.解析：由拋物線結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知，拋物線上的任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離PF1與到平面π與π′的交線m的距離PA相等，∴e==1。∴拋物線的準(zhǔn)線是m，離心率e=1。溫馨提示要緊緊圍繞離心率的定義和圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。探討圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),關(guān)鍵是借助Dandelin球與切線長(zhǎng)定理，化歸為線段長(zhǎng)的關(guān)系。類題演練2如圖3—3—3,A1A2=2a,F1F2=2c，求證：=.圖3-3—3證明:連結(jié)O1O2、O1F1、O2F2、O1Q1、O2Q∵直線F1F2∴O1F1⊥F1F2，O2F2⊥F過O1作O1H⊥O2F2則O1HF2F1∴O1H=F1F2=2c又平面π與圓錐的軸的夾角為β，∴O1O2=。①由雙曲線的定義，知雙曲線上任意一點(diǎn)到F1、F2的距離之差為定值Q1Q2,故取如圖位置。由切線長(zhǎng)定理,A2Q1=A2F1=A1F∴F1F2—A2F1=F1F2—A1F2?！郃2F又A2Q2=A2F2∴Q1Q2=A2Q1-A2Q2=A2F1—A1=A1A2=2a∵母線與軸夾角為α,即∠O2OQ2=α，∴O1O2=O1O+OO2==。②由①②，∴.∴==e。類題演練3已知圓錐母線與軸夾角為60°，平面π與軸夾角為45°，則平面π與圓錐交線的離心率是_____________,該曲線的形狀是_____________.解析:e=?！遝＞1,∴曲線為雙曲線。答案:雙曲線變式提升3已知雙曲線兩焦點(diǎn)