考點(diǎn)02平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用8種常見考法歸類-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)題型歸納與解題策略(人教A版2019)（原卷版）

考點(diǎn)02平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用8種常見考法歸類1、向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．（注：兩向量的夾角要共起點(diǎn)且夾角的范圍為）(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．2、求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常見思路(2)常用公式①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3、解決向量垂直問題一般思路解決向量垂直問題常用向量數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?,a·b＝0.這是一個(gè)重要性質(zhì)，對于解平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握.4、求向量a，b的夾角θ的思路(1)求向量的夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在個(gè)別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cosθ的值．5、解決向量投影問題應(yīng)注意以下三點(diǎn)(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個(gè)向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示為|b|cosθeq\f(a,|a|).考點(diǎn)一向量數(shù)量積概念辨析1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出以下結(jié)論：①；②；③；④或；⑤．其中正確的序號是______．2．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)校考期末）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．3．（2022春·山東·高一階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．向量滿足B．若向量滿足，則C．若向量，則D．對任意兩向量，則與是相反向量4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2022春·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）在銳角中，關(guān)于向量夾角的說法，正確的是（

）A．與的夾角是銳角 B．與的夾角是銳角C．與的夾角是銳角 D．與的夾角是鈍角6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是非零向量，是向量的夾角，“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件考點(diǎn)二向量數(shù)量積的運(yùn)算（一）向量數(shù)量積的簡單計(jì)算7．（2022秋·江蘇泰州·高三姜堰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，均為單位向量，且，則（

）A． B． C． D．8．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）已知向量的夾角為，且，，則（

）A． B． C． D．19．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則______.10．（2023·高一單元測試）已知，，與的夾角為．求：(1)；(2)；(3)．（二）平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積的計(jì)算11．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在中，，，，求，，的值.12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，，則________．13．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）在中，分別為的中點(diǎn)，則__________.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)D在上，，，則（）A．8 B．10 C．12 D．16.15．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考期末）已知等邊的邊長為是邊上的中點(diǎn)，則__________．16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中階段練習(xí)）在中，，，，為的外心，則（

）A．5 B．2 C． D．考點(diǎn)三利用向量數(shù)量積判斷平面圖形形狀17．（2022春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰谥?，若，則此三角形為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形18．（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，當(dāng)時(shí)，判斷的形狀．19．（2022春·廣東潮州·高一饒平縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，，則△ABC的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形20．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，且，則的形狀是______．21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知滿足，則的形狀一定是______．22．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┤鬙為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形23．（2022春·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期中）平面上四邊形ABCD中，若,則四邊形ABCD的形狀是____________．24．（2022春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┧倪呅螡M足：，，則該四邊形的形狀是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形考點(diǎn)四向量數(shù)量積的最值問題25．（2022·浙江金華·模擬預(yù)測）已知，則的最小值是___________.26．（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知三個(gè)單位向量，，滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．27．（2022秋·上海浦東新·高三?？茧A段練習(xí)）已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．28．（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）平面向量，滿足，與的夾角為，記，當(dāng)取最小值時(shí)，___________.29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為2的正六邊形邊上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是C．最大值是，最小值是 D．最大值是，最小值是30．（2022春·北京海淀·高一北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．考點(diǎn)五向量的模32．（2022秋·云南臨滄·高二校考期末）已知向量，的夾角為60°，，，則___________.33．（2023秋·山東日照·高三校聯(lián)考期末）已知向量夾角為，且，，則______．34．（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎蛄浚瑵M足：，，，則__________.35．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，和的夾角為135°，求的值．36．（2022秋·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若平面向量兩兩的夾角相等且不為，且，，則____________37．（2022·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，則的最小值為___________.38．（2022秋·吉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，的夾角為，且，則的最小值是__________.考點(diǎn)六向量的垂直問題39．（2022秋·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，，與的夾角為，，則_______.40．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，的夾角為，且，若，則______.41．（2022·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知單位向量、的夾角為，與垂直，則___________.42．（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量、是夾角為的兩個(gè)單位向量，向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)______．43．（2022·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知,是單位向量，且，若，那么當(dāng)時(shí)，______．考點(diǎn)七向量的夾角問題44．（2022·高一單元測試）在中，，，，D是AC的中點(diǎn)，則與的夾角為______．45．（2023·全國·模擬預(yù)測）若非零向量滿足，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．46．（2023秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，滿足，，且，則夾角的余弦值為___________.47．（2022秋·山東東營·高三勝利一中?？计谀┮阎鶠榉橇阆蛄?，且，則向量與的夾角為____________．48．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預(yù)測）已知向量與的夾角是，，，則向量與的夾角為______．49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若且，則向量與的夾角為（

）A． B．C． D．50．（2022秋·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，滿足，，.（1）求；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.51．（2022秋·山東泰安·高三?？计谥校┰O(shè)兩個(gè)向量滿足，.(1)若，求的夾角；(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.52．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量、滿足，，且，則與的夾角的取值范圍是______.考點(diǎn)八向量的投影問題求向量的投影53．（2023·全國·模擬預(yù)測）平面上有兩個(gè)非零向量和，則“在方向上投影大于0”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件54．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┤羝矫嫦蛄?滿足條件：?，則向量在向量的方向上的數(shù)量投影為___________.55．（2022春·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谥校┰O(shè)向量、滿足，，且，則向量在向量方向上的數(shù)量投影是______．56．（2022春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎蛄繚M足且，則在方向上的數(shù)量投影為______.57．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）已知非零向量，滿足，且則向量在向量上的投影為______.58．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎蛄繚M足，，，則向量在向量上的投影為______．求向量的投影向量59．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12