2021-2022學(xué)年新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用課時練習(xí)題含答案解析

第六章平面向量及其應(yīng)用練習(xí)題

6.1平面向星.的概念......................................................1

6.2平面向量的運算......................................................6

1、向量的加法運算...................................................6

2、向量的減法運算..................................................10

3、向量的數(shù)乘運算..................................................14

4、向量的數(shù)量積....................................................18

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示.........................................23

1、平面向量基本定理................................................23

2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示….…34

3、平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示.....................................37

4、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.......................................48

6.4平面向量的應(yīng)用.....................................................61

1、平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例..................61

2、余弦定理........................................................74

3、正弦定理........................................................85

4、余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例一一距離問題.........................97

5、余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例一一高度、角度問題..................108

6.1平面向量的概念

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題（每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得3

分,有選錯的得0分）

L下列說法中，正確的個數(shù)是1）

①時間、摩擦力、重力都是向量；

②向量的模是一個正實數(shù)；

③相等向量一定是平行向量；

④向量a與b不共線,則a與b都是非零向量.

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.對于①，時間沒有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①錯

誤；對于②,零向量的模為0,故②錯誤;③正確，相等向量的方向相同，因此一定

是平行向量;④顯然正確.

2.在四邊形ABCD中，羸〃CD,|AB|^|CD|,則四邊形ABCD是（）

A.梯形B.平行四邊形

C.矩形D.正方形

【解析】選A.因為崩〃無，所以AB〃CD.

又因為|AB|豐|而所以AB=#CD.

所以四邊形ABCD是梯形.

3.（多選題）設(shè)0是等邊三角形ABC的外心,則OA,而，氏是（）

A.有相同起點的向量B.平行向量

C.相等向量D.模相等的向量

【解析】選AD.因為0是等邊三角形ABC的外心，起點都是0,外心為各邊垂直平

分線的交點，

所以|而|=|55|=|反I.

4.數(shù)軸上點A,B分別對應(yīng)T,2,則向量族的長度是（）

A.-1B.2C.1D.3

【解析】選D.|族|=2-（-1）=3.

5.己知在邊長為2的菱形ABCD中，NABC=60°,則|前|二（）

A.1B.V3C.2D.2A/3

1

【解析】選D.易知AC±BD,且NABD=30°，設(shè)AC與BD交干點0,貝"A0=-AB=l.在

2

RtAABO中，易得|的|=四,則麗|=2|麗|=26.

6.（多選題）有下列說法，其中正確的說法是（）

A.若aWb,則a一定不與b共線

B.若前二反,則A,B,C,D四點是平行四邊形的四個頂點

C.在口ABCD中，一定有XB二反

D.若a=b,b=c,則a=c

【解析】選CD.對于A,兩個向量不相等，可能是長度不相等，方向相同或相反，所

以a與b有共線的可能，故A不正確；對于B,A,B,C,D四點可能在同一條直線上，

故B不正確；對于C,在口ABCD中，AD=|BC|,X5與反平行且方向相同，所以XB二床,

故C正確；

對于D,a=b,則于|二|b|,且a與b方向相同；b=c,則|b|二|c|,且b與c方向相同，

所以a與c方向相同且模相等，故a二c,故D正確.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,0為其中心,則|OA|=.

【解析】因為正方形的對角線長為2a,所以I:

答案:我

【補償訓(xùn)練】

如果在一個邊長為5的正AABC中,一個向量所對應(yīng)的有向線段為通（其中D在邊

BC上運動），則向量而長度的最小值為.

【解析】結(jié)合圖形進(jìn)行判斷求解（圖略），根據(jù)題意，在正4ABC中，有向線段AD長

5V3

度最小時,AD應(yīng)與邊BC垂直，有向線段AD長度的最小值為正AABC的高，為一.

