數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)比較法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一，利用作差法比較兩個數(shù)的大小【例1】設(shè)x，y，z均為正數(shù),且xy+yz+zx=1,求證：x+y+z≥.思路分析：要證x+y+z≥，只需證（x+y+z)2≥3,然后再用作差比較法。解答：∵(x+y+z)2-3=(x+y+z）2-3（xy+yz+zx）=x2+y2+z2—xy—yz—zx=［（x-y)2+(y-z)2+（z-x）2]≥0,∴（x+y+z）2≥3。又x>0,y>0,z>0,x+y+z〉0,∴x+y+z≥.溫馨提示利用作差比較法證明不等式的一般步驟是：（1)作差;(2)變形：可以利用分解因式，配方，判別式等手段;(3)確定符號：這部分是此題的給分點(diǎn),故應(yīng)對確定符號的理由逐一闡述.二,利用作商法比較大小【例2】已知a〉0,b〉0，求證:aabb≥abba。思路分析：直接作差不易進(jìn)行下去，考慮到不等式的兩邊都是指數(shù)形式，因而先對兩邊取對數(shù)進(jìn)行化簡。證明：∵=aa-bbb—a=()a—b，當(dāng)a≥b〉0時，由于≥1,a—b≥0，∴()a-b≥1.當(dāng)0<a〈b時,由于0<<1，a—b〈0,∴()a-b>1?！郺abb≥abba.溫馨提示比商法一般步驟：(1)作商；（2）變形:一般用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行變形；（3）確定與1的大小關(guān)系.三，比較法的綜合應(yīng)用【例3】甲，乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點(diǎn),甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，問甲，乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)?解析：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是s，甲,乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t1,t2，依題意有m+n=s,+=t2.∴t1=,t2=。t1—t2=—=,其中s,m，n都是正數(shù),且m≠n，于是t1-t2<0,即t1〈t2，從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn).溫馨提示在作差后，根據(jù)具體特點(diǎn)，需重新組項(xiàng),因式分解成若干因式的乘積的形式。各個擊破類題演練1設(shè)t=a+2b,s=a+b2+1,則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是()A.t>s B。t≥s C.t〈s D.t≤s解析:s—t=（a+b2+1）-(a+2b）=(b-1)2≥0.∴s≥t.答案:D變式提升1設(shè)a,b∈R,且a+b≥1,求證:a3+b3+3ab≥1.證明：因?yàn)閍3+b3+3ab—1=（a+b)3-3a2b-3ab2+3ab=（a+b-1)［(a+b）2+(a+b）+1］—3ab（a+b—1)=(a+b-1）（a2+b2-ab+a+b+1）=（a+b-1）［（a—b)2+(a+1）2+(b+1）2］≥0,故a3+b3+3ab≥1.類題演練2設(shè)a〉b>0，求證:.證明：用求商法證?！?>1?！嘣坏仁匠闪?變式提升2求證:aabb≥（ab）（a>0,b>0)。證明:，若a〉b>0，則〉1,〉0,故（)>1；若0〈a〈b,則0〈〈1,<0，故（)>1；若a=b>0,則aabb=(ab).綜述，aabb≥（ab).類題演練3已知a，b是正數(shù)，且a≠b，求證:a3+b3〉a2b+ab2.證明：（a3+b3）—(a2b+ab2）=（a3-a2b)+(b3-ab2）=a2（a—b)—b2(a-b)=（a2—b2）(a—b）=（a—b）2(a+b），∵a，b是正數(shù),∴a+b〉0.又a≠b，∴(a—b）2〉0.∴（a-b）2（a+b)>0,即