專題10平面向量小題拔高練

【一專三練】專題10平面向量小題拔高練新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）一、單選題1．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖像，即可得出，，再得出，代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】由，可知E為BC中點(diǎn)，所以，如圖所示：因?yàn)?，根?jù)上圖可知故選：A2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形ABC中，，點(diǎn)M，N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，，其中，點(diǎn)P，Q分別為MN，BC的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，再計(jì)算，得到函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間最值的求法即可求解.【詳解】，則，而，，而的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，，故選：B3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，，的最小值為，的最小值為，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】不妨設(shè)向量，，求出，的坐標(biāo)，表示為關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可利用最小值列出等式，同理，表示為關(guān)于y的二次函數(shù)，利用最小值列出等式，兩式聯(lián)立求出m，n，即可求得．【詳解】不妨設(shè)向量，，則，，所以，又對(duì)任意實(shí)數(shù)有的最小值為，所以，化簡(jiǎn)得．又，對(duì)任意實(shí)數(shù)有的最小值為，所以，所以，即．由，可得或3，故或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量與二次函數(shù)最小值的綜合問題，考查考生分析問題、解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．本題求解的關(guān)鍵：一是設(shè)出向量，的坐標(biāo)，有利于從“數(shù)”的角度加以分析；二是在“平方”變形的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的最小值．4．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示可知，再根據(jù)余弦二倍角公式化簡(jiǎn)、解方程可得,進(jìn)而可得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）在平行四邊形中，?分別在邊?上，，與相交于點(diǎn)，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，先利用三角形相似求出，然后利用向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】過點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?，所以，由可得：，所以，因?yàn)?，所以，故選：.6．（2023·江蘇南通·海安高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎冗叺倪呴L(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，，垂足為，當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由求出，得到為的重心，為的中點(diǎn)，再利用平面向量基本定理求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，，或（舍去），為的重心，，為的中點(diǎn)，，故選：B．7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知平面向量、、滿足，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不失一般性，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出、的值，以及的值，再利用平面向量的模長(zhǎng)公式以及基本不等式可求得的最小值.【詳解】不失一般性，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，因?yàn)椋?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選：C.8．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，，得到答案.【詳解】，，故.故選：C9．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．如圖，大正方形是由個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形，利用向量的分解可得解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)分別作，，分別交，于點(diǎn)，，則，，所以，，，，由已知得，則在中，，所以，，即，，所以，，即，，所以，故選：A.10．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B11．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)滿足．若，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【分析】利用平方的方法化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】，由兩邊平方得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為.故選：B12．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知中，，，，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)求得，再用余弦定理求得，利用等面積法求得，勾股定理求得，從而，最后分解為已知向量即可.【詳解】即，又因?yàn)?，所?在中，根據(jù)余弦定理可得：，即，根據(jù)三角形面積公式，解得，，，.故選：A13．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知，，是同一平面內(nèi)兩兩不共線的單位向量，下列結(jié)論可能成立的是（

）A．B．C．存在不全為0的實(shí)數(shù)，，使D．若，則【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量的定義、共線向量定理可判斷A，B，C；由可得，兩邊同時(shí)平方可得，同理可得，由向量的模長(zhǎng)公式可求出可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，由可得，因?yàn)樗裕?，共線，，共線，故A不正確；對(duì)于B，若，則，則，由向量共線定理可知，，共線，故B不正確；對(duì)于C，存在不全為0的實(shí)數(shù)，，使，由向量共線定理可得，共線，不滿足，是不共線的向量，故C不正確；對(duì)于D，由可得，兩邊同時(shí)平方，則，，則同理可得，所以，故D正確.故選：D.14．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等腰直角三角形中，，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，其中，為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，若，則，可得，故.故選：D.15．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關(guān)系，把的兩邊平方，利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】設(shè)非零向量，的夾角為.，所以，由兩邊平方得：，，，即，即，，，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為8.故選：C．16．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是平行四邊形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】運(yùn)用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】由已知，可得，又四邊形為平行四邊形，所以，所以.故選：D.17．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)量積運(yùn)算律及向量夾角公式可得，后可得.【詳解】由題可知，，所以，，則為銳角，得，則.故選：D18．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.二、多選題19．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列命題中正確的有（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實(shí)數(shù)使得，則【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量的模、及線性運(yùn)算的概念即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，的方向相反且，則存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得，故A正確D錯(cuò)誤；若，則以為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，所以，故B正確；若則的方向相同．在方向上的投影向量為，故C正確．故選：ABC.20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，是三個(gè)非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則不與垂直 D．不與垂直【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，兩邊平方計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；B選項(xiàng)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；C選項(xiàng)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系，D計(jì)算出，得到D正確.【詳解】，，是三個(gè)非零向量，A選項(xiàng)，兩邊平方得：，即，故，則，A正確；B選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，故，B正確；C選項(xiàng)，，故，則與垂直，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故與垂直，D錯(cuò)誤.故選：AB21．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，，且，則（

）A．B．C．D．，，，使得【答案】ABCD【分析】根據(jù)向量共線以及三角形的面積公式可判斷A，根據(jù)不等式即可求解BCD.【詳解】設(shè)中所對(duì)的邊分別為，由，，得，，，進(jìn)而得，，，,,，故A正確，由A知，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，因此，故B正確，,同理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),因此存在使得，故D正確，所以，故C正確,故選：ABCD22．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量滿足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為【答案】AD【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)殡S的變化而變化，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，由二次函?shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，取最小值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，向量上的一個(gè)單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計(jì)算公式可得：在上的投影向量為，故選項(xiàng)正確，故選：.23．（2023·山東·煙臺(tái)二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】AD選項(xiàng)，由可得，，后結(jié)合，可判斷選項(xiàng)正誤；BC選項(xiàng)，結(jié)合AD選項(xiàng)分析可得，據(jù)此可判斷BC選項(xiàng)正誤.【詳解】AD選項(xiàng)，，得，整理得①．由，得，整理得②．由①②及，得，所以，.故AD正確；BC選項(xiàng)，，所以，所以反向共線，又，所以，.故B正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD．24．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．存在，使得B．當(dāng)時(shí)，與垂直C．對(duì)任意，都有D．當(dāng)時(shí)，與方向上的投影為【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量共線、垂直的坐標(biāo)表示和向量投影的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于，若，則有，即，所以不存在這樣的，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，即，得，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，兩邊同時(shí)平方得，即，，解得，，，設(shè)與的夾角為，在方向上的投影為，故選項(xiàng)正確，故選：.25．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐標(biāo)表示與旋轉(zhuǎn)角的定義推得是正三角形，從而對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，所以，，故是正三角形，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭钦切危堑耐庑?，所以是的重心，故，即，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．.26．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或【答案】ABD【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求出可判斷A；求出向量、以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出與垂直的單位向量，判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，A正確因?yàn)?，所以，所以，即為直角三角形，B正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，D正確，故選：ABD．27．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A，B，表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，所以，所以，故B正確；，由于，故，故，故C錯(cuò)誤；由于，故，而，所以，所以，故D正確，故選：ABD三、填空題28．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知，，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個(gè)滿足條件的的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)向量的共線和向量乘法的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得：，，設(shè)，因?yàn)橄蛄?，且與的夾角為鈍角，所以所以，不妨令所以，故答案為：.29．（2023