2

_5V3

答案:---

2

8.已知A,B,C是不共線的三點，向量m與向量贏是平行向量,與反是共線向量,則

【解析】因為A,B,C不共線，所以贏與所不共線.又m與屈，正都共線，所以國二0.

答案：0

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.某人從A點出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點，然后改變方向沿東北方向走了10方米

到達(dá)C點,到達(dá)C點后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點.

⑴作出向量旗BC,CD;

⑵求向量而的模.

【解析】⑴作出向量而麗無，如圖所示：

（2）由題意得，

△BCD是直角三角形，其中NBDC=90°,

BC二10方米，CD=10米，所以BD=10米.

△ABD是直角三角形，其中NABD=90°,AB=5米,BD=10米，所以

AD=A/52+102=5\/5（O.

所以|而|二5近米.

【補償訓(xùn)練】

如圖是4X3的矩形（每個小方格的邊長都是1）,在起點和終點都在小方格的頂點

處的向量中，與向量贏平行且模為魚的向量共有幾個？與向量贏方向相同且模

為3點的向量共有幾個?

D

【解析】(1)依題意，每個小方格的兩條對角線中，有一條對角線對應(yīng)的向量及其

相反向量都和泰平行且模為

因為共有12個小方格，所以滿足條件的向量共有24個.

(2)易知與向量贏方向相同且模為3衣的向量共有2個.

10.如圖所示,在四邊形ABCD中，AB=DC,N,M分別是AD,BC上的點,且K二荻.

求證:DN=MB.

MB

【證明】因為所以I贏I二|反|且AB〃CD,

所以四邊形ABCD是平行四邊形，

所以|5Al二且DA〃CB.

同理可得，四邊形CNAM是平行四邊形，

所以CM=NA,

所以|CM|=|NA|,

所以IMB|=|DN|,

又冰與M后的方向相同，所以蘇二而在

6.2平面向量的運算

1、向量的加法運算

一、選擇題（每小題5分，共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3

分,有選錯的得0分）

1.點0是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點,則而+反+而等于（）

A.ABB.BCC.CDD.DA

【解析】選A.因為點0是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則

■■■■■.

AO+OC+CB=AC+CB=AB.

2.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD〃BC,對角線AC與BD相交于點0,則

QA+BC+AB+D6=（）

/L____八D

A.CDB.DCC.DAD.DO

【解析】選B.

【補償訓(xùn)練】

在矩形ABCD中，|崩|=4,|記二2,則向量崩+通+正的長度等于（）

A.25/5B.4V5

【解析】選B.因為AB+A2AC,

所以入Q+A6+后的長度為正的模的2倍.

又I衣1742+22=2北,

所以向量品+AMM的長度為4A/5.

3.已知P為4ABC所在平面內(nèi)一點，當(dāng)PA+而二代成立時，點P位于（）

A.AABC的AB邊上B.AABC的BC邊上

C.AABC的內(nèi)部D.AABC的外部

【解析】選D.如圖玩,則P在AABC的外部.

A_____________C

P口B

4.在平行四邊形ABCD中,0是對角線的交點.下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=CD,BC=AD

B.AD+OD=DA

C.AO+OD=AC+CD

D.AB+BC+CD=DA

【解析】選C.因為稱5B=菽,AC+CD=AD,

所以泡痔石?無.

BC

5.如圖,D,E,F分別是AABC的邊AB,BC,CA的中點,則下列等式正確的是（）

C

XX

ZDB

A.FD+DA=FA

B.FD+DE+FE=O

C.DE+DA=EB

D.DA+DE=FD

【解析】選A.FD+DA=FA.

FADE+FE=FE+FE=AB,故B錯；

DE+DA=DF^BE,故C,D錯.

