2021北京高三一模數(shù)學(xué)試卷含答案 東城 西城 朝陽(yáng) 豐臺(tái)等

2021北京朝陽(yáng)高三一模

數(shù)學(xué)

2021.3

（考試時(shí)間120分鐘滿(mǎn)分150分）

本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分

考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合A={-1,0,123},8=3工一1")},則408=

(A)(0,123}(B){1,2,4}(C){2,3}(D)

如果復(fù)數(shù)且幺（Z>eR）的實(shí)部與虛部相等，那么b=

(2)

1

(A)-2(B)1(C)2(D)4

(3)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，%=1,59=18,則q=

(A)0(B)-1(C)-2(D)-3

(4)己知圓f+y2=4截直線y=履+2所得弦的長(zhǎng)度為26，則實(shí)數(shù)2=

(A)72(B)-石(C)±42(D)±6

已知雙曲線。：￡一*二1（

(5)a>0,b>0）的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方程為

(A)y=±yf3x(B)y=±yx(C)y=+^x(D)y=±2x

(6)在AABC中,若/一從+<?+ac=0，則8=

(A)1(B)-(C)-(D)2n

6433

(7)某三棱錐的三視圖如圖所示,已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該三棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為

(A)2(B)V5(C)5/6(D)2yli

生

，

耳

正

視(左)初圖

側(cè)

，I

(8)在AABC中，“tanAtan8<1”是“ZXABC為鈍角三角形”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(9)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為廣，準(zhǔn)線為，，點(diǎn)P是直線/上的動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)A在拋物線C上，且M耳=5,

貝”網(wǎng)十|八7|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值為

(A)8(B)2拒(C)向(D)6

(10)在樓長(zhǎng)為1的正方體ABC。-中，P是線段BG上的點(diǎn)，過(guò)4的平面。與直線？力垂直.當(dāng)尸在線

段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面0截正方體ABCD-A4G。所得的截面面積的最小值是

(A)1(B)2

4

(C)—(D)&

2

第二部分(非選擇題共110分)

一、填空題共5小題，每小題5分，共25分，

(11)在次+,)8的展開(kāi)式中，d的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

x

2'x<I

(12)已知函數(shù)/(?=,''則/(0)=________；/*)的值域?yàn)開(kāi)________.

-log2X,X>1,

(13)已知向量a=(75,1),力=(x,y)(孫工。)，且網(wǎng)=1,。?力<0,則向量8的坐標(biāo)可以是.(寫(xiě)出

一個(gè)即可)

(14)李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營(yíng)?家網(wǎng)店，每售出?件A商品獲利8元.現(xiàn)計(jì)劃在“五?”期間對(duì)A商品進(jìn)行廣告促俏,

2

假設(shè)售出A商品的件數(shù)〃?(單位：萬(wàn)件)與廣告費(fèi)用x(單位：萬(wàn)元)符合函數(shù)模型川=3-二、.若要使

x+l

這次促銷(xiāo)活動(dòng)獲利最多，則廣告費(fèi)用X應(yīng)投入萬(wàn)元.

(15)華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和

社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)/(幻是定義在R

上的函數(shù)，對(duì)于七wR,令當(dāng)=/CJ)(〃=1,2,3,…)，若存在正整數(shù)k使得七=%，且當(dāng)0</<女時(shí)，

x產(chǎn)內(nèi),則稱(chēng)/是f(x)的一個(gè)周期為k的周期點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若/(x)=ev-',則/(幻存在唯一一個(gè)周期為1的周期點(diǎn)；

②若/"(x)=2(l-x),則/(幻存在周期為2的周期點(diǎn)；

61

2x,x<-,

2

③若“0=則/(x)不存在周期為3的周期點(diǎn);

2(1—x),<v>—,

④若/*)="(17),則對(duì)任意正整數(shù)〃，；都不是/(X)的周期為〃的周期點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=Asin(3x+e)(4>0,卬>0,0<^<^)由下列四個(gè)條件中的三個(gè)來(lái)確定:

①最小正周期為兀；②最大值為2；③/(-》=0；?/(0)=-2.

(I)寫(xiě)出能確定了。)的三個(gè)條件，并求f(x)的解析式；

(II)求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

（17）（本小題13分）

如圖，在四棱錐P-ABC。中，。是AO邊的中點(diǎn)，POJ■底面ABC。，P0=\.在底面A8CD中,

BC//AD,CDLADfBC=CD=lfAD=2.

（I）求證：AB//Y?POC；

（Il）求二面角的余弦值.

