2025屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個(gè)熱點(diǎn)專題專題15橢圓學(xué)案文含解析

PAGE專題15橢圓1.橢圓中的焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形為以橢圓兩焦點(diǎn)與橢圓上一點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,通?？疾槊娣e問(wèn)題、離心率問(wèn)題.涉及焦點(diǎn)三角形問(wèn)題,通常用正余弦定理解答.2.橢圓中的通徑為過(guò)焦點(diǎn)的垂線段,長(zhǎng)度為QUOTE.3.橢圓的對(duì)稱性橢圓是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形,過(guò)原點(diǎn)的直線y=kx與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)通常設(shè)為QUOTE與QUOTE.1.應(yīng)留意橢圓的定義中的常數(shù)大于|F1F22.求橢圓方程的方法(1)定義法.(2)待定系數(shù)法.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而且無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),設(shè)方程為QUOTE+QUOTE=1QUOTE可以避開探討和煩瑣的計(jì)算,也可以設(shè)為Ax2+By2=1QUOTE,這種形式在解題中更簡(jiǎn)潔.3.求橢圓離心率的常用方法(1)公式法:求得a,c的值,代入公式e=QUOTE,進(jìn)行求解;(2)解齊次方程法:列出關(guān)于a,b,c的齊次方程,然后依據(jù)b2=a2-c2,消去b,轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程求解.1.簡(jiǎn)潔忽視推斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,其方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小.【案例】T3.QUOTE+x2=1QUOTE中,y2的分母比較大,故焦點(diǎn)在y軸上,作圖時(shí)須要留意.2.簡(jiǎn)潔忽視橢圓上的點(diǎn)PQUOTE中x的范圍為QUOTE≤a.【案例】T6,設(shè)橢圓上點(diǎn)MQUOTE時(shí),應(yīng)留意x的范圍為0<x<2.3.橢圓方程未知時(shí),簡(jiǎn)潔忽視a2>b2>0的條件.【案例】T7.橢圓QUOTE+QUOTE=1,則m>0且m≠3.考向一求橢圓的方程【典例】(2024·全國(guó)Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為 ()A.QUOTE+y2=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1考向二橢圓與拋物線的綜合問(wèn)題【典例】(2024·全國(guó)Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)①是橢圓QUOTE+QUOTE=1的一個(gè)焦點(diǎn)②,則p=()A.2 B.3 C.4 D.8①依據(jù)拋物線定義求出拋物線焦點(diǎn)②求出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),與①的結(jié)論聯(lián)立,可求出p1.方程QUOTE+QUOTE=1(a>b>0,k>0且k≠1)與方程QUOTE+QUOTE=1QUOTE表示的橢圓,它們 ()A.有相同的離心率 B.有共同的焦點(diǎn)C.有等長(zhǎng)的短軸、長(zhǎng)軸 D.有相同的頂點(diǎn)2.已知橢圓QUOTE+QUOTE=1的焦點(diǎn)為F,短軸端點(diǎn)為P,若直線PF與圓O:x2+y2=R2(R>0)相切,則圓O的半徑為 ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.23.已知橢圓QUOTE+x2=1QUOTE的離心率e=QUOTE,P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若定點(diǎn)BQUOTE,則QUOTE的最大值為 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.34.已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為QUOTE,直線y=kx與該橢圓交于A,B兩點(diǎn),分別過(guò)A,B向x軸作垂線,若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則k等于 ()A.±QUOTE B.±QUOTEC.±QUOTE D.±25.已知F1,F2分別為橢圓QUOTE+QUOTE=1的左、右焦點(diǎn),M是橢圓上的一點(diǎn),且在y軸的左側(cè),過(guò)點(diǎn)F2作∠F1MF2的平分線的垂線,垂足為N,若QUOTE=2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則QUOTE-QUOTE等于 ()A.4 B.2 C.QUOTE D.QUOTE6.已知M為橢圓QUOTE+QUOTE=1上一點(diǎn),N為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),有下列結(jié)論:①存在點(diǎn)M,N,使得△OMN為等邊三角形;②不存在點(diǎn)M,N,使得△OMN為等邊三角形;③存在點(diǎn)M,N,使得∠OMN=90°;④不存在點(diǎn)M,N,使得∠OMN=90°.其中,全部正確結(jié)論的序號(hào)是 ()A.①④ B.①③ C.②④ D.②③7.若直線y=x+2與橢圓QUOTE+QUOTE=1有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是 ()A.m>1 B.m>1且m≠3C.m>3 D.m>0且m≠38.已知點(diǎn)P是橢圓QUOTE+QUOTE=1上一點(diǎn),F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),PF的中點(diǎn)為Q,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若QUOTE=1,則QUOTE= ()A.3 B.4 C.5 D.69.