6.（多選題）向量a、b均為非零向量，下列說法中正確的是（）

A.向量a與b反向，且|a|>b，則向量a+b與a的方向相同

B.向量a與b反向，且a|〈b，則向量a+b與a的方向相同

C.向量a與b同向，則向量a+b與a的方向相同

D.向量a與b同向，則向量a+b與b的方向相同

【解析】選ACD.當(dāng)a與b反句，且|a|<|b|時，向量a+b與b的方向相同，只有B

錯誤.ACD都正確.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.在菱形ABCD中，NDAB=60°/羸|=1,則|加+56|=________.

【解析】在菱形ABCD中，連接BD,

因為NDAB=60°，所以ABAD為等邊三角形，

又因為|贏|=1,所以|BD|=1,

所以|M+而|二|BD|=1.

答案：1

【補償訓(xùn)練】

若M為4ABC的重心,則下列各向量中與贏共線的是（）

A.AB+BC+ACB.AW+MB+BC

C.AM+BM+CMD.3AM+AC

【解析】選C.由三角形重心性質(zhì)得欣+8立+。正0.

8.己知平行四邊形ABCD,設(shè)贏+醇無+5X=a,且b是一非零向量,給出下列結(jié)論：

①^〃b;②a+b=a;③a+b=b;④a+b|<|a|+1b.

其中正確的是.

【解析】因為在平行四邊形ABCD中，AB+CD=0,反+5人=0,所以a為零向量，因為

零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個向量本身，所以①③

正確，②④錯誤.

答案：①③

【補償訓(xùn)練】

當(dāng)非零向量a,b滿足_____時,a+b平分以a與b為鄰邊的平行四邊形的

內(nèi)角.

【解析】當(dāng)|a|=|b|時，以a與b為鄰邊的平行四邊形為菱形，則其對角線上向量

a+b平分此菱形的內(nèi)角.

答案：a|=|b

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.化簡：（1）BC+AB;（2）DB+CD4-BC;（3）AB+DF+CD+BC+FA.

【角簞析］(1)BC1-AB=AB+BC=AC.

(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=O.

10.如圖，己知D,E,F分別為aABC的三邊BC,AC,AB的中點.

求證：AD+BE+CF=0.

【證明】由題意知：麗=狂+麗，前=麗+無，濟US+BH

由平面幾何可知，EF=CD,BF=FA.

所以XBi■前+虎（X6+U5）+（沅+/）+（熱麗）=（菽+554■連+而）+（阮+函

=（AE+EC+CDH-CE+S）+0

=AE+C54-BF^AE+EF+FA=0,

所以而+靛+色0.

2、向量的減法運算

一、選擇題（每小題5分，共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3

分,有選錯的得0分）

1.下列式子不正確的是（）

A.a-0=aB.a-b=-（b-a）

■■....

C.AB-AB=0D.AC=DC+AB+BD

【解析】選C.A正確；B正確；因為向量線性運算的結(jié)果為向量，所以C不正確；根

據(jù)向量加法的三角形法則，D正確.

2.如圖，在四邊形ABCD中，設(shè)在a,而二b,立c,則反二（）

A.a-b+cB.b-(a+c)

C.a+b+cD.b-a+c

【角軍析】iiA.DC=DA+AB4-BC=a-b+c.

3.0是四邊形ABCD所在平面上任一點，族〃而，且I5X-麗=|及-麗I,則四邊形

ABCD一定為（）

A.菱形B.任意四邊形

C.矩形D.平行四邊形

【解析】選D.由OA-OB|=反-而知I威|二|B￡|,且贏〃無，故四邊形ABCD是平

行四邊形.

4.如圖,P,Q是AABC的邊BC上的兩點,且薩無，則化簡贏+*-泰-麗的結(jié)果為（）

A

BPQC

■..

A.0B.BPC.PQD.PC

【國單析】選A.AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)+(AC-AQ)=PB+QC=O.