（18）（本小題14分）

我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，消除了絕對(duì)貧困.為了解脫貧家庭人

均年純收入情況，某扶貧工作組對(duì)A,B兩個(gè)地區(qū)2019年脫貧家庭進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，共抽取500戶(hù)家庭作為

樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表：

A地區(qū)B地區(qū)

2019年人均年純收入超過(guò)10000元100戶(hù)150戶(hù)

2019年人均年姮收入未超過(guò)10000元200戶(hù)50戶(hù)

假設(shè)所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過(guò)10000元相互獨(dú)立.

（I）從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶(hù)，估計(jì)該家庭2019年人均年純收入超過(guò)10000元的概率；

（II）在樣本中，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2019年脫貧家庭中各隨機(jī)抽取1戶(hù)，記X為這2戶(hù)家庭中2019年

人均年純收入超過(guò)10000元的戶(hù)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）從樣本中A地區(qū)的300戶(hù)脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶(hù)，發(fā)現(xiàn)這4戶(hù)家庭2020年人均年純收入都超過(guò)10000

元.根據(jù)這個(gè)結(jié)果，能否認(rèn)為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過(guò)10000元的戶(hù)數(shù)相比2019年有變化？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

(19)(本小題15分)

已知橢圓。的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(O,1),8(0,-1),離心率為乎.

<□)求橢圓C的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(口)若點(diǎn)M為橢圓C上異于AB的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線y=3交于點(diǎn)P,直線

M8與直線y=3交于點(diǎn)Q,試判斷以線段尸。為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)：若不過(guò)定

點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(20)(本小題15分)

己知函數(shù)f(x)=(av-l)e*(awR).

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

/?2、

ae(—1-

(H)若直線丁=公+"與曲線丁=/(外相切，求證：’3.

（21）（本小題15分）

設(shè)數(shù)列\(zhòng)：4曲,…4（機(jī)之2）,若存在公比為4的等比數(shù)列紇川也也，…也…使得其中

k=1,2,-,/n,則稱(chēng)數(shù)列瓦向?yàn)閿?shù)歹U4的令比分割數(shù)列”.

（I）寫(xiě)出數(shù)列436,12,24的一個(gè)”等比分割數(shù)列”紇：

（II）若數(shù)列/的通項(xiàng)公式為勺=2〃5=12…,10）,其“等比分割數(shù)列“B”的首項(xiàng)為1,求數(shù)列%的公比夕的

取值范圍；

（III）若數(shù)列4的通項(xiàng)公式為4=〃2（〃=1,21.即），且數(shù)列4存在”等比分割數(shù)列”，求機(jī)的最大值.

2021北京朝陽(yáng)高三一模數(shù)學(xué)

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)B(2)A(3)A(4)D(5)A

(6)D(7)C(8)C(9)B(10)C

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(11)28(12)1；S2)

(13)金(答案不唯一)(14)3(15)①④

22

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)確定的三個(gè)條件是①，②，③.

當(dāng)A>0且0</<］時(shí)，Asine>0.

若函數(shù)/3)滿(mǎn)足條件④，則/(0)=Asin*=-2,

與Asin。>0矛盾，所以/(X)不能滿(mǎn)足條件④.

所以能確定了。)的三個(gè)條件是①，②，③.

2兀

由條件①，得詢(xún)=兀，又所以。=2.

由條件②，得1*=2,又A>0,所以A=2.

7Tjrjrrr

由條件③，得了(一二)=2sin(—丁+⑼=0,又0<夕<大，所以夕=彳

6323

所以/(x)=2sin(2x+?.

經(jīng)驗(yàn)證，"r)=2si吟+學(xué)符合題意.....................................................7分

(II)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為［2撫一二2E+馬(^eZ).

22

由2H-342x+二W2E+二(&wZ),

232

1212

所以/3)的單調(diào)遞增區(qū)間為—(AeZ).......................................13分

(17)(共13分)

解：(I)在四邊形ABCO中,

因?yàn)?C〃AO,BC=LA。，。是AD的中點(diǎn)，則8C//AO,BC=A0.

2

所以四邊形ABCO是平行四邊形.

所以<8〃0C.

又因?yàn)?B(Z平面POC,OCu平面POC,

所以nB〃平面POC.........................................................................5分

(II)連結(jié)08.

因?yàn)閼?hù)O_L平面ABC。,

所以尸O1OB,PO_LO。.

又因?yàn)辄c(diǎn)。是AO的中點(diǎn)，且8C=LA。，

2

所以3C=OQ.

