2018年廣東省各地高考數(shù)學(xué)一、二模試卷（理科）及答案（合集）

2018年廣東省佛山市順德區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合ATx|-B=<（GZ|X2<53,則AAB=（）

A.O,1>B.<-1,0,1,2>C.<-1,0,1>D.<-2,-1,0,1,2>

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z=l-i,則下列命題中正確的個數(shù)為：（）

①|(zhì)z[②3=1%；③z的虛部為-i.

A.0B.1C.2D.3

3.（5分）向量a=（l,x41）,b=（1-x,2）,a-Lb,則（a4b）（a-b）=（）

A.-15B.15C.-20D.20

4.（5分）△ABC中，tanA=Q,AC=2煦，BC=4,則AB=（）

A.2/3-B.救-仆C.Vr-h/SD.2a班

5.（5分）將一根長為6m的繩子剪為二段，則其中一段大于另一段2倍的概率

為（）

6.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值是（）

/瑜/

A.B.-1C.0D.1

2

7.（5分）《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，

上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何.芻薨：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w（網(wǎng)

格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈），那么該

芻薨的體積為（）

A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈

8.（5分）已知a=log2,b=log3,c—log-3,則a,b,c的大小關(guān)系（）

57275

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

x-y>0

9.（5分）已知P（x,y）為平面區(qū)域，x+y>0內(nèi)的任意一點(diǎn)，當(dāng)該區(qū)

.a〈x〈a+l（a>Q）

域的面積為3時，z=2x-y的最大值是（）

A.6B.3C.2D.1

10.（5分）已知三棱錐S-ABC的各頂點(diǎn)都在一個半徑為r的球面上，且

SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=&,則球的表面積為（）

A.4[3nB.3nC.8nD.12n

22

11.（5分）若圓（x-、？）2+（y-1）2=9與雙曲線3（a>0,b>0）

a2b2

經(jīng)過二、四象限的漸近線，交于A,B兩點(diǎn)且|AB|=2退，則此雙曲線的離心率為

（）

A.3應(yīng)B.好C.2D.

32

b~ab

12.（5分）對于實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算%>"：a⑧b=1,，設(shè)f（x）=（2x

b2-a2,a>b

-3）?（x-3）,且關(guān)于x的方程f（x）=k（k?R）恰有三個互不相同的實(shí)根x1、

X2、X3,則XJX2-X3取值范圍為（）

A.(0,3)B.(-1,0)C.(-8,o)D.(-3,0)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分).

13.(5分)若sin(a4p)cosa-cos(a4p)sina=—,則cos20=_______.

5

14.(5分)4名同學(xué)去參加3個不同的社團(tuán)組織，每名同學(xué)只能參加其中一個

社團(tuán)組織，且甲乙兩位同學(xué)不參加同一個社會團(tuán)體，則共有種結(jié)果.

15.(5分)已知f(x)=f(4-x),當(dāng)x<2時，f(x)=ex,f'(3)?(3)=.

16.(5分)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,

B兩點(diǎn)，分別過A,B作I的垂線，垂足為C,D,若|AF卜2|BF|,則三角形CDF

的面積為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答寫出文字說明、證明過程或演算

過程.

2

17.(12分)已知數(shù)列勺前n項(xiàng)和為Sn，a〉。且滿足an=2Sn-囪--上(n

22

EN*).

(I)求數(shù)列"Gn3的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列4^?的前n項(xiàng)和人.

3n

18.(12分)如圖，在三棱錐D-ABC中，DA=DB=DC,E為AC上的一點(diǎn)，DE,

平面ABC,F為AB的中點(diǎn).

(I)求證：平面ABD,平面DEF；

(II)若ADLDC,AC=4,NBAC=45。，求二面角A-BD-C的余弦值.

C

B

19.(12分)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價，每人用水量不超過w立方米的部分

按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)

查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖,

并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，

3方

(I)求a,b,c的值及居民用水量介于2-2.5的頻數(shù)；

(II)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)定為多

少立方米？(精確到小數(shù)掉后2位)

(III)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的用水量，將月用水量不

超過2.5立方米的人數(shù)記為X,求其分布列及其均值.

20.(12分)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于手，它的

一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=-4y的焦點(diǎn).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)若圓O：*2為2=/與橢圓c交于A,B,C,D四點(diǎn)，當(dāng)半徑r?為多少時，四

邊形ABCD的面積最大？并求出最大面積.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx-ax4t,g(x)=-2x343x2-—x4^_.

24

(I)求函數(shù)f(x)在I工，el上有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；

e

(II)求證：f(x)lfex>g(x).