5.在平面上有A,B,C三點,設(shè)m二通+工,n=AB-BC,若m與n的長度恰好相等，則有

()

A.A,B,C三點必在一條直線上

B.AABC必為等腰三角形且NB為頂角

C.AABC必為直角三角形且NB為直角

D.ZXABC必為等腰直角三角形

【解析】選C.以就氏為鄰邊作平行四邊形，則

m=AB+BC=AC,n=AB-BC=AB-AD=DB,由m,n的長度相等可知，兩對角線相等，因此

平行四邊彩一定是矩形，所以△ABC必為直角三角形且NR為直禮

6.(多選題)化簡以下各式，結(jié)果為零向量的是()

A.AB+BC+CAB.AB-AC+BD-CD

C.OA-OD+ADD.NQ+QP+MN-MP

［解析］選ABCD.AB+BC+CA=AC+CA=AC-AC=O；AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD)

=AD-AD=O；OA-OD+AD=(OA+AD)-0D=OD-OD=0；NQ+QP+MN-MP=NP+PM+MN=

NM-NM=0.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.己知口ABCD的對角線AC和BD相交于0,且蘇二a,誣二b,貝I］而=,

BC=.(用a,b表示)

【角簞析】々口圖，DC=AB=OB-OA=b-a,BC=oc-OB=-OA-OB=-a-b.

答案:b-a-a-b

【補償訓(xùn)練】

已知如圖,在正六邊形ABCDEF中，與胡-反+而相等的向量有—

①而;②X6；③5X；④靛;⑤員+反；

@CA-CD；@AB+AE.

【角單析】OA-OC+CD=CA+CD=CF;

CE+BC=BC+CE=BE7^CF;

CA-CD=DA^CF;AB+AE=AD^CF.

答案:①

8.AOAB中，5X=a,而△，且|a|二|b二|a-bI,判斷△OAB的形狀是，則a與

a+b所在直線的夾角是.

【解析】a-b=BA,

因為|a|二|b|二|a-b|,所以|二|OB|=|BA|,

所以AOAB是等邊三角形，所以NB0A=60°.

因為66=a+b,且在菱形OACB中，對角線0C平分NB0A.所以a與a+b所在直線的

夾角為30°.

答案：等邊三角形30°

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.如圖所示，已知OA=a,OB=b.OC=c,OE=e,OD=d,OF=f,試用a,b,c,d,e,f表示

AC,AD,AD-AB,AB4-CF,BF-BD,DF+FE+ED.

［解析】AC=OC-OA=c-a,AD=OD-OA=d-a,

.■■■■■■■■■.

AD-AB=BD=OD-OB=d-b,AB+CF=OB-0A+OF-OC=b-a+f-C,

???????,?...■

BF-BD=DF=OF-OD=f-d,DF+FE+ED=O.

10.如圖所示,°ABCD中，AB=a,AD=b.

⑴用a,b表示M,DB；

(2)當(dāng)a,b滿足什么條件時,a-b與a-b所在直線互相垂直?

AaB

【角簞析】(1)AC=AEH-Afeb+a,DB=AB-AD=a-b.

(2)由(1)知a+b=AC,a-b=DB.

因為a+b與a-b所在直線垂直，

所以AC_LBD.又因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以四邊形ABCD為菱形，所鼠|a|二|b|.

所以當(dāng)|a|二|b|時,a+b與a-b所在直線互相垂直.

3、向量的數(shù)乘運算

一、選擇題（每小題5分，共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3

分,有選錯的得0分）

1.下列各式計算正確的個數(shù)是（）

①（-7）?6a=-42a;②a-2b+2（a+b）=3a;

③a+b-（a+b）=0.

A.OB.1C.2D.3

【解析】選C.根據(jù)向量數(shù)乘的運算律可驗證①②正確;③錯誤，因為向量的和、

差及數(shù)乘運算的結(jié)果仍為一個向量，而不是實數(shù).

2.下列說法正確的是（）

A.2aWaB.|2a|>|a|

C.2a〃aD.|2a|Wl

【解析】選C.當(dāng)a=0時,2a=a=0,A,B不正確；

當(dāng)lai」1時，|2a|=1,D不正確.