因?yàn)镋C〃AO,CO1A￡>,8C=CO,

所以四邊形08co是正方形.所以BOLAO.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-町z,

則4(0,-1,0),B(l,0,0),C(l,1,0),ZXO,1,0),P(0,0,1).

所以而=(1,1,0),而=(0,1,1).

設(shè)wi=(x,y,z)是平面AA尸的一個(gè)法向量，

則M絲=a即戶(hù)內(nèi)

mAP=0,[y+z=O.

令y=l,則機(jī)=(-11,—1).

因?yàn)镺BJ.平面加，

所以麗=(1,0,0)是平面PAD的一個(gè)法向量.

所以辰(凡研=［瑞］=|十+4.

由圖口■知，二面角8—AP—。為銳角，

所以二面角6-的一。的余弦值為乎....................................................13分

(18)(共14分)

解：(1)設(shè)事件。：從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶(hù)，該家庭2019年人均年純收入超過(guò)10000元.

從表格數(shù)據(jù)可知，A地區(qū)抽出的300戶(hù)家庭中2019年人均年收入超過(guò)10000元的有100戶(hù)，

因此尸(C)可以估計(jì)為............................................................3分

3003

(H)設(shè)事件A：從樣本中A地區(qū)2019色脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶(hù)，該家庭2019年人均年純收入超過(guò)10000

元，則P(A)=L

3

設(shè)事件B：從樣本中B地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶(hù)，該家庭2019年人均年純收入超過(guò)10000元，則

P⑶=當(dāng)=3.

2004

由題H知X的可能取值為0,1,2.

--131

P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(l--)x(l--)=-

346;

-..___13137

P(X=1)=P(AB|JAB)=P(A)P(B)4-PM)P(B)=(1--)X-+-X(1--)=—；

131

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=-x-=-.

344

所以X的分布列為

X012

7

P

6124

所以X的數(shù)學(xué)期望￡X=0x2I+lx7'+2x±1=1V3...........................................10分

612412

(III)設(shè)事件E為“從樣本中A地區(qū)的300戶(hù)脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶(hù)，這4戶(hù)家庭2020年人均年純收入都超

過(guò)10000元

假設(shè)樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過(guò)10000元的戶(hù)數(shù)相比2019年沒(méi)有變化,

則由2019年的樣本數(shù)據(jù)得?（￡：）=冬=0.012.

C

答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：

以約比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收

入超過(guò)10000元的戶(hù)數(shù)相比2019年發(fā)生了變化.

所以可以認(rèn)為有變化.

答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化.理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，尸（七）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，

所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化.................................................................14分

（19）（共15分）

22

解：（I）由題意可設(shè)橢圓C的方程為:■+與=1（。>b>0）,則

a'b-

b=l

C\/6

—~Q

a3'

922

a-=b7~+c.

解得〃=JLc=夜.

2

所以橢圓。的方程為］~+y2=i,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一夜,0）和（血,0）.............................5分

（II）方法1：

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（事,穌）（小工0,先工±1）,則'?+$=1.

過(guò)原點(diǎn)且與直線MA平行的直線方程為J=近二%.

%

令y=3,得P（%,3）.

直線MB的方程為丁=生!人X-1,

為

令y=3,得Q（C，3）.

%+1

假設(shè)以線段PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可設(shè)定點(diǎn)為N（0,小）.

則而?而=0.

因?yàn)槎?（2^,3—⑼，而二（馬-,3—㈤，

%TNo+1

所以空~+（3—6）2=0

2

因?yàn)樽?y：=1,所以＞一6冽-27=0.

貝!Jm=-3或機(jī)=9.

所以以線段PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）和（0,9）...................15分

方法2：

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（X。,%）（小工0,%工±1）,則方■+y：=i.

過(guò)原點(diǎn)且與直線MA平行的直線方程為y-近1”.

為

令y=3,得與=*.

%T

直線MB的方程為），="、-1,

?“

令"3,得%=%.

%+1

所以以PQ為直徑的圓的半徑為

r21%f|=』---^-1=1.穌-7-=13(7-%).

2。2|%+1y0-l|2|(%+1)(%-1)2天

圓心的橫坐標(biāo)為"+吟二％=-3(7%-1)

22yQ-\y0+l2%一一12七

所以以線段PQ為直徑的圓的方程為x+式皿二?+（y_3）2=1343

2風(fēng)」41司

因?yàn)椤?$=1,所以二十3（7%-1）%+。―3）2-36=0.

