江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)

江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．某運動員在一次訓(xùn)練中共射擊次，射擊成績（單位：環(huán)）如下：，，，，，10．則下列說法正確的是（

）A．成績的極差為 B．成績的第50百分位數(shù)等于成績的平均數(shù)C．成績的中位數(shù)為和 D．若增加一個成績，則成績的方差不變2．已知集合，若，則實數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．3．拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點數(shù)分別為m，n．設(shè)平面向量，則向量不能作為平面內(nèi)的一組基底的概率為（

）A． B． C． D．4．若，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知x，y為正實數(shù)，則可成為“”的充要條件的是（

）A． B．C． D．6．位于如皋市定慧寺內(nèi)的觀音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七層、八角彩繪的外觀．觀音塔除去塔尖部分可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個除去塔尖的觀音塔模型，塔底寬20cm，塔頂寬10cm，側(cè)面面積為，據(jù)此計算該觀音塔模型體積為（

）．A．31500 B．30000 C．10500 D．100007．已知動點在拋物線上，定點．圓上兩個動點滿足，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．48．已知函數(shù)的定義域為，對內(nèi)的任意兩個不相等的數(shù)，都有且．若實數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A． B． C．20 D．19二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A． B．C． D．10．隨機事件A，B滿足，則下列說法正確的是（

）A．事件與互斥 B．事件A與相互獨立 C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于A，B兩點（其中點A在軸上方），連接．現(xiàn)將平面沿軸向上折疊，使得面面，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)直線的傾斜角為時，B．當(dāng)直線的傾斜角為時，三棱錐的外接球的表面積為C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)折疊后的周長為時，直線的斜率為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則．13．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的長度l（單位：cm）服從正態(tài)分布，按長度l分為5級：為一級，為二級，為三級，為四級，為廢品．將一級與二級產(chǎn)品稱為優(yōu)品．對該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品進行隨機抽查，每次抽取1個，則抽到優(yōu)品的概率（精確到0.1）．若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率為．附：，14．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且的平行線OQ與的角平分線交于，則橢圓的離心率為．四、解答題（本大題共5小題，共計77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為a，b，c，點在邊上且，．(1)求證：；(2)若，求的最大值．16．為調(diào)查某地區(qū)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)中錯題訂正整理情況與考試成績的關(guān)系．首先對該地區(qū)所有高中學(xué)生錯題訂正整理情況進行分值評價，給出得分；再組織考試．從這些學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績作為樣本，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個樣本錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，計算得．(1)求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷考試成績和錯題訂正整理情況得分的相關(guān)程度；(2)已知20個樣本中有8個樣本的考試成績低于樣本平均數(shù)．利用頻率估計概率，從該地區(qū)所有高中學(xué)生中隨機抽取4個學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，記抽到考試成績低于的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．附：相關(guān)系數(shù)．17．在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，分別為線段AD，CD的中點，，平面平面．(1)求證：；(2)若與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．18．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．已知雙曲線過點，其漸近線方程為．圓過點、，與軸交于、．記直線與雙曲線的另一個交點為，直線與雙曲線的另一個交點為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線和直線的斜率之積為定值；(3)判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．1．B【分析】分別求出運動員的極差、平均值、中位數(shù)、方差以及第50百分位，由此判斷四個選項即可．【詳解】A．，極差為，故錯誤，不符合題意；B．第50百分位數(shù)，平均數(shù)，故正確，符合題意；C．成績的中位數(shù)為，故錯誤，不符合題意；D．若增加一個成績，則成績的方差會變小，故錯誤，不符合題意；故選：B．2．A【分析】根據(jù)集合計算，利用求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，.由得，，∴或，∴，解得.故選：A.3．A【分析】由向量平行的數(shù)量積得到，再由古典概率計算即可.【詳解】且不能作為基底，則，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；兩次投擲得到點數(shù)的總可能性為種，所以所求的概率.故選：A．4．C【分析】先由配湊法和誘導(dǎo)公式二得到，再由同角的三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的余弦公式計算可得；【詳解】，故選：C．5．D【分析】作差法可判斷A；構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并結(jié)合充分、必要性的定義可判斷BD；特值法可判斷C.【詳解】對于A，已知x，y為正實數(shù)，若，，則，故A錯誤；對于B，由可得：，令，，令，解得：，則Fx在0,1若，則，故B錯誤；對于C，已知x，y為正實數(shù)，若，取，則，故C錯誤；對于D，由，則，令，則，即在定義域上遞增，故，反之也有成立，滿足要求，故D正確.故選：D.6．C【分析】先根據(jù)側(cè)面積求出斜高，然后求出側(cè)棱長和棱臺的高，最后由棱臺的體積公式求解即可.【詳解】每個側(cè)面面積，側(cè)面的高，則側(cè)棱長，正四棱臺的高，故選：C．7．D【分析】過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，利用題中條件得，結(jié)合進行求解即可.【詳解】

