廣東省廣州市第四中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷含答案

廣東省廣州市第四中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無放回地隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．2．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．3．在正方體中，為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．5．已知事件，如果與互斥，那么；如果與相互獨(dú)立，且，那么，則分別為（

）A． B．C． D．6．在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，，，三角形重心為G，則點(diǎn)P到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的取值范圍（）A． B．C． D．8．直線與直線相交于點(diǎn)P，對任意實(shí)數(shù)m，直線,分別恒過定點(diǎn)A，B，則的最大值為（

）A．4 B．8 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某社團(tuán)開展“建黨100周年主題活動——學(xué)黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，則（

）A．兩人均獲得滿分的概率B．兩人至少一人獲得滿分的概率C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率D．兩人至多一人獲得滿分的概率10．已知函數(shù)，則（

）A．的一個(gè)對稱中心為B．的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的是奇函數(shù)的圖象C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，則11．如圖，在棱長為2的正方體中，E、F分別為、的中點(diǎn)，G是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為B．點(diǎn)G到平面AEF的距離為C．四面體AEFG的體積為D．若線段的中點(diǎn)為H，則GH一定平行于平面AEF三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線l的一個(gè)方向向量為，若l過點(diǎn)，則直線l的方程為．13．若直線與直線平行，則直線與的距離為.14．已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)，，則的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為四、解答題（本大題共5小題）15．某校為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進(jìn)行測評打分.現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名學(xué)生的成績（滿分為100分），按分?jǐn)?shù)分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)若認(rèn)定評分在80,90內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動愛好者”，評分在90,100內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生參加運(yùn)動交流會，大會上需要從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動愛好者”和“運(yùn)動達(dá)人”各1人的概率.16．如圖所示，平行六面體中，，，，．記，，，(1)用向量，，表示向量，并求；(2)求．17．如圖，在三棱柱中，底面，，，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的正切值.18．已知的內(nèi)角所對的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.

參考答案1．【答案】A【分析】利用古典概型概率的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，從6個(gè)數(shù)字中無放回地隨機(jī)抽取兩張，共有種，若要是5的倍數(shù)，則兩張卡片中必有一張是5；若第一張抽到的是5，共有5種抽法；若第二張抽到的是5，共有5種抽法；共10種抽法；所以所求概率為.故選：A.2．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.【詳解】.故選B.3．【答案】B【分析】連接，，得到，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，取的中點(diǎn)，在直角中，即可求解.【詳解】在正方體中，連接，，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，即為異面直線與所成角，不妨設(shè)，則，，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，在直角中，可?故選：B.4．【答案】B【詳解】由題意，設(shè)直線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，又由點(diǎn)在直線上，即，整理得，令，即時(shí)，，可得直線過定點(diǎn)，故選B.5．【答案】C【詳解】如果事件與互斥，則，所以.如果事件與相互獨(dú)立，則事件與也相互獨(dú)立，所以，，即.故選：C.6．【答案】D【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，

，，故在的投影為，點(diǎn)到線的距離為.故選：D.7．【答案】A【詳解】由于點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，可知在線段上移動，且設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.

8．【答案】A【詳解】直線，當(dāng)，得，即點(diǎn)，直線，當(dāng)，得，即點(diǎn)，且兩條直線滿足，所以，即，，，當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為4.故選：A9．【答案】ACD【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式逐一求解即可.【詳解】設(shè)“甲獲得滿分”，“乙獲得滿分”，則,對于A，“兩人均獲得滿分”可表示為,因?yàn)閮扇四芊瘾@得滿分相互獨(dú)立，故，即A正確；對于B，因?yàn)椤皟扇酥辽僖蝗双@得滿分”的對立事件為“兩人都沒獲得滿分”,則“兩人至少一人獲得滿分”的概率為：，故B錯(cuò)誤；對于C，“兩人恰好只有甲獲得滿分”可表示為，其概率為：，故C正確；對于D，因?yàn)椤皟扇酥炼嘁蝗双@得滿分”的對立事件為“兩人都獲得滿分”，則“兩人至多一人獲得滿分”為：,故D正確.故選ACD.10．【答案】BD【詳解】對于A，由，故A錯(cuò)誤；對于B，的圖象向右平移個(gè)單位長度后得，為奇函數(shù)，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，則，由余弦函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對于D，由，得，解得或，在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)從小到大依次為，第7個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，故D正確.故選BD.11．【答案】BD【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，可得，，，設(shè)平面AEF的法向量n=x,y,z，則，可得，對于選項(xiàng)A：設(shè)直線AG與平面AEF所成角為，可得，所以直線AG與平面AEF所成角的正弦值的取值范圍為，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：點(diǎn)G到平面AEF的距離為，故B正確；對于選項(xiàng)C：由題意知，所以四面體AEFG的體積為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由題意可知：，則，可得，可知，且平面AEF，所以GH一定平行于平面AEF，故D正確；故選：BD．12．【答案】【詳解】根據(jù)直線l的方向向量可得直線的斜率為，又因?yàn)?所以直線l的方程為,即得.故答案為：.13．【答案】/【詳解】由于與平行，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線平行，符合題意；綜上所述：，兩直線方程分別為，所以直線與的距離為.故答案為：.14．【答案】【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，于是，結(jié)合圖形知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)取得最小值，即在點(diǎn)位置時(shí)，而，直線為，由，得點(diǎn)，因此取得最小值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：；15．【答案】(1)，中位數(shù)是分(2)【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)中位數(shù)的求法求得中位數(shù).（2）先按分層抽樣計(jì)算出、抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求得所求概率.【詳解】（1）依題意，，解得.前三組的頻率為，所以中位數(shù)為分.（2）的頻率為，的頻率為，兩者的比例是，所以抽取的名學(xué)生中，中的有人，記為；在中的有人，記為；從中抽取人，基本事件有，共種，其中恰好“運(yùn)動愛好者”和“運(yùn)動達(dá)人”各1人的是：，共種，故所求概率為.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），則，所以．（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，且，，所以，，則．17．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以平面；（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，則，，則平面的法向量，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以.

二面角的平面角的正切值為18．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，可得，再結(jié)合余弦定理，即可求得角B；（2）求出的外接圓半徑，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可表示出，結(jié)合角A的范圍，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，化簡可得，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，B∈0,π，所以.（2）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故其外接圓半徑為，因?yàn)?，所以由正弦定理可得故，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，即的周長的取值范圍為.19．【答案】(