3%

以線段PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)等價(jià)于對(duì)任意的點(diǎn)券），

方程f+3（7,'。一1）工+（/-3）2-36=0恒成立.

x2+(y-3)~-36=0,

所以《

x=0.

X=0,Tx=0,

解得…或

y=-3.

所以以線段P。為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)和(0,9).15分

(20)(共15分)

解：(I)f(x)=(ax+a-l)ex.令廣(幻=0,得ax=l-a

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-er<0,y=f(x)在(-co,+oo)上單調(diào)遞減;

當(dāng)心。時(shí),ffM和/(x)在R上的變化情況如下:

\-a(■^,+00)

X

((X)一0+

fW□極小值0

當(dāng)”。時(shí),/V)和f(x)在R上的變化情況如下:

i—(i\-a

X(^0—)(呼D

r(x)+0—

fW□極大值u

綜上，當(dāng)。=0時(shí)，y=/(x)在(YO,+OO)上單調(diào)遞減,

當(dāng)。>0時(shí)，y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,三)，單調(diào)遞增區(qū)間為(j,go)

aa

當(dāng)a<0時(shí)，y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(YO,上當(dāng)，單調(diào)遞減區(qū)間為(

aa

6分

(II)由題得f%x)=(ax+a-l)ex.

設(shè)直線y=ar+a與曲線y=/(x)相切于點(diǎn)(%,%),

(5一l)e*>=4(/+1),①

則)

由①-②得一ae&="，即a(e"+/)=0.

若a=D，則/(x)=-e-ax+a=0,

直線y=0與曲線y=/（x）不相切，不符合題意，所以。工0.

所以e。+毛=0.③

令9（力=?*+%,則“（x）=eX+1>0,所以°（x）單調(diào)遞增.

因?yàn)橄Γ╛』）=4_工>0，^（-1）=6-'-1<0,

2yje2

所以存在唯一與e（-1,-3使得鏟+玉=0.

將③代入①得cixN+ox^—毛+a=0.

所以4=1^—=——\一.

X+%+1毛+41

易知在（―1,—?-）內(nèi)y=x+'+l單調(diào)遞減，且不+,+1<0,

2xx

所以）,=—\—在（T,_1）內(nèi)單調(diào)遞增.

"+12

x

122

因?yàn)樵賭（一1,一萬(wàn)），所以一1<。<一§,所以4￡（一1,一§）.....................................15分

（21）（共15分）

解：（I）/：2,4,8,16,32.（答案不唯一）..............................................3分

（II）由d<4<%+]，得v/,2=l,2,…,10,

k

所以2v”2百#=2,3,…,10.

L1

令/（%）=--=1+——/=2,3,…,10,

k-\k-\

則/（外單調(diào)遞減.

k10

所以2日（4=2,3,…,10）的最小值為2瓦.

1010

所以2<q<2亍，即公比4的取值范圍是（2,2瓦）............................................8分

（III）首先證明當(dāng)機(jī)26時(shí)，數(shù)列4不存在“等比分割數(shù)列”.

假設(shè)當(dāng)26時(shí)，數(shù)列4存在”等比分割數(shù)列"Bg,

2342

則4civ3=b[q<4<b[q<9<b]q<l6<blq<25<---<m<*，”.

易知偽>0,夕>0.

因?yàn)?<偽<1,且4<如2,所以/>4.因?yàn)閝>(),所以g>2.

又因?yàn)?<4",所以4=偽/=。廳./>36=6?,

與％<%=36矛盾.

所以當(dāng)m26時(shí)，數(shù)列4不存在”等比分割數(shù)列”.

所以V5.

當(dāng)m=5時(shí)，數(shù)列4：1,4,9,16,25,存在首項(xiàng)為9公比為2的數(shù)列隊(duì)滿(mǎn)足:

54

。＜2＜4＜更＜9＜您＜16＜656159049

＜25＜

5520803201280

所以〃:=5時(shí)，數(shù)列4存在”等比分割數(shù)列”.