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1QUOTE的左焦點(diǎn)為F,過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A,B不同的兩點(diǎn),且AF⊥BF,延長(zhǎng)AF,交橢圓C于點(diǎn)D,若QUOTE=2QUOTE,則橢圓C的離心率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE10.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1QUOTE的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,F2也是拋物線E:y2=2pxQUOTE的焦點(diǎn),點(diǎn)A為橢圓C與拋物線E的一個(gè)交點(diǎn),且直線AF1的傾斜角為45°,則橢圓C的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTE-1 C.3-QUOTE D.QUOTE+1專題15橢圓///真題再研析·提升審題力///考向一B如圖,由已知可設(shè)QUOTE=n,則QUOTE=2n,QUOTE=QUOTE=3n,由橢圓的定義有2a=QUOTE+QUOTE=4n,所以QUOTE=2a-QUOTE=2n.在△AF1B中,由余弦定理推論得cos∠F1AB=QUOTE=QUOTE.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·QUOTE=4,解得n=QUOTE.所以2a=4n=2QUOTE,所以a=QUOTE,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1.考向二D因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為(±QUOTE,0),拋物線的焦點(diǎn)為QUOTE,由已知可得QUOTE=QUOTE,解得p=8.///高考演兵場(chǎng)·檢驗(yàn)考試力///1.A對(duì)于橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0,k>0且k≠1),設(shè)a′=QUOTE=QUOTEa,b′=QUOTE=QUOTEb,c′=QUOTE=QUOTE,則橢圓QUOTE+QUOTE=1的離心率為e′=QUOTE=QUOTE=QUOTE,焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE,短軸長(zhǎng)為2QUOTEb,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2QUOTEa,頂點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE和QUOTE;對(duì)于橢圓QUOTE+QUOTE=1QUOTE,離心率為e=QUOTE=QUOTE,焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE,短軸長(zhǎng)為2b,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE和QUOTE.因此,兩橢圓有相同的離心率.2.B因?yàn)闄E圓QUOTE+QUOTE=1,不妨設(shè)F(QUOTE,0),P(0,QUOTE),所以PF的方程為x+y-QUOTE=0,因?yàn)橹本€PF與圓O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圓心到直線的距離等于圓的半徑,即R=d=QUOTE=1.3.C由題意可得:QUOTE=QUOTE,據(jù)此可得:a2=5,橢圓方程為QUOTE+x2=1,設(shè)PQUOTE,則y2=5QUOTE,故QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,當(dāng)x=QUOTE時(shí),QUOTE=QUOTE.4.A聯(lián)立QUOTE?(b2+a2k2)x2=a2b2,則x=±QUOTE,由題意知QUOTE=c①,因?yàn)閑=QUOTE=QUOTE,所以a=2c,b=QUOTE=QUOTEc,代入①可得QUOTE=c2?k=±QUOTE.5.A延長(zhǎng)F2N交MF1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作圖如下:因?yàn)镸N為∠F1MF2的平分線,且F2N⊥MN,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE,因?yàn)镺,N分別為F1F2,F2所以O(shè)N為△PF1F2所以QUOTE=QUOTE=2,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE=2QUOTE=4.6.A過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線肯定與橢圓有交點(diǎn),假設(shè)y軸右側(cè)的交點(diǎn)是M,在長(zhǎng)軸上取ON=OM(ON在y軸右側(cè)),則△OMN就是等邊三角形,故①正確,②錯(cuò)誤;若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸兩側(cè),則∠OMN肯定是銳角,若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸同側(cè),不妨設(shè)為在y軸右側(cè),設(shè)點(diǎn)MQUOTE,則y2=3-QUOTEx2,且0<x<2,由橢圓性質(zhì)可知,當(dāng)點(diǎn)N是長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),∠OMN最大,因?yàn)镼UOTE=x2+y2,QUOTE=(x-2)2+y2,QUOTE=4,所以QUOTE+QUOTE=x2+y2+(x-2)2+y2=2x2+2y2-4x+4=QUOTE(x-4)2+2∈QUOTE,所以QUOTE+QUOTE>QUOTE,即∠OMN<90°,故③錯(cuò)誤,④正確.7.B橢圓QUOTE+QUOTE=1,則m>0且m≠3,而直線y=x+2與橢圓QUOTE+QUOTE=1有兩個(gè)公共點(diǎn),聯(lián)立QUOTE化簡(jiǎn)可得QUOTEx2+4mx+m=0,所以Δ=QUOTE-4mQUOTE=12mQUOTE>0,可得m>1或m<0,又因?yàn)閙>0且m≠3,所以m>1且m≠3.8.D設(shè)左焦點(diǎn)為F,右焦點(diǎn)為E,因?yàn)镻F的中點(diǎn)為Q,EF的中點(diǎn)為O,所以QUOTE=2QUOTE=2,又QUOTE+QUOTE=8,所以QUOTE=6.9.C設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F′,連接AF′,BF′,如圖所示,設(shè)QUOTE=2m,則QUOTE=m,QUOTE=2a-2mQUOTE=2a-m.由題意可知四邊形AFBF′是矩形,則QUOTE解得QUOTE故橢圓C的離心率是QUOTE=QUOTE