專題3-9利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題原卷版

專題39利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題目錄TOC\o"11"\h\u專題39利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 1 1題型一：對(duì)稱化構(gòu)造 1題型二：比值代換法 13題型三：對(duì)數(shù)均值不等式法 22 29題型一：對(duì)稱化構(gòu)造【典例分析】例題1．（2022·江蘇南通·高三期中）已知，其極小值為4.(1)求的值；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：.例題2．（2022·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，①求的取值范圍；②求證：．【提分秘籍】主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【變式演練】1．（2022·福建·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）已知函數(shù)(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的極值.(2)若，，證明：.3．（2022·河北·開(kāi)灤第二中學(xué)高二期末）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)滿足且，證明：．4．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)（且）.(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，求證：.題型二：比值代換法【典例分析】例題1．（2022·全國(guó)·高二期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：；(3)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.【提分秘籍】比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．【變式演練】1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求a的取值范圍；（2）求證：.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在三個(gè)極值點(diǎn)，，，且，求k的取值范圍，并證明：.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：．題型三：對(duì)數(shù)均值不等式法【典例分析】例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)）.(1)討論單調(diào)性；(2)設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.例題2．（2022·黑龍江·牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【提分秘籍】?jī)蓚€(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【變式演練】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax，a為常數(shù)．（1）若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，求a的值；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，試比較f（m）與f（）的大?。唬?）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，試證明x1x2＞e2．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：.一、單選題1．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b滿足，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)于正實(shí)數(shù)a，若關(guān)于t的方程恰有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．是的極小值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則4．（2021·江西·鷹潭一中高三階段練習(xí)（文））關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)C．存在正整數(shù)k，使得恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則二、多選題5．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，恒成立C．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D．若是關(guān)于x的方程的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若恒成立，則B．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)只有個(gè)C．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是7．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．B．若有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，則C．D．若，x，y均為正數(shù)，則三、解答題8．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市同升湖高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)若的極值點(diǎn)為，且，證明：.10．（2022·江蘇常州·高三期中）已知函數(shù)，，．(1)若在x＝0處的切線與在x＝1處的切線相同，求實(shí)數(shù)a的值；(2)令，直線y＝m與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，證明：．11．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．12．（2022·貴州六盤水·高二期末（理））已