I選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講I

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為(x=cos。為參數(shù)),

(y=sinCl

曲線Cl經(jīng)過坐標(biāo)變換6=2x后得到的軌跡為曲線C2.

,y=y

(I)求C2的極坐標(biāo)方程；

(H)在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，射線6=工與J的異于

6

極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.

I選修4-5：不等式選講I

23.已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x45|.

(I)求不等式f(x)W2的解集；

(II)設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M,若不等式x242x+n>M恒成立，求m的取

值范圍.

2018年廣東省佛山市順德區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A=4x|-1WXW3*B=Cez|x2<53,則AAB=（）

A.O,1>B.<-1,0,1,2>C.<-1,0,1>D.<-2,-1,0,1,2>

【解答】解：??？=4[-1WXW3*B=?GZ|x2<5M：ez|-V5<X<V5M-2,

-1,0,1,2*

.\AnB=<-1,0,1,2：,

故選：B.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z=l-i,則下列命題中正確的個數(shù)為：（）

①|(zhì)z[②麻；③z的虛部為-i.

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：：z=l-i,

，[z[=2+（_]）2=故①正確；

z=l+i,故②正確；

z的虛部為-1,故③錯誤.

???正確命題的個數(shù)為2個.

故選：C.

3.(5分)向量a=(l,x41),b=(1-x,2),a-Lb,則(Tb)(a-b)=()

A.-15B.15C.-20D.20

【解答】解：向量a=(1，x4t),b=(1-x,2),

若a_Lb,貝!Ja?b=(1-x)42(x4*L)=xd8=0,

解可得x=-3,

貝!Ja=(1,-2),b=(4,2),

(adb)=(5,0),(a-b)=(-3,-4)；

則(a^b)(a-b)=-15；

故選：A.

4.(5分)^ABC中，tanA=、&,AC=2\^,BC=4,貝UAB=()

A.2>/3-<7B.近-Me.D.2VW7

【解答】解：已知tanA=心，

由于：OVAVTI,

解得：A=2L,

3

利用余弦定理：BC2=ACMAB2-2AC?AB?cosA,

解得：AB=\(3±V7(負(fù)值舍去).

故選：C.

5.（5分）將一根長為6m的繩子剪為二段，則其中一段大于另一段2倍的概率

為（）

【解答】解：繩子的長度為6m,折成兩段后，設(shè)其中一段長度為x,則另一段

長度6-x,

記"其中一段長度大于另一段長度2倍"為事件A,

則A=C|.*4x|0<x<2或4<xW6>

,x>2(6-x)或6-x>2x

：.P(A)=2,

3

故選：B.

6.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值是（）

A.B.-1C.0D.1

2

【解答】解：本題為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，由框圖的流程知:

算法的功能是求S=cos-工嗑:OSTI4?..1cos2°177r的值,

22

?.?y=cos千x的周期為4，2017=504X441

???輸出S=504X（cos^-4t:osn4t:os-^2L4Eos2n）itos2-=0

222

故選：c

7.（5分）《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，

上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何.芻薨：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w（網(wǎng)

格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈），那么該

芻薨的體積為（）

A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈

【解答】解：三棱柱的底面是邊長為3,高為1的等腰三角形.三棱柱的高為2.

，三棱柱的體積V=l-x3X2X1=3-

兩個相同的四棱錐合拼，可得底面邊長為2和3的矩形的四棱錐，其高為1.

，體積V=1-X2X3X1=2.

該芻要的體積為：342=5.

故選：B.

8.（5分）已知a=log2,b=log3,c—log,工3,貝I]a,b,c的大小關(guān)系（）

572v5

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

【解答】解：Vc=—log,3=log3>log3,

2V5T57

=_,

b=log73>log7V7^a=log52<卷，

則a,b,c的大小關(guān)系為：a<b<c.

故選：A.

'x~y>0

9.(5分)已知P(x,y)為平面區(qū)域，x+y>0內(nèi)的任意一點(diǎn)，當(dāng)該區(qū)

a〈x〈a+l(a〉0)

域的面積為3時，z=2x-y的最大值是()

A.6B.3C.2D.1

【解答】解：由作出可行域如圖，

由圖可得A(a,a),D(a,a),B(a*,a*)，C(aHl,-a-1.)

由該區(qū)域的面積為3時，2a+2a+2.xi=3,得a=l.

2

AA(1,1),C(2,-2)

化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,

當(dāng)y=2x-z過C點(diǎn)時，z最大，等于2X2-(-2)=6.

故選：A.