2

3.己知0是AABC所在平面內(nèi)一點,D為BC的中點,且2QA+OB+OC=Q,則（）

■...

A.AO=2ODB.AO=OD

C.AO=3ODD.2A6=OD

［解析］選B.因為D為BC的中點，

所以5S+56=2而，

所以2OA+2OD=O,所以蘇二一麗,所以正而

【補償訓(xùn)練】

已知向量a,b滿足：|a二3,|b|=5,且a=入b,則實數(shù)人二（）

3535

A.-B.-C.±-D.±-

5353

【解析】選C.因為|a|二3,|b|=5,a=入b,所以|a|二|入||b|,即3=51人所以

4.設(shè)a,b為不共線的兩個非零向量，已知向量前二a-kb,C§=2a+b,CD=3a-b,若

A,B,D三點共線,則實數(shù)k的值等于（）

A.10B.-10C.2D.-2

【解析】選C.因為A,B,D三點共線，所以族二人BD=X（而-誣），所以a-kb=

X（3a-b-2a-b）=X（a—2b）,所以X=l,k=2.

【補償訓(xùn)練】

已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C）,則

A?=（）

A.X(AB+BC),X￡(0,1)

B.X(AB+BC),XG(0,馬

C.X(AB-BC),XE(0,1)

D.X(AB-BC),Xe(0,y)

【解析】選A.由已知，得A記XAC,XG(0,1),而於崩+前,所以A記X(AB+BC),

入e(0,1).

5.在4ABC中，若靠+於2而，貝IJ還等于()

1一3-1一3一

A.一AB+-ACB.-AB——AC

2222

1111_

C.一AB—ACD.一-AB+-AC

2222

X5+衣=2而得而二三（屁+M）,所以

【解析】選C.由

2

2

6.（多選題）點P是△ABC所在平面內(nèi)一點,若注入FA+或其中入￡R,則點P不

可能在（）

A.AABC內(nèi)部B.AC邊所在的直線上

C.AB邊上D.ZXABC外部

［解析］選ACD.因為誣=入PA+PB,

所以55-麗=入PA,所以而=入PA.

所以P,A,C三點共線.所以點P一定在AC邊所在的直線上.

所以點P不可能在4ABC內(nèi)部與外部，也不可能在AB邊上.

【補償訓(xùn)練】

己知aABC的三個頂點A,B,C及平面內(nèi)一點P,fiPA+PB+PC=AB,則（）

A.P在4ABC內(nèi)部

B.P在4ABC外部

C.P在AB邊上或其延長線上

D.P在AC邊上

【解析】選D.PA+PR4-PC=PB-PA,

所以而=-2或，所以P在AC邊上.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.若3（x+a）+2（x-2a）-4（x-a+b）=0,則x=.

【解析】由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,

所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.

答案:4b-3a

8.設(shè)a,b是兩個不共線的向量.若向量ka+2b與8a+kb的方向相反，則

k=.

【解析】因為向量ka+2b與8a+kb的方向相反，

所以ka+2b=K（8a+kb）nk二8入，2=入k=>k=-4（因為方向相反，所以入<0=>k<0）.

答案:-4

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.已知e,f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足葡二e+2f,BC=-4e-f,

CD=-5e-3f.

⑴用e,f表示通；

⑵證明：四邊形ABCD為梯形.

【解析】

⑴AD=AB+BC+CD=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.

⑵因為AD=-8e-2f=2(-4e-f)二2反,所以而與前方向相同，且A$的長度為了的長

度的2倍，即在四邊形ABCD中，AD〃BC,且AD手BC,所以四邊形ABCD是梯形.

10.已知兩個非零向量a與b不共線，OA=2a-b,ofca+3b,OC=ka+5b.

(1)若2就而+56=0,求k的值；

(2)若A,B,C三點共線,求k的值.

