2023-2024學年四川省成都市校級聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年四川省成都市校級聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(1,1,2),b=(?3,2,0)，則aA.(32,32,322.平面直角坐標系內，與點A(1,1)的距離為1且與圓(x?1)2+(y?4)A.4條 B.3條 C.2條 D.0條3.設A?、B?分別是事件A、B的對立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列結論不正確的是(

)A.P(A)+P(A?)=1

B.若A、B是互斥事件，則P(A∩B)=P(A)P(B)

C.P(A∪A?)=1

D.4.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1A.12

B.1

C.32

5.在樣本頻率分布直方圖中共有9個小矩形，若其中1個小矩形的面積等于其他8個小矩形面積和的25，且樣本容量為210，則該組的頻數(shù)為(

)A.28 B.40 C.56 D.606.已知雙曲線C：x22?y24=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A.3 B.23 C.27.已知拋物線y2=4x的焦點為F，其上有兩點A，B，若AB的中點為M，滿足MF的斜率等于1，則|BF|的最大值是(

)A.7 B.8 C.5+23 8.半徑為R的光滑半球形碗中放置著4個半徑為r的質量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今將另一個完全相同的小球至于其上方，若小球不滑動，則Rr的最大值是(

)A.25+1 B.27+1二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知方程x22m+y24m+10=1(m為實數(shù)A.曲線C不可能表示一個圓 B.曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓

C.曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓 D.曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線10.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，若PC=5，AB=1，AB=12DC,PD=AD=1，MA.BM//平面PAD

B.二面角P?DM?B的余弦值為?66

C.二面角P?DM?B的正弦值為66

D.若在線段PA上存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是11.已知|a|=|b|=A.若(2c?a)?(c?b)=0，則c?b的最大值為72+3

B.若(2c?a)12.已知拋物線C：y2=4x，過焦點F的直線l與C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，y1>2A.sinα>tanβ B.∠AEF=∠BEF

C.∠AEB<90° D.α<2β三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.對任意的實數(shù)λ，圓C：x2+y2=1上一點到直線(2+λ)x?(1+λ)y?2(3+2λ)=014.已知n個人獨立解決某問題的概率均為14，且互不影響，現(xiàn)將這n個人分為一組，若解決這個問題概率超過910，則n的最小值是______．15.把橢圓x225+y216=1的長軸分為2024等份，過每個等分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于2023個點，F(xiàn)是橢圓的個焦點，則這16.如圖，在矩形ABCD中，|AB|=2|AD|，A1，A2分別為邊AB，CD的中點，M，N分別為線段A2C(不含端點)和AD上的動點，滿足|MA2||CD|=|DN||AD|四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

為了了解甲、乙兩個工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨機選取了10個輪胎，將每個輪胎的寬度(單位：mm)記錄下來并繪制出折線圖：

(1)分別計算甲、乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值；

(2)輪胎的寬度在[193,195]內，則稱這個輪胎是標準輪胎，試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的輪胎相對更好．18.(本小題12分)

已知圓C：(x?4)2+y2=r2(r>0)，兩點A(?3,0)，B(?5,0)．

(1)若r=8，直線l過點B且被圓C所截的弦長為6，求直線l的截距式；

(2)動點P(x,y)滿足|PA19.(本小題12分)

設動點P到兩定點.F1(?1,0)和F2(1,0)的距離分別為d1和d2，∠F1PF2=2θ，使得d1d2sin2θ=12．

(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出20.(本小題12分)

如圖，平面ADEF⊥平面ABCD，四邊形ADEF為矩形，且M為線段EF的中點，AB//CD，∠ABC=90°，AD=2DE，AB=2CD=2BC=3．

(1)求證：AM⊥平面BDM；

(2)求直線AM與平面MBC所成角的余弦值．21.(本小題12分)

已知圓的方程x2+y2=16，A(?2,0)，B(2,0)，拋物線過A，B兩點，且以圓的切線為準線．

(1)求拋物線焦點的軌跡C的方程；

(2)已知P(4,0)，設x軸上一定點T(t,0)(?4<t<4)，過T的直線交軌跡C于M，22.(本小題12分)

