河北省衡水市武強中學2024−2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題含答案

河北省衡水市武強中學2024?2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點，直線，則點A到直線l的距離為（

）A．1 B．2 C． D．2．設，，向量，，，且，，則（

）A． B． C． D．3．已知直線與直線，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．54．如圖，在正方體中，是的中點，則異面直線與所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B．1 C． D．26．三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于（

）A．－2 B．2 C． D．7．橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上的點滿足：，且，則（

）A．1 B．C． D．28．直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列敘述正確的是（

）A．直線傾斜角的取值范圍是B．平面直角坐標系內的任意一條直線都存在傾斜角和斜率C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或10．如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，，AB的中點．則下列結論正確的是（

）A．與EF相交 B．平面DEFC．EF與所成的角為 D．點到平面DEF的距離為11．設橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結論正確的是（

）A．離心率B．面積的最大值為C．以線段為直徑的圓與直線相切D．的最小值為0三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則．13．已知點是橢圓上的一點，分別為橢圓的左、右焦點，已知=120°，且，則橢圓的離心率為.14．已知圓的圓心為，直線（為參數(shù)）與該圓相交于、兩點，則ΔABC的面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線.（1）若直線過點，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.16．已知圓C經過點A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.(1)求圓C的方程；(2)已知直線l經過點（0，1），并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.17．已知點P是橢圓上一點，點，分別是橢圓的左、右焦點，且，的周長為8．(1)求橢圓的標準方程；(2)若，求點P的坐標．18．如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．19．出租車幾何或曼哈頓距離（Manhattan

Distance）是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何度量空間的幾何學用語，用以標明兩個點在空間（平面）直角坐標系上的絕對軸距總和.例如：在平面直角坐標系中，若，，兩點之間的曼哈頓距離.(1)已知點，，求的值；(2)記為點B與直線上一點的曼哈頓距離的最小值.已知點，直線：，求；(3)已知三維空間內定點，動點P滿足，求動點P圍成的幾何體的表面積.

參考答案1．【答案】C【解析】利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】解：點，直線，則點A到直線l的距離,故選：C.【點睛】點到直線的距離.2．【答案】B【詳解】因為，所以即，解得x=0，因為，所以，解得y=-1，所以，，所以.故選：B.3．【答案】A【詳解】解：若，則，所以或．當時，重合，不符合題意，所以舍去；當時，符合題意．故選：A4．【答案】A【詳解】解：（法一）連接，由題意，，則即為異面直線與所成的角，設正方體的棱長為2，則，則，在中，；（法二）分別以、、為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系如圖，設正方體的棱長為2，得，2，，，0，，，2，，，2，，，，，，0，，因此，得到，，且，，異面直線與所成的角是銳角或直角，面直線與所成的角的余弦值是，故選：A．5．【答案】C【詳解】圓，所以圓心，半徑，由點到直線距離公式可得圓心到直線的距離為，所以直線被圓所截得的弦長為，故選：C.6．【答案】A【分析】利用向量運算法則結合余弦定理解得.【詳解】故選A.7．【答案】C【詳解】設，，則，又（1），（2），（1）式平方減去（2）式得：，得：.故選：C.8．【答案】A【詳解】因為線分別與軸，軸交于兩點，所以，所以，由，可得圓的圓心為，半徑為，因為點在圓上，所以圓心到直線的距離為，故到直線的距離的范圍為，則.故選：A.9．【答案】ACD【詳解】對于選項，由直線傾斜角的定義可知，傾斜角的取值范圍是，則正確；對于選項，由直線斜率的定義可知（為直線的傾斜角），當時斜率不存在，則錯誤；對于選項，由直線斜率的定義可知選項正確；對于選項，當直線與軸垂直時直線的傾斜角為，當直線與軸垂直時直線的傾斜角為，則正確；故選：ACD.10．【答案】BCD【分析】利用異面直線的位置關系，線面平行的判定方法，利用空間直角坐標系異面直線所成角和點到面的距離，對各個選項逐一判斷．【詳解】對選項A，由圖知平面，平面，且由異面直線的定義可知與EF異面，故A錯誤；對于選項B，在直三棱柱中，

．，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，，

．又平面DEF，平面DEF，

平面故B正確；對于選項C，由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，則0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．，，．與所成的角為，故C正確；對于選項D，設向量y，是平面DEF的一個法向量．0，，1，，由，即，得取，則，0，，設點到平面DEF的距離為d．又2，，，點到平面DEF的距離為，故D正確．故選：BCD【點睛】本題主要考查異面直線的位置關系，線面平行的判定，異面直線所成角以及點到面的距離，還考查思維能力及綜合分析能力，屬難題．11．【答案】CD【詳解】對于A：由橢圓可知，，，，所以左、右焦點分別為，，離心率，故選項A錯誤；對于B：，當點與橢圓的上下頂點重合時，面積的最大，所以面積的最大值為，故選項B錯誤；對于C：以線段為直徑的圓的圓心，半徑為1，由圓心到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故選項C正確；對于D：設，，，則的最小值為，故選項D正確；故選：CD．12．【答案】【詳解】因為直線的方向向量，平面的法向量，，所以，即，解得，故答案為.13．【答案】【詳解】設，由余弦定理知，所以，故填.14．【答案】【詳解】由題意可得圓的標準方程為：，直線的直角坐標方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，則.15．【答案】（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程，即可寫出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出．【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為.因為直線過點，所以直線的方程為，即.（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關系的應用，以及平行直線的距離公式的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．16．【答案】(1)（x﹣1）2+（y+1）2＝2(2)x＝0或3x+4y﹣4＝0【分析】（1）由圓C的圓心經過直線2x+y﹣1＝0上，可設圓心為C（a，1﹣2a）.由點到直線的距離公式表示出圓心C到直線x+y＝2的距離d，然后利用兩點間的距離公式表示出AC的長度即為圓的半徑，然后根據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.（2）分類討論，利用圓心到直線的距離為1，即可得出結論.【詳解】（1）因為圓心C在直線2x+y﹣1＝0上，可設圓心為C（a，1﹣2a）.則點C到直線x+y＝2的距離d.據(jù)題意，d＝|AC|，則，解得a＝1.所以圓心為C（1，﹣1），半徑r＝d，則所求圓的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.（2）k不存在時，x＝0符合題意；k存在時，設直線方程為kx﹣y+1＝0，圓心到直線的距離1，∴k，∴直線方程為3x+4y﹣4＝0.綜上所述，直線方程為x＝0或3x+4y﹣4＝0.17．【答案】(1)(2).【詳解】（1）解：由橢圓的焦點為，可得，即，又由橢圓的定義，可得，因為的周長為，可得，解得，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）解：設點，且，，則，因為，可得，解得，即，將代入橢圓，可得，即，解得，所以點的坐標為.18．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由平面，可知，再分析已知由得，這樣與垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；（2）求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個平面角的大小，本題中，由于，平面，因此兩兩垂直，可以他們?yōu)檩S建立空間直角坐標系，寫出圖中各點的坐標，求出平面和平面的法向量，向量的夾角與二面角相等或互補，由此可得結論．試題解析：（1）證明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ為等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD內兩條相交直線，故DE平面PCD（2）解：由（１）知，CDE為等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）圖，過點Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．

由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．以Ｃ為坐標原點，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），設平面的法向量，由，，得.由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取為,即.從而法向量，的夾角的余弦值為，故所求二面角A-PD-C的余弦值為.考點：考查線面垂直，二面角．考查空間想象能力和推理能力．19．【答案】(1)9(2)(3)【詳解】（1），所以.（2）設動點Px,y為直線上一點，則，所以