所以”!的最大值為5......................................................................................................................................15分

2021北京東城高三一模

數(shù)學(xué)

2021.4

本試卷共4頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后,

將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合4={x|—B={x\x<\},那么ZU5=

(A)(-1,2)(B)(-1,1)

(C)(—oo,2)(D)(—oo,1)

(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1+2力i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(3)某中學(xué)高一、高二和高三各年級(jí)人數(shù)見(jiàn)下表.采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高

年級(jí)人數(shù)

高一550

(C)40(D)60

(4)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為

正(主)視圖

(B)9

(D)27

(5)己知圓？+丁=1截直線^=女G+l)(A0)所得弦的長(zhǎng)度為1,那么女的值為

(A)-

2

(C)1(D)G

2r-l,0<x<2,

(6)己知函數(shù)/(%)=〈那么不等式/(x)2五的解集為

6-x,x>2,

(A)(0,I](B)(0,2](C)[1,4](D)[1,6]

(7)“兇<3”是“111工<111>”成立的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(8)寬與長(zhǎng)的比為心，縣140.618的矩形叫做黃金矩形.它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人

2

賞心悅目.在黃金矩形/4CO中，BC=亞-1,AB>BC,那么麗?尼的值為

(A)>/5—1(B)y/5+1(C)4(D)2石+2

(9)已知橢圓。]：'+方=1(公功>0)的右焦點(diǎn)廠與拋物線G：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合，P為橢圓G與

拋物線G的公共點(diǎn)，且尸/LLx軸，那么橢圓C的離心率為

(A)y/2-1(B)—(C)—(D)73-1

32

(10)如圖，將線段AB,CD用一條連續(xù)不間斷的曲線y=fCx)連接在一起，需滿(mǎn)足要求：曲線y=f(x)經(jīng)過(guò)

點(diǎn)&C,并且在點(diǎn)5,。處的切線分別為直線48,CD,那么下列說(shuō)法正確的是

(A)存在曲線y=o?+笈2一〃+5方￡R)滿(mǎn)足要求

士人」sinar+cosbx,、

(B)存在曲線丁=--------------\-c(a,b,c￡R)滿(mǎn)足要求

(C)若曲線y=f{(x)和y=f2(x)滿(mǎn)足要求，則對(duì)任意滿(mǎn)足要求的曲線y=gG),存在實(shí)數(shù)L出使得g

(X)=4/1(X)+必(X)

(D)若曲線歹=力(x)和>^=力(x)滿(mǎn)足要求，則對(duì)任意實(shí)數(shù)九〃，當(dāng)2+.=1時(shí)，曲線y=5(x)+奶(x)

滿(mǎn)足要求

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)在(1一人)§的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

2

(12)已知雙曲線C：/-2_=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(垃,2),那么加的值為,C的漸近線方程為o

m

(13)已知｛%｝為等比數(shù)列，0=1，a4=-,那么｛%｝的公比為_(kāi)_______,數(shù)列｛」-｝的前5項(xiàng)和為_(kāi)___________o

8an

(14)已知函數(shù)/(x)=4sin(2x+0)(A>0,|同<9，其中x和/(x)部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：

717171

X~~40~3

127

/(X)-2-26-2226

那么力=____________

(15)設(shè)4是非空數(shù)集，若對(duì)任意x,都有盯《4,則稱(chēng)4具有性質(zhì)?.給出以下命題：

①若力具有性質(zhì)P,則力可以是有限集；

②若4,4具有性質(zhì)尸，且小八念則小「念具有性質(zhì)?；

③若4,也具有性質(zhì)P，則小U42具有性質(zhì)P：

④若為具有性質(zhì)尸，且心紙，則C/不具有性質(zhì)P.

其中所有真命題的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題13分)

如圖，在長(zhǎng)方體48co—481Goi中，四邊形5CG8|是邊長(zhǎng)為1的正方形，AB=2,M,N分別為40,小以

的中點(diǎn).

(I)求證：兒"1〃平面4都。：

(II)求直線CN與平面O/C所成角的正弦值.

（17）（本小題13分）

在△4BC中，cosC=‘，c=8,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求:

7

（I）右的值；

（II）角力的大小和△/BC的面積.

條件①：a=7；

條件②：cos8=U.

14

注：如果選擇條件①、條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

（18）（本小題14分）

小明同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿(mǎn)分100分）如下表所示:

語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物

第一次879291928593

第二次829495889487

（I）從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；

（II）從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科

目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）;

（III）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿(mǎn)分100分）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如下表所示：

6科6科

語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物

成績(jī)均值成績(jī)方差

第一次a\44as%不5

第二次

byb2仇b4bsb6X2D2

將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為A?有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若乃=必，

01Vz）2，則。1%3出2.你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？（只寫(xiě)“正確”或“不正確”）

（19）（本小題15分）

已知函數(shù)/（4）=/—a?_Jx+],其中口〉。

（I）當(dāng)。=1時(shí)，求/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若曲線y=/（x）在點(diǎn)（一小/（一“））處的切線與y軸的交點(diǎn)為（0,用），求機(jī)+L的最小值.

a

（20）（本小題15分）

22

已知橢圓C：—xH—v7=1（。＞}＞。）過(guò)點(diǎn)O（—2,0）?且焦距為2。L3.

ab

（I）求橢圓。的方程；

（II）過(guò)點(diǎn),4（一4,0）的直線/（不與x鈾重合）與橢圓。交于尸，。兩點(diǎn)，點(diǎn)T與點(diǎn)。關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，直線

TP與x軸交于點(diǎn)，.是否存在常數(shù)九使得|明?|。"|=幾（|明一川）成立，若存在，求出4的值；若不存在,

說(shuō)明理由.