已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，過F的直線l交于A，B兩點，過F與l垂直的直線交于D，E兩點，其中B，D在y軸左側，M，N分別為AB，DE的中點，且直線MN過定點(0,3)．

(1)求拋物線C：x2=2py(p>0)的方程；

(2)設G為直線AE與直線BD的交點；

(i)證明G在定直線上；

(ii)求△MGN參考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.D

6.B

7.D

8.D

9.ACD

10.ABD

11.BC

12.BD

13.[0,214.9

15.10115

16.317.解：(1)根據(jù)題意，甲廠生產(chǎn)的輪胎寬度的平均值為：

x?甲=110(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm)，

乙廠生產(chǎn)的胎寬度的平均值為：

x?乙=110(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm)．

(2)甲廠生產(chǎn)的輪胎寬度都在[193,195]內的數(shù)據(jù)為195，194，193，194，195，193，

平均數(shù)為x?1=16(195+194+193+194+195+193)=194，

方差為：S12=16[(195?194)2+(194?194)2+(193?194)2+(194?194)2+(195?194)2+(193?19418.解：(1)若r=8時，圓C：(x?4)2+y2=64，可得圓心C(4,0)，

因為直線l被圓C截得的弦長為6，則圓心到直線l的距離為d=r2?(62)2=55，

當直線l的斜率不存在時，此時直線l的方程為x=?5，不滿足題意；

當直l的斜率存在時，設直線l的方程為y?0=k(x+5)，即kx?y+5k=0，

則|4k?0+5k|k2+1=55，解得k=±5526=±143026，

所以直線方程為1430x?26y+51430x=0或1430x+26y+51430=0，

綜上可得，所求直線l的方程為1430x?26y+5143019.解：(1)證明：在△PF1F2中，|F1F2|=2，

|F1F2|2=d12+d22?2d1d2cos2θ，

所以4=(d1?d2)2+4d1d2sin2θ，

所以4=(d1?d2)2+4?12，

所以4=(d1?d2)2+2，

所以|d1?d2|=2<|F1F2|=2，

所以動點P的軌跡C是以F1，F(xiàn)2為焦點，實軸長為2a=2的雙曲線，焦距為2c=2，

所以a=20.(1)證明：過點D作DN⊥AB于N，則DN⊥CD，

在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2BC=3，

所以DN=BC=32，AN=BN=12AB=32，BD=BC2+CD2=322，

所以AD=AN2+DN2=322，

所以AD2+BD2=AB2，即AD⊥BD，

因為平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，

所以BD⊥平面ADEF，

又AM?平面ADEF，所以BD⊥AM，

在矩形ADEF中，M為線段EF的中點，AD=2DE，

所以AM=DM=2DE，

所以AM2+DM2=AD2，即AM⊥DM，

又BD∩DM=D，BD、DM?平面BDM，

所以AM⊥平面BDM．

(2)解：因為四邊形ADEF為矩形，所以DE⊥AD，

又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE?平面ADEF，

所以DE⊥平面ABCD，

由(1)知，DN⊥CD，

以D為坐標原點，DN，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(32,?32,0)，B(32,21.解：(1)如圖，l是圓O的切線，分別過A，B，O作直線l的垂直，垂足分別為E、H、G，

又O是AB中點，則OG是直角梯形AEHB的中位線，|AE|+|BH|=2|OG|=8，

設F是以l為準線的拋物線的焦點，則|AF|=|AE|，|BF|=|BH|，

所以|AF|+|BF|=2|OG|=8>4=|AB|，

所以F點軌跡是以A，B為焦點的橢圓，橢圓長軸長為8，

2a=8，2c=4，則a=4，c=2，因此b=42?22=23，

所以拋物線的焦點的軌跡方程為x216+y212=1；

(2)證明：由題意設直線MN的方程為x=my+t，設M(x1,y1)，N(x2,y2)22.詳解：(1)易知直線AB，直線DE斜率均存在，且不為0，設直線AB的方程lAB：y=kx+p2，lDE：y=?1kx+p2，

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，E(x3,y3)，D(x4,y4)，

聯(lián)立y=kx+p2x2=2py，整理可得：x2?2pkx?p2=0，

可得x1+x2=2pk，x1x2=?4，所以y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，

可得AB的中點M(pk