數(shù)學(xué)湘教版自我小測：生活中的優(yōu)化問題舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．甲工廠八年來某產(chǎn)品年產(chǎn)量與時(shí)間(單位:年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示,現(xiàn)有四種說法：①前三年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越快；②前三年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越慢；③第三年后該產(chǎn)品停止生產(chǎn);④第三年后該產(chǎn)品產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的有()．A．①④B．②C．①③D．②③2．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長為20，要使其體積最大，則其高為(）．A．eq\f（20\r(3）,3)B．100C．20D．eq\f(20,3）3．設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時(shí)，底面邊長為()．A．eq\r(3,V)B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V)D．2eq\r（3，V)4．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f（1，2)x2，0≤x≤400,,80000，x＞400，）)則總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)量是(）．A．100B．150C．200D．3005．用總長14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長0。5m，那么高為__________時(shí)容器的容積最大,最大容積為__________．6．某廠生產(chǎn)某種商品x單位的利潤是L(x)＝500＋x－0.001x2，生產(chǎn)__________單位這種商品時(shí)利潤最大，最大利潤是__________．7．做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若需容積是27π,且用料最省,則圓柱的底面半徑為__________．8．一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時(shí)10海里時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，要使航行1海里所需的費(fèi)用最少輪船的速度為________，航行1海里所需的費(fèi)用總和最少為________．

參考答案1．B2．A如圖，設(shè)底面半徑為r，高為h，則有eq\f（r，20)＝sinθ，eq\f(h，20）＝cosθ，∴V(θ）＝πr2·h＝8000πsin2θcosθ。∴V′(θ)＝16000πsinθcos2θ－8000πsin3θ.令V′(θ）＝0，解得tanθ＝eq\r(2)，得唯一極值點(diǎn)．∴cosθ＝eq\f（\r（3），3）.∴h＝eq\f(20\r(3）,3）.3．C設(shè)底面邊長為x,則表面積S＝eq\f(\r（3),2）x2＋eq\f(4\r(3)V，x)（x＞0)，S′＝eq\f(\r（3），x2)(x3－4V）,令S′＝0，得唯一極值點(diǎn)x＝eq\r(3,4V)。4．D設(shè)總利潤為y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)x2＋300x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400。))當(dāng)x∈（400，＋∞）時(shí),y′＝－100≠0，此時(shí)y無最值．當(dāng)x∈［0,400］時(shí)，y′＝－x＋300。令y′＝0,得x＝300.由y′在x＝300處由正變負(fù)，故y在x＝300處有唯一極值點(diǎn)．又f（0）＜0，f（400）＜0，∴f（300）為最大值．5．1。2m1。8m3設(shè)容器底面短邊長為xm，則另一邊長為（x＋0。5）m,高為eq\f(14。8－4x－4(x＋0。5)，4)＝3.2－2x。由3。2－2x＞0和x＞0,得0＜x＜1。6。設(shè)容器的容積為ym3，則有y＝x(0.5＋x）·(3。2－2x)＝－2x3＋2。2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6。令y′＝0，有－6x2＋4。4x＋1.6＝0,解得x1＝1，x2＝－eq\f(4，15)（不合題意,舍去）．當(dāng)x＝1時(shí),y取最大值，y最大＝－2＋2。2＋1.6＝1.8(m3),這時(shí)高為3.2－2×1＝1。2(m)．∴當(dāng)高為1.2m時(shí),容器的容積最大為1。8m3。6．500750L′（x)＝1－0.002x。令L′（x)＝0，得x＝500,此時(shí)L（500）＝750。由已知，L(x）在其定義域[0，＋∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以生產(chǎn)500單位這種商品時(shí)利潤最大,最大利潤為750.7．3設(shè)底面半徑為R，母線長為l，則V＝πR2l＝27π.∴l(xiāng)＝eq\f(27，R2）.要使用料最省,只需使圓柱的表面積最?。郤表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·eq\f（27，R）,S′表＝2πR－eq\f（54π,R2)＝0,∴R＝3?！逽表有唯一極值點(diǎn)，故當(dāng)R＝3時(shí)，S表最?。?．20海里/時(shí)7.2元設(shè)速度為每小時(shí)v海里時(shí)燃料費(fèi)是每小時(shí)p元,那么由題設(shè)的比例關(guān)系，得p＝k·v3，其中k為比例常數(shù)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝eq\f（6，103）＝0.006.于是有p＝0。006v3.又設(shè)當(dāng)船的速度為每小時(shí)v海里時(shí)，航行1海里所需的總費(fèi)用為q元，那么因每小時(shí)所需的總費(fèi)用是0.006v3＋96（元），而航行1海里所需時(shí)間為eq\f(1,v)小時(shí)．所以,航行1海里的總費(fèi)用為q＝eq\f(1，v）（0。006v3＋96）＝0.006v2＋eq\f（96，v）.q′＝0。012v－eq\f(96,v2)＝eq\f（0.012,v2）(v3－8000）．令q′＝0，解得v＝