2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)內容標準學科素養(yǎng)1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何的角度直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系，并會敏捷運用；2.駕馭函數(shù)極值的判定及求法；3.會依據函數(shù)的極值求參數(shù).加強直觀探究嫻熟數(shù)形結合提升數(shù)學運算授課提示：對應學生用書第13頁[基礎相識]學問點一函數(shù)的極值eq\a\vs4\al(預習教材P26－29，思索并完成以下問題)在群山之中，各個山峰的頂端，雖然不肯定是群山之中的最高處，但它卻是其旁邊全部點的最高點．同樣，各個谷底雖然不肯定是群山之中的最低處，但它卻是其旁邊全部點的最低點．假設如圖是群山中各個山峰的一部分圖象，視察如圖中P點旁邊圖象從左到右的改變趨勢，P點的函數(shù)值以及點P位置各有什么特點？實例中P點，Q點的函數(shù)值與其旁邊的函數(shù)值有何關系？提示：點P旁邊的函數(shù)值都小于點P處的函數(shù)值，點Q旁邊的函數(shù)值都大于點Q處的函數(shù)值．學問梳理函數(shù)的極值(1)微小值：假如函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a旁邊其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a旁邊的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值．(2)極大值：假如函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b旁邊其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b旁邊的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極大值和微小值統(tǒng)稱為極值．學問點二函數(shù)極值的求法學問梳理一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法是：解方程f′(x)＝0.當f′(x0)＝0時：(1)假如在x0旁邊的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)假如在x0旁邊的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，那么f(x0)是微小值．思索：1.極大值是不是肯定大于微小值？提示：極大值是比它旁邊的函數(shù)值都大的函數(shù)值，微小值是比它旁邊的函數(shù)值都小的函數(shù)值，所以極大值與微小值之間無確定的大小關系．2．函數(shù)的極值與極值點之間的關系是什么？提示：函數(shù)的極值點是指函數(shù)取得極值時對應點的橫坐標，而不是點；極值是函數(shù)在極值點處取得的函數(shù)值，即函數(shù)取得極值時對應點的縱坐標．3．導數(shù)值為零的點肯定是函數(shù)的極值點，這種說法正確嗎？提示：不正確，如y＝x3，當x＝0時，y′＝3x2＝0，而函數(shù)在x＝0兩側導數(shù)符號不改變，即函數(shù)單調性不變，故x＝0不是函數(shù)的極值點．[自我檢測]1．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值，微小值分別為()A.eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)解析：f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))所以f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得當x＝eq\f(1,3)時，f(x)取極大值eq\f(4,27).當x＝1時，f(x)取微小值0.答案：A2．已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的微小值點，則a＝()A．－9 B．－2C．4 D．2解析：因為f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，所以當x＜－2或x＞2時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當－2＜x＜2時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減．所以當x＝2時，f(x)有微小值，即函數(shù)的微小值點為2，所以a＝2.答案：D3．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值等于13，則實數(shù)m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，簡單得出當x＝4時函數(shù)取得極大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－19授課提示：對應學生用書第14頁探究一求函數(shù)的極值(點)[例1]求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x).[解析](1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.令f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋0＋f(x)無極值微小值0無極值所以當x＝0時，f(x)有微小值且f(x)微小值＝0，無極大值．(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＝0，解得x＝e.當x改變時，f′(x)與f(x)的改變狀況如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)單調遞增eq\f(1,e)單調遞減因此，x＝e是函數(shù)的極大值點，極大值為f(e)＝eq\f(1,e)，沒有微小值．方法技巧函數(shù)極值和極值點的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來推斷f(x)在這個根處取極值的狀況．提示：當實數(shù)根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然．跟蹤探究1.(1)函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內微小值點的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(2)在等比數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋4x2＋9x－1的極值點，則a5＝()A．－4 B．－3C．3 D．4(3)已知x0為函數(shù)f(x)＝x3－12x的微小值點，則x0＝________.解析：(1)由f′(x)＞0時，f(x)單調遞增，f′(x)＜0時，f(x)單調遞減．可知f(x)在(a，b)內的微小值點只有一個．(2)因為f(x)＝eq\f(1,3)x3＋4x2＋9x－1，所以由f′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，因為等比數(shù)列中aeq\o\al(2,5)＝a3·a7且a5＜0，所以a5＝－3.(3)f′(x)＝3x2－12，所以x＜－2時，f′(x)＞0，－2＜x＜2時，f′(x)＜0，x＞2時，f′(x)＞0，所以x＝2是f(x)的微小值點，又x0為f(x)的微小值點，所以x0＝2.答案：(1)A(2)B(3)2探究二與參數(shù)有關的極值問題[例2]函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－1有極值點，求a的取值范圍．[解析]f′(x)＝x2－2x＋a，由題意，方程x2－2x＋a＝0有兩個不同的實數(shù)根，所以Δ＝4－4a＞0，解得a＜1.