福州市第十九中學(xué)2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

福州市第十九中學(xué)2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．公比為2的等比數(shù)列中存在兩項，，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2．我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶（1202-1261）在《數(shù)書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術(shù)”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或3．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．4．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．5．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．6．存在點在橢圓上，且點M在第一象限，使得過點M且與橢圓在此點的切線垂直的直線經(jīng)過點，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右頂點分別是，雙曲線的右焦點為，點在過且垂直于軸的直線上，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時，點恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．8．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．49．幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1，2，3，……，這個數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．505010．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角的平分線交于，，，則面積的最大值為__________．14．平面向量與的夾角為，，，則__________．15．關(guān)于函數(shù)有下列四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）16．已知為雙曲線：的左焦點，直線經(jīng)過點，若點，關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.18．（12分）已知點，若點滿足.（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）過點的直線與（Ⅰ）中曲線相交于兩點，為坐標(biāo)原點，求△面積的最大值及此時直線的方程.19．（12分）已知中，，，是上一點．（1）若，求的長；（2）若，，求的值．20．（12分）如圖，在中，點在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的長.21．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1，曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.（Ⅰ）求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程：（Ⅱ）設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A，B兩點，求|AB|的值．22．（10分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）已知點，直線與圓相交于、兩點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式，求出關(guān)系，即可求解.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式，注意為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當(dāng)時，由余弦弦定理得：，.當(dāng)時，由余弦弦定理得：，.故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系，還考查了對數(shù)學(xué)史的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，，所以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時，則，；當(dāng)時，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；③若，則，則，此時，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時要注意對的取值范圍進行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.4、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因為過點M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

點的坐標(biāo)為，，展開利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線計算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點的坐標(biāo)為，代入可得，．所以雙曲線的方程為．故選：【點睛】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.8、C【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9、C【解析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.10、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．11、A【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當(dāng)時與有兩個交點，故只需當(dāng)時，與有一個交點即可.若當(dāng)時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.12、A【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法一一求出，從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得圓心為，的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，，又，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，化簡整理得，所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形：因為，，由角平分線定理得,設(shè)，則由余弦定理得：即當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號所以面積的最大值為15故答案為：15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題，通過三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.14、【解析】

由平面向量模的計算公式，直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為，所以，所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算，只需先求出向量的數(shù)量積，進而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.15、①②③【解析】

由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進行判斷．【詳解】函數(shù)的定義域是，由于，在上遞增，∴函數(shù)在上是遞增，①正確；，∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設(shè)，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值，解題時按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．16、【解析】

由點，關(guān)于直線對稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關(guān)于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標(biāo)求出直線方程，根據(jù)中點在直線上，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，分別是，的中點，即可證明，從而可證平面；（2）先根據(jù)為正三角形，且D是的中點，證出，再根據(jù)平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）∵，分別是，的中點∴∵平面，平面∴平面.（2）∵為正三角形，且D是的中點∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴∵且∴∵，平面，且∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)等，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，中檔題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最大值為，此時直線的方程為.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；（2）設(shè)出直線方程后，采用（表示原點到直線的距離）表示面積，最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解：（Ⅰ）由定義法可得，點的軌跡為橢圓且，.因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為與橢圓交于點，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得，即，.面積可表示為令，則，上式可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因此面積的最大值為，此時直線的方程為.【點睛】常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：（1）已知點，若點滿足且，則的軌跡是橢圓；（2）已知點，若點滿足且，則的軌跡是雙曲線.19、（1）（2）【解析】

（1）運用三角形面積公式求出的長度，然后再運用余弦定理求出的長.（2）運用正弦定理分別表示出和，結(jié)合已知條件計算出結(jié)果.【詳解】（1）由在中，由余弦定理可得（2）由已知得在中，由正弦定理可知在中，由正弦定理可知故【點睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟練運用各公式是解題關(guān)鍵，此類題目是?？碱}型，能夠運用公式進行邊角互化，需要掌握解題方法.20、(1)；（2）.【解析】

（1）由兩角差的正弦公式計算；（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，所以.（2）在中，由，得，在中，由余弦定理可得，所以.【點睛】本題考查兩角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，屬于中檔題．21、（Ⅰ），;（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，可得曲線C1的極坐標(biāo)方程，然后先計算曲線C2的普通方程，最后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可得結(jié)果.（Ⅱ）將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得A，B的極坐標(biāo)，然后簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由所以曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為則曲線的極坐標(biāo)方程為（Ⅱ）令，則，，則，即，所以，，故．【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，以及極坐標(biāo)方程中的