由題意知圓心與拋物線的焦點重合為F0,1，拋物線的準(zhǔn)線為，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，由，則為中點，故，，又圓的半徑為，則可得，

又，當(dāng)三點共線時，取得最小值為，則可得，故選：D．8．B【分析】利用賦值法求得，令，進而可求得，可計算，結(jié)合單調(diào)性可求得最小值.【詳解】，令，和原式比較，，都有在上單調(diào)遞增，，.故選：B．【點睛】思路點睛：通過構(gòu)造函數(shù)得到，進而運算得到是本題的重點，也是解決有些抽象函數(shù)問題的常用方法.9．AC【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，對于，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，A選項正確.B選項，對于，由，得，不符合題意.C選項，由，得，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，C選項正確.D選項，對于，由，得，不符合題意.故選：AC10．ABC【分析】根據(jù)互斥事件的定義，結(jié)合獨立事件的定義、條件概率的公式逐一判斷即可.【詳解】因為與一定互斥，所以A對；獨立，B對．對．錯，故選：ABC11．ABD【分析】對于對于A，聯(lián)立直線和橢圓方程可求出坐標(biāo)，進而知道點的位置，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；對于B，分別求出和的外接圓半徑，進而可求三棱錐外接球半徑為，由此可求其外接球的表面積；對于C，易知，聯(lián)立直線與橢圓，消去，進而由韋達定理可得，結(jié)合不等式即可得到范圍；對于D，由折疊前折疊后的周長可得，利用兩點間的距離公式列出等式，對等式進行變形，構(gòu)造對偶式，進而弦長可用表示，將韋達定理帶入即可求解，進而得到直線的斜率.【詳解】對于A，當(dāng)傾斜角為時，方程為此時位于橢圓短軸的一個端點，，又平面平面平面正確．對于B，當(dāng)傾斜角為時，為等邊三角形，邊長為2，外接圓半徑假設(shè),則所以外接圓半徑，三棱錐外接球半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為B正確．對于C，設(shè)直線AB方程為,聯(lián)立得，所以，平面面錯．對于D，如圖建系，翻折前原先，翻折后，由①②，聯(lián)立①②正確，故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于畫出翻折后的圖形，利用翻折前及翻折后的等量關(guān)系列出式子，再化簡求值.12．【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運算求出復(fù)數(shù)，進而求出其模.【詳解】由，得，即，則，所以.故答案為：13．0.20.36【分析】利用正態(tài)分布的意計算可得結(jié)論.【詳解】由，所以，優(yōu)品滿足，所以，（第一空）；抽查次數(shù)不超過兩次的概率為（第二空）.故答案為：；.14．【分析】延長OQ與交于，則為中點，易得，再結(jié)合橢圓得定義可求出，再在中，利用余弦定理求出的齊次式即可得解.【詳解】設(shè)的角平分線交軸于點，延長OQ與交于，則為中點，，∵，∴，∵，∴，，即，又，在中，由余弦定理得，即，，即橢圓的離心率.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法一：由正弦的和角公式化簡可得，由正弦定理即可證；方法二：由正余弦定理角化邊整理即可證；（2）方法一：由角平分線性質(zhì)，可知BD為的角平分線，設(shè)，根據(jù)面積相等可得，結(jié)合基本不等式即可求；方法二：設(shè)，在和中，分別用余弦定理，可得，結(jié)合基本不等式即可求；方法三：設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理可得，兩邊平方可得，結(jié)合基本不等式即可求.【詳解】（1）方法一：，，因為中，，所以上式，又因為，所以，由正弦定理：得，所以．方法二：因為，由正余弦定理可得，整理得，所以.（2）方法一：因為，即，又，所以，所以BD為的角平分線，設(shè)，則，所以，所以，所以，又在中，由余弦定理得，即，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故．