故a的取值范圍為(－∞延長探究1.若函數(shù)的極大值點是－1，求a的值．解析：f′(x)＝x2－2x＋a，由題意f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，則f′(x)＝x2－2x－3，閱歷證可知，f(x)在x＝－1處取得極大值．2．若函數(shù)f(x)有一正一負兩個極值點，求a的取值范圍．解析：由題意，方程x2－2x＋a＝0有一正一負兩個根，設為x1，x2，則x1x2＝a＜0，故a的取值范圍是(－∞，0)．方法技巧已知函數(shù)的極值狀況求參數(shù)時應留意兩點(1)待定系數(shù)法：常依據極值點處導數(shù)為0和極值兩條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：因為導數(shù)值為0不肯定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必需驗證．跟蹤探究2.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－a,ex)(a∈R，a≠0)．(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)＋1沒有零點，求實數(shù)a的取值范圍．解析：(1)當a＝－1時，f(x)＝eq\f(－x＋1,ex)，f′(x)＝eq\f(x－2,ex).由f′(x)＝0，得x＝2.當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)微小值所以函數(shù)f(x)的微小值為f(2)＝－eq\f(1,e2)，函數(shù)f(x)無極大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝eq\f(aex－ax－aex,e2x)＝eq\f(－ax－2,ex).①當a＜0時，F(xiàn)(x)，F(xiàn)′(x)的改變狀況如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)－0＋F(x)微小值若使函數(shù)F(x)沒有零點，當且僅當F(2)＝eq\f(a,e2)＋1＞0，解得a＞－e2，所以此時－e2＜a＜0；②當a＞0時，F(xiàn)(x)，F(xiàn)′(x)的改變狀況如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)＋0－F(x)極大值當x＞2時，F(xiàn)(x)＝eq\f(ax－1,ex)＋1＞1，當x＜2時，令F(x)＝eq\f(ax－1,ex)＋1＜0，即a(x－1)＋ex＜0，由于a(x－1)＋ex＜a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－eq\f(e2,a)，即x≤1－eq\f(e2,a)時，F(xiàn)(x)＜0，所以F(x)總存在零點，綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是(－e2,0)．探究三利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點問題[例3]已知函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．[解析]由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m＝eq\f(1,3)(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m.則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個不相等的實根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個不同的交點．∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，令g′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝4.當x改變時，g(x)，g′(x)的改變狀況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，4))4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)極大值微小值由函數(shù)g(x)的極大值為geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(68,27)－m，微小值為g(4)＝－16－m.由y＝f(x)的圖象與y＝eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m的圖象有三個不同交點，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝\f(68,27)－m＞0，,g4＝－16－m＜0，))解得－16＜m＜eq\f(68,27).即實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－16，\f(68,27))).方法技巧利用導數(shù)可以推斷函數(shù)的單調性，探討函數(shù)的極值狀況，并能在此基礎上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上推斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為探討方程根的個數(shù)問題供應了便利．跟蹤探究3.若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在區(qū)間[－1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．解析：令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，則g′(x)＝eq\f(2,x＋2)－2x－1＝－eq\f(2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2))),x＋2)(x＞－2)．當x改變時，g′(x)，g(x)的改變狀況如下表：x(－2,0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)極大值由表可知，函數(shù)在x＝0處取得極大值，極大值為g(0)＝2ln2＋b.結合圖象(圖略)可知，要使g(x)＝0在區(qū)間[－1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1≤0，,g0＞0，,g1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b≤0，,2ln2＋b＞0，,2ln3－2＋b≤0，))所以－2ln2＜b≤2－2ln3.故實數(shù)b的取值范圍是(－2ln2,2－ln3].授課提示：對應學生用書第15頁[課后小結](1)求函數(shù)極值的步驟①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0得方程的根；④利用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干個小開區(qū)間，列表，判定導函數(shù)在各個小開區(qū)間的符號；⑤確定函數(shù)的極值，假如f′(x)的符號在x0處由正(負)變負(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值．(2)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，留意兩點①依據極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；②因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗證充分性．(3)探討方程根的問題可以轉化為探討相應函數(shù)的圖象問題，一般地，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象