【解析】(1)因為2OA-OB+oc=2(2a-b)-a-3b+ka+5b=(k+3)a=0,所以k=-3.

(2)AB=OB-OA=-a+4b,AC=OC-OA=(k-2)a+6b,又A,B,C三點共線，則存在入￡R,

Jr—2——Qi

J解得k=-.

(6=4A,2

4、向量的數(shù)量積

一、選擇題(每小題5分，共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3

分,有選錯的得0分)

1.若|a|二4,|b|=6,a與b的夾角為135。，則a?(~b)等于()

A.12B.-12C.12V2D.-12V2

【解析】選C.因為a?(-b)=~a?b

=-|a||b|cos1350=-4X6X

【補償訓(xùn)練】

1.ABC中，BC=5,AC=8,ZC=60°，則瓦?法二()

A.20B.-20C.20V3D.-2oV3

【解析】選B.阮*CA=|BCCACOS120°=5X8X

2.己知AABC中，AB=a,AC=b,若a-b<0,則AABC是()

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.任意三角形

【解析】選A.由a?b<0易知向量a與b的夾角為鈍角.

2.己知非零向量a,b滿足|a|=21b|,且(a'b)，b,則a與b的夾角為()

22

【解析】選B.設(shè)夾角為8,因為(a—b)±b,所以(a—b)?b=a*b-b=Qf所以a*b=b,

a,b_I"j

所以COS0』"IT"2"|2=一,又ee[o,n]，所以a與b的夾角為F.

23

3.已知平面向量a,b滿足a?(a+b)=3且|a|=2,|b向1,則向量a與b的夾角為

)

nn27r57r

A.-B.-C.—D.—

6336

1

【角尾析】選C.因為a?(a+b)=a?+a?b=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=一一,又因為

2

27T

<a,b>￡[0,n],所EZ,<a,b>=—.

3

4.己知|a二|b|=l,a與b的夾角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c與d垂直,則k的值

為（）

A._6B.6C.3D.-3

【解析】選B.因為c?d=0,所以（2a+3b）?（ka-4b）=0,所以2ka?-8a,b+3ka,b

72b2=0,所以2k=12,所以k=6.

5.如圖所示,AABC是頂角為120。的等腰三角形，且AB=1,則崩?瓦等于（）

A

BC

吟

【解析】選C.因為aABC是頂角為120°的等腰三角形，且ABR,所以BC二禽，所

以崩?BC=1XV3Xcos150°

2

6.(多選題)已知a,b,c為非零向量，下列說法不正確的是()

A.若|a?b|=|a||b|,則a〃b

B.若a?c二b?c,則a=b

C.若|a|二|bI,則Ia?c|=Ib?c|

D.(a?b)IcI-1a(b?c)

【解析】選BCD.|a-b|=||a||b|cos0|二|a||b|,

所以cose二±1,即9二0°或180°，此時a〃b；A正確；

選項B中，設(shè)a與c的夾角為8i,b與c的夾角為/，因為a?c=b?c,

所以Ia11c|cos9i=|b||c|cos02,

即|a|cos0i=|b|cos82,B不一定正確；

C項中，a與c的夾角和bmc的夾角不相等時，結(jié)論不成立；

D項中，a與b的夾角，b與c的夾角不一定相等，所以不一定成立.

【補償訓(xùn)練】

對于向量a、b、c和實數(shù)入，下列命題中真命題是（）

A若a?b=0,則a=0或b=0

B.若入a=0,則入=0或a=0

C.若az=b2,則a=b或a=-b

D.若a?b二a?c,貝！Jb二c

【解析】選B.A中，若a-b=0,則a=O或b=O或a±b,故A錯;C中，若a2=b2,貝I

|a|二|b|,C錯;D中，若a?b二a?c,則可能有a±b,a_Lc,但bHc,故只有選項B正

確.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.在四邊形ABCD中，AD〃BC,AB=2?,AD=5,NA=30°,點E在線段CB的延長線上,

且AE=BE,貝ijBD-AE=.