10.（5分）已知三棱錐S-ABC的各頂點(diǎn)都在一個半徑為r的球面上，且

SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=&,則球的表面積為（）

A.4[3nB.3nC.8nD.12n

【解答】解：三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=&,

共頂點(diǎn)S的三條棱兩兩相互垂直，且其長均為1,

三棱錐的四個頂點(diǎn)同在一個球面上，三棱錐是正方體的一個角，擴(kuò)展為正方體,

三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，正方體的對角線就是球的直徑，

所以球的直徑為：V3,半徑為亨，

外接球的表面積為：4nX（當(dāng)"）2=3R.

故選：B.

11.（5分）若圓（x-6）2+（y-1）2=9與雙曲線二?-4=1（a>0,b>0）

a2b2

經(jīng)過二、四象限的漸近線，交于A,B兩點(diǎn)且|AB|=2戈，則此雙曲線的離心率為

（）

A.B.遮C.2D.V?

32

【解答】解：依題意可知雙曲線的經(jīng)過二、四象限的漸近線方程為bx%y=0,

|AB|=2'/6,圓的圓心為（立，1）,半徑為3,

...圓心到漸近線的距離為正《喬=%,

即悸冬倔

Va2+b2

解得b=^a,

c='/a2+b2=2^a,

o

?,.雙曲線的離心率為e=￡=攣.

a3

故選：A.

、,一fb-a,a<b

12.(5分)對于實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算%>"：a⑧b=(9,、，設(shè)f(x)=(2x

/-a',a>b

-3)?(x-3),且關(guān)于x的方程f(x)=k(k?R)恰有三個互不相同的實(shí)根x1、

X2、X3,則Xi?X2?X3取值范圍為()

A.(0,3)B.(-1,0)C.(-8,o)D.(-3,0)

b-a,a<b

【解答】解：?.?a?b=,

b2-a2.a>b

-x,x<0

.*.f(x)=(2x-3)?(x-3)=1°

-3xz+6x,>0,

其圖象如下圖所示:

e2

Xi?x2x3=--k,k￡(0,3),

3

e

.*.Xi*X2X3^(-3,0),

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分).

13.(5分)若sin(a4p)cosa-cos(a4p)sina=A,則cos2B=-.

525

【解答】解：Vsin(a4p)cosa-cos(a4p)sina=sinI(a4p)-al=sinP=A,

則cos2p=l-2sin2p=l-2?亞=-工，

2525

故答案為：-工.

25

14.(5分)4名同學(xué)去參加3個不同的社團(tuán)組織，每名同學(xué)只能參加其中一個

社團(tuán)組織，且甲乙兩位同學(xué)不參加同一個社會團(tuán)體，則共有54種結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意，先計(jì)算4名同學(xué)去參加3個不同的社團(tuán)組織的情況數(shù)

目，

4個同學(xué)中每人可以在3個不同的社團(tuán)組織任選1個，即每人有3種不同的選法,

則4人有3X3X3X3=81種情況，

再計(jì)算甲乙參加同一個社團(tuán)組織的情況數(shù)目，

若甲乙參加同一個社團(tuán)組織，甲乙兩人有3種情況，

剩下的2人每人有3種不同的選法，則剩下的2人有3X3=9種情況，

則甲乙參加同一個社團(tuán)組織的情況有3X9=27種；

則甲乙兩位同學(xué)不參加同一個社團(tuán)組織的情況有81-27=54種；

故答案為:54.

15.(5分)已知f(x)=f(4-x),當(dāng)xW2時，f(x)=ex,f'(3)4f(3)=0.

【解答】解：由f(x)=f(4-x)可得，

函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

當(dāng)xW2時，f(x)=ex,f(x)=ex,

.".f(3)=f(1)=e,

f'(3)=-f(1)=-e,

故f'(3)?(3)=0,

故答案為：0.

16.(5分)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,

B兩點(diǎn)，分別過A,B作I的垂線，垂足為C,D,若|AF卜2|BF|,則三角形CDF

的面積為二返

【解答】解：如圖，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線I為x=-l,

設(shè)I所在直線方程為y=k(x-1),設(shè)A(xi，yi),B(x2,血)

'y=k(xT)

聯(lián)立，2，得k?x2-(2k244)x4k2=0,

.,.X1X2=1,①

|AF1=2|BF|,

.,.Xi4t=2(X2*l),②

由①②解得X2=L,X1=2,或X1=-1,X2=-1(舍去)

2

?*.yi=2/2>y2=-V2,

|CD|=yi-y2=3-72>

|FG|=144=2,

ASACDF-XICDlX|FG=-X35/2X2=3V2,

22

故答案為：3兩

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答寫出文字說明、證明過程或演算

過程.