方法二：設(shè)，在中，①，在中，②，由①②得，，下同法一.方法三：設(shè)，因為，所以，兩邊同時平方得，即，所以，所以，下同法一．16．(1)相關(guān)系數(shù)，考試成績和錯題訂正整理情況得分高度相關(guān)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計算公式即可代入求解；（2）根據(jù)二項分布概率公式求解概率，即可得分布列．【詳解】（1），接近考試成績和錯題訂正整理情況得分高度相關(guān)．（2）考試成績低于樣本平均數(shù)的概率記為，則x01234p17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，再由線面垂直的判定定理證明面即可；（2）方法一：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量代入空間線面角公式，再利用余弦值為求出，再求出面和面的一個法向量，代入空間二面角公式求解即可；方法二：過作，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，再由空間線面角公式解出，然后求出面和面的一個法向量，代入空間二面角公式求解即可；方法三：由線面垂直得到與平面所成角為，解三角形求CD值，再過作交BD于，過作于，為二面角的平面角，再由勾股定理和余弦的定義求出結(jié)果即可；【詳解】（1）證明：取BD中點，連接，為正三角形，，為BD中點，，面，面面，面面平面，又面，，面，所以面，又面（2）方法一：由（1）可知面，以為原點，邊上的高為軸，邊所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，設(shè)，則，記平面的一個法向量為，令，則，為平面的一個法向量，，與平面所成角余弦值為正弦值為．，或，又．設(shè)面的一個法向量為，取，則，∴為平面的一個法向量，設(shè)面的一個法向量為，，取，為平面的一個法向量，由圖可知二面角的平面為銳角，二面角的余弦值為．方法二：由（1）面過作，則，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)所以，設(shè)平面的法向量為，令得，，所以為平面的一個法向量，與平面所成角余弦值為，與平面所成角正弦值為．，或又因為平面的法向量設(shè)平面的法向量為，令得，，∴為平面的一個法向量，，下同法一方法三：由（1）可知面，平面，，又，，平面，所以面，平面，面面，與平面所成角為，設(shè)，，又為AD的中點，在中，，或，又．過作交BD于，過作于，連接，為二面角的平面角．因為，所以．由圖可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．18．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用賦值法求得，求得解析式，進而可求得切線方程；（2）法一，分，，三種情況分離變量，并求得最值求得的取值范圍.法二，令，利用二次求導(dǎo)判斷恒成立應(yīng)滿足的條件，進而求得的范圍.【詳解】（1）求導(dǎo)得，令，則，，即：．（2）方法一，，①當(dāng)時，左邊右邊，不等式顯然成立．②當(dāng)時，令當(dāng)時，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．綜上：的取值范圍為．法二，令，，令，所以恒成立，在上遞增．①若，即對在單調(diào)遞減，，與矛盾，無解，舍去．②若，即，在上遞增.故．③若即：時，使得，，即：即：，故綜上．19．(1)(2)證明見解析(3)相交，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）方法一：設(shè)，圓的半徑為，則、，其中，利用斜率公式可計算出為定值；方法二：設(shè)、，設(shè)圓的半徑為，求出圓的方程，將點的坐標(biāo)代入圓的方程，求出的值，利用斜率公式可計算出為定值；（3）將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，同理可得出點的坐標(biāo)，求出直線的方程，可求出直線所過定點的坐標(biāo)，判斷點與圓的位置關(guān)系，可得出結(jié)論.【詳解】（1）解