（21）（本小題15分）

設(shè)〃（77＞2）為正整數(shù)，若。=（勺，刈，…，?。M(mǎn)足：

①刖￡{0,1,...?/?-1},z=1?2,...?ti；

②對(duì)于1,均有x宙x；

則稱(chēng)。具有性質(zhì)上（?）.

對(duì)于°=（xi，M，…，xn）和6=（jp%，…，%），定義集合7（a,B）=伸=/一用，/=1,2,…，n].

（I）設(shè)。=（0,1,2）,若萬(wàn)=（乃，歹2,為）具有性質(zhì)E（3）,寫(xiě)出一個(gè)夕及相應(yīng)的T（a,夕）；

（II）設(shè)a和4具有性質(zhì)E（6）,那么?、撸┦欠窨赡転閧（）,1,2,3,4,5},若可能，寫(xiě)出一組a和小

若不可能，說(shuō)明理由；

（III）設(shè)a和4具有性質(zhì)￡（〃），對(duì)于給定的a,求證：滿(mǎn)足T（a,尸）={0,1,…，〃一1}的萬(wàn)有偶數(shù)個(gè).

2021北京東城高三一模數(shù)學(xué)

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(DC(2)B(3)A(4)B(5)D

(6)C(7)B(8)C(9)A(10)D

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(11)5(12)4y=±2x

1

(13)-31(14)4

2

(15)①②④

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(本小題13分)

解：⑴取AC中點(diǎn)O,連接OM,ON。

因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以。M〃CD,OM=-CD.

2

在長(zhǎng)方體A6CO-A4GA中，因?yàn)镹是A4的中點(diǎn)，

所以NA〃CD,NA=；CD

所以NA〃OM,且N4,二OM

所以四邊形NOM'是平行四邊形.

所以M4,〃0N°

又因?yàn)镸41a平麗WC,ONu平面4VC,所以岫〃平面ANC?！?分

(II)在長(zhǎng)方體48CD-A4GA中，如圖建立空間坐標(biāo)系B-xyz。則C(1,0,0),A(0,2,0),〃

(1,2,1),N(0,1,1),所以,二(一1,1,1),C4=(-1,2,0)?西=(0,2』)。

設(shè)平面O14C的法向量，〃=(x,y,z)

，必=0,-x+2j=0,

由，_.，知?

yiOCD)=0,2y+z=0.

令y=l,則x=2,z=-2,則平面"AC的法向量〃二(2,1,-2)。

設(shè)直線CN與平面D.AC所成角為。,

則sin(9=|cos<C7V,n)|==—

ICNIIM73x33

所以直線CN與平面AAC所成角的正弦值為B。

13分

3

(17)(本小題13分)

解：選擇條件①。

(I)因?yàn)閏=8,a=7,

由余弦定理c?=/+從一2abeosC，得小一力-15=0。

解得b=5或b=-3(舍)。

所以b=5。.................................................6分

(II)因?yàn)閏osC=,，0<C<^f

7

所以sinC=71-cos2C=，一(g=

7二8

由正弦定理一二=,得sinA4,

sinAsinC

7

所以sinA=^-o

2

因?yàn)閏>a,所以C>A。所以4=烏。

3

所以5t/?r=—?^sinC=-x7x5x^-^-=10\/3

.............................13分

ADC227

選擇條件②。

(I)因?yàn)閏osB=U,0<B<%,

14

所以sinB=Vl-cos2B=

因?yàn)閏osC=y,0<C<71,

所以sinC=Jl-cos?C=~-^-0

b二8

由正弦定理工=-J,得工萬(wàn)=z萬(wàn)，

sinBsinC

147

解得b=5.............................................6分

(ID由(I)知$缶8=筮，sinC=—

147

又因?yàn)閏osB——,cosC——

147

在AABC中，A=TI—(8+C),所以

cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC=-—xl+^x^=l