17.(12分)已知數(shù)列勺前n項(xiàng)和為Sn，a〉。且滿足an=2Sn-圍一-上(n

22

?N*).

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列4^?的前n項(xiàng)和

3n

2

【解答】解：(I)當(dāng)n=l時，a-2a,31___L,解得ai=l；

[122

2

由an=2Sn-?；春，整理得42+23^+1=4Sn，①

**an+l2+2arH-l+1=4Sn+l，②

②-①得：an+J-aj+Zami-ZanNan+i，

??(an+1^?n)(an41-3n-2)=0,

Van>0,

,?3n+l-Hn-2=0,§P3n-1-3n=2.

數(shù)列On〉是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

則an=142(n-1)=2n-1；

n+1

?*VI

18.(12分)如圖，在三棱錐D-ABC中，DA=DB=DC,E為AC上的一點(diǎn)，DE,

平面ABC,F為AB的中點(diǎn).

(I)求證：平面ABD,平面DEF；

(II)若ADLDC,AC=4,NBAC=45。，求二面角A-BD-C的余弦值.

B

【解答】證明：（I）平面ABC,AABXDE,

又為AB的中點(diǎn)，DA=DB,.\AB±DF,

DFADE=E,且DF、DEU平面DEF,

又：ABU平面ABD,

，平面ABD,平面DEF；

解：（II）平面ABC,AACXDE,

又,.?DA=DC,...E為AC中點(diǎn)，

IF是AB中點(diǎn),AEF/ZBC,

由（I）知AB±EF,.*.AB±BC,

又,；NBAC=45。，.'.△ABC為等腰直角三角形，AC=4,

，AB=BC=DA=DB=DC=2亞,

取BD中點(diǎn)G,連結(jié)AG、CG,則AGLDB,CG±DB,

?,.ZAGC為二面角A-BD-C的平面角，

ooo

在AAGC中,3/AGC”懿c『cY

??.二面角A-BD-C的余弦值為-1

3

D

B

19.(12分)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價，每人用水量不超過w立方米的部分

按4元/立方?米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)

查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖,

并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，

**?(立方

(I)求a,b,c的值及居民用水量介于2-2.5的頻數(shù)；

(H)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)定為多

少立方米？(精確到小數(shù)掉后2位)

(III)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的用水量，將月用水量不

超過2.5立方米的人數(shù)記為X,求其分布列及其均值.

【解答】解：(I).??前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，...所對應(yīng)的頻率也成等差數(shù)列，

設(shè)a=0.24d,b=0.242d,c=0.2iSd,

.*.0.5(a*).24d4O.242cH0.248d4t).24d4t).14t).Ht).l)=1,

解得d=0.1,a=0.3,b=0,4,c=0.5.

居民月用水量介于2?2.5的頻率為0.25.

居民月用水量介于2?2.5的頻數(shù)為0.25X100=25人.

(II)由圖可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7<0.8,

為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，

應(yīng)定為3=2.5也L-2.83立方米.

0.3

(III)將頻率視為概率，設(shè)A代表居民月用水量，由圖知：

P(AW2.5)=0.7,

由題意X?B(3,0.7),

p(x=o)=c：?0.33=0.027,

P(X=l)=c*?o.32.Q,7=O189;

p(x=2)=C2.0.3.0.72=0.441,

P(X=3)=C3.Q,73=0.343.

AX的分布列為：

X0123

P0.0270.1890.4410.343

VX-B(3,0.7),AE(X)=np=2.1.

20.(12分)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于與，它的

一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=-4y的焦點(diǎn).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)若圓O：x24y2=r2與橢圓c交于A,B,C,D四點(diǎn)，當(dāng)半徑r為多少時，四

邊形ABCD的面積最大？并求出最大面積.

【解答】解：(I)：橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=-4y的焦點(diǎn)，離心率等于零,

a2=4

解得：，b2=l

C2=3

2.

所以橢圓C的方程為,+y-

(II)設(shè)A(xo,yo),則矩形ABCD的面積S=4|xoyo|

22

rtaxo,2.徂2.X。

由丁+y。=i'倚y°

2

，工22=2(]^——)=-—(-2)24t,

“0丫0，0"4"4x'(J

，X02二2時，(x02pyQ2^max=1,

Smax=4X1=4，

此時r2=22=-§-.

x。+T/y02

即「=逗.

2

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx-ax*,g(x)=-2x343x2-—x4—.

24

(I)求函數(shù)f(x)在|L,el上有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(II)求證：f(x)lfex>g(x).