［解析】如圖，過點B作AE的平行線交AD于F,

因為AD〃BC,所以四邊形AEBF為平行四邊形，

因為AE二BE,故四邊形AEBF為菱形.

因為NBAD=3（T,AB=2V3,

一2一

所以AF=2,即AF=-AD.

5

因為AE=FB=AB-AF=AB--AD,

S

所以前■讖=（而?贏）■碗一意可二

7—.—.—.2—.7不V3

-AB?AD-AB2—AD2=-X2V3X5X-----12-10=-1.

5552

答案:T

8.已知e1、e＞是夾角為三"的兩個單位向量,a=e-2e2,b=kei+e2,若k=l,則a?b=

______;若a?b=0,則實數(shù)k的值為______.

【解析】當(dāng)k=1時a?b=(e-2e2)?(ei+e?)

二?二-3.

由a?b=0得(e「，e2)?(ket+e0)=0.

27T5

整理,得k-2+(1-2k)cos—=0,解得k=-

34

研工15

合案：一--

24

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知：如圖,兩個長度為1的平面向量流和它們的夾角為弓，點C是以0為

圓心的劣弧AB的中點.求:

(1)涼+的的值.

⑵AB-M的值.

【解析】⑴因為OA和5s的長度為1,夾南為一,

3

27r1

所以O(shè)A?OB—|OA||OB|COS——,

32

所以IOA+OB|=V(OA+OB)2

=V0AJ+2OA?OB+OB2=1.

⑵因為點C是以0為圓心的劣弧靠的中點,

71

所以NA0C二NB0C二一,

3

所以6X?OC=OB?反二一,

2

所以靛?AC=(OB-OA)?(?)C-OA)

=OB-OC-OB-OA-OA?OC+OA-OA

斗幻衛(wèi)

2k2/22

【補償訓(xùn)練】

已知|a|=10,|b|=12,a與b的夾角為120°,求：⑴a-b;⑵13a)?(《b)；

(3)(3b-2a)?(4a+b).

【解析】(1)a?b=|a||b|cos0=1OX12Xcos120°=-60.

(2)(3a)?(~^b)=-(a?b)=-X(-60)=-36.

x5755

(3)(3b-2a)?(4a+b)=12b?a+3b-8a-2a?b=10a-b+3|b|2-8|a|2=10X(-60)+3

X12-8X10--968.

10.己知la=2b=2,e是與b方向相同的單位向量，且向量a在向量b方向上的

投影向量為-e.

(1)求a與b的夾角0;

(2)求(a-2b)?b;

⑶當(dāng)人為何值時，向量入a+b與向量a-3b互相垂直？

【解析】(1)由題意知a|=2,b=1.又a在b方向上的投影向量為

a|cos0e=-e,

1_27r

所以cos9=一一,又8￡[0,n],所以6=—.

23

⑵易知a?b二|a|?|b|cos0=-1,則（a-2b）?b=a,b-2b2=-1-2=-3.

（3）因為入a+b與a-3b互相垂直，所以（入a+b）?（a—3b）二入a2-3入a-b+b-a-3b2=4

入+3入7-3=7人-4二0,

4

所以入二一.

7

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、平面向量基本定理

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題（每小題5分，共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3

分,有選錯的得0分）

1.（多選題）如果Me?是平面a內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，可以

作為平面內(nèi)所有向量的一個基底的是（）

A.ei與ei+e2B.e-2e2與ei+2e2

_

C.ei+也與eie2D.e】+3e2與6e2+2ei

【解析】選ABC.選項A中，設(shè)ei+e2=xe?則匕一—無解；選項B中，設(shè)

11=0

U=1,

e-2e2=A（ei+2e2）,則Jn。無解；選項C中，設(shè)e+色二人（e-e2）,則

（一2二2A

A=1,1

〃，無解；選項D中，e,+3e=-（6e+2e）,所以兩向量是共線向量.

1=~A2221

2.如圖,在aOAB中,P為線段AB上的一點，OP=xOA+yOB,且而-2刀,則()

2112

A.x=-y=-B.x二一,,7"3

333

1331

C.x=-y=-D.x=-y=-

4444

_._._.____._.2_._2_._.

【解析】選A.由題意知5?=0后+而，＞1BP=2PA,0P=OB+-BA=0B+-(0A-0B)=

33

2一1-21

-OA+-OB,所以x二;y二二

3333

3.在矩形ABCD中,0是對角線的交點,若反=巳，DC=e2,則氏-()

11

A.-(e)+eo)B.~(e-e2)

22

11

-

C.-(2e2ei)D.-(e2-ei)

22

【解析】選A.因為0是矩形ABCD對角線的交點，BC=e?DC=e2,所以

oc=-(BC+DC)=-(e,+e),故選A.

222

4.平行四邊形ABCD中,M是BC的中點,若無=入AM+uBD,則X+u=()

9155

B.2C.—D.-

483

【解析】選D.因為記=正菽,

1一

AM=AB+BM=AB+-AD,BD=AD-AB.

2

所以AC=XAM4-pBD

A+A6

=\(?T)+U(AD-AB),

5

則

入+=-

3

5.設(shè)點0為面積為4的4ABC內(nèi)部一點，且有良+麗+25c=0,則AAOC的面積為

)

11

A.2B.1c.-D.-

23

【解析】選B.如圖，以方，53為鄰邊作口OADB,則OD=OA+OB,結(jié)合條件

OA+OB+2OC=0知,

OD=-2OC,

設(shè)0D交AB于M,貝"OD=2OM,所以O(shè)M=-OC,故。為CM的中點，所以

2

11

—Sz\A8C=_X4=1.

44

3

6.如圖所示,在4ABC中，點M,N分別在AB,AC上,HAM=2MB,AN=-AC,線段CM與

BN相交于點P,且泰=a,AC=b,則泰用a和b表示為（）

-41.42

A.AP=-a+—bB.AP=-a+-b

9393

24一43

C.AP=-a+-bD.AP=-a+-b

9377

,一2一a_3-2

【解析】選A.由于AM二一MB=-,AN=-b,NC=-b,則

3355

一A(ft—^-a)一一

...A2rt.0,V3Z■.

MC=AC-AM=b--a,BN=AN-AB=—b-a.設(shè)MP二入MC=\37,BP=pBN=

35

h~a\由麗一加二麻，得入,2

得

3

一"+〃二:

A=-

解得

5-^rb—a)41

因立匕AP=AB+BP=a+9'5/二一a+-b.

93

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC,BD相交于點0,E為線段A0的中點，若

BE=XBA+uBD(X,u￡R),則入+u=____________.

■,,，一一一1一一1—.一一一1一]一1

【解析】因為BE=BO+OE=-B什EA二一BAE什BA,所以BE-BA+-BD,所以入二一，11

22242

13

7i7

3

答案:一

4

8.如圖所示,在4ABC中，點。是BC的中點,過點0的直線分別交直線AB,AC于不

同的兩點M,N,若AB=mA疝AOnAN,則mn的最大值為

【解析】因為點。是BC的中點,

一1一一

所以AO=-（A?AC）.

2

又因為AC=nAN,

一m一n一

所以AO=—AJVH-—AN.

22

mn

又因為M,0,N三點共線，所以一+Y1,

22

即m+rFZ,所以mnW（;~+—J=1,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號，故mn的最大值為

1.

答案：1

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.在平行四邊形ABCD中，點E是AD邊的中點,BE與AC相交于點F,若神田凝+n通

(m,n€R),求一的值.

n

【解析】方法一：根據(jù)題意可知△AFEsaCFB,