【解答】解：(I)由f(x)=xlnx-ax蟲=0,得：a=lnxl—,

x

問題轉(zhuǎn)化為a二Inx也在I--,el上有2個不同的解，

令h(x)=lnx4-^-,x￡也，el,貝！Jh，(x)=-^-,

令h，(x)>0,解得：x>l,令hz(x)<0,解得：0<x<l,

故h(x)在(0,1)遞減，在(1,-8)遞增，

而h(1)=1,h(―)=e-1,h(e)=l+^<e-1,

ee

故a的范圍是(1,

(II)要證f(x)-x2g(x),只要證明xlnx412g(x),

先證xlnxH12x,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xlnx41-x,

VFZ(x)=14fnx-1=1nx,

x=l時，F(xiàn)(x)=0,當(dāng)0Vx<l時，F(xiàn)(x)<0,x>l時，F(xiàn)(x)>0,

故F(x)在10,”遞減，在11,-8)遞增，

故F(x)2F(1)=0,即證xlnx41Nx,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=L

再證明x￡1上，+°)時，g(x)Wx,

2

構(gòu)造函數(shù)G(x)=x-g(x)=2(乂-1?),

14

VGZ(x)=6三0，

AG(x)在ll,—)遞增，

2

AG(x)NG(1)=0,即證明g(x)Wx,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=L,

22

故xG(0,—)時，構(gòu)造函數(shù)力(x)=f(x)4ax=xlnx*.,

2

(x)=14fnx,.，.x=工時，力'(x)=0,當(dāng)OVxV工時,力’(x)<0,

ee

當(dāng)工VxvJL時,(x)>0,

e2

即力(x)在(0,工)遞減，在(上，1)遞增，

ee2

.?.x￡(0,—)時，巾(x)2巾(―)=1-—,

2ee

、12.

7

Vg(x)=~6(x--?)41,

xG(0,—)時，-Leg，(x)<1,

22

又g(0)=-l<0,g，（L）=l>0,

22

存在X°G(0,—),使得g'（X。）=0,且g（x）在（0,x0）遞減，在（xo，工）

22

遞增,

故xG(0,1)時,g(x)Vmax4(0),g(—)泰L

222

/.g(x)<—<1-—<(j)(x),

2e

綜上，對任意x>0,f(x)-x>g(x).

I選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講I

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為H=cosa為參數(shù)），

I尸sinCl

曲線Cl經(jīng)過坐標(biāo)變換（x：=2x后得到的軌跡為曲線C2.

Iv=y

（I）求C2的極坐標(biāo)方程；

（II）在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，射線6=生與C1的異于

6

極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.

【解答】解：（I）曲線C1的參數(shù)方程為（x=cosa（a為參數(shù)），

（y=sin（l

轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：x24y2=l,

曲線Ci經(jīng)過坐標(biāo)變換卜;二2x后得到的軌跡為曲線C2.

（y=y

/2

即：、一+y'2=i，

2-

故C2的直角坐標(biāo)方程為：^y2=l.

4+

p2cs2922

轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為：°+psine=i.

（II）曲線Cl的參數(shù)方程為尸cosa（a為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為PF1,

I尸sina

由題意得到：A（1,工），

6

22

將B（P，工）代入坐標(biāo)方程：R￡°s9+p2i23=1.

64

得到p2邛，

BO：|AB|=|p,-p

I選修4-5：不等式選講I

23.已知函數(shù)f（x）=|x-取先|.

(I)求不等式f(x)W2的解集；

(II)設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M,若不等式x2-tex+n^M恒成立，求m的取

值范圍.

【解答】解：(I)x23時，f(x)=-8,此時f(x)W2恒成立，

-5Vx<3時，f(x)=-2x-2,

由f(x)W2,解得：-2Wx<3,

xW-5時，f(x)=8,此時f(x)W2,無解，

綜上，f(x)W2的解集是。取三-2士

-8,x>3

(II)由(I)得f(x)=<-2x-2,-5<x<3,

8,x<-5

易知函數(shù)的最大值是8,

若x242x+n^8恒成立，

得mN-X?-2x48恒成立，

即mN-(x41)249,

故m29.

2018年廣東省廣州市花都區(qū)圓玄中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)

(1)

一、選擇題：(本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.(5分)已知集合A=?;|y=lg(X244X-12)3,B=?|-3<x<4>貝ijAAB等于

()

A.(-3,-2)B.(-3,2)C.(2,4)D.(-2,4)

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足z4ri=342i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.(5分)如果等差數(shù)列果口中,33*4*5=12,那么ai%2*.%7=()

A.14B.21C.28D.35

4.（5分）有四個游戲盒，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠

落在陰影部分，則可中獎，則中獎機(jī)會大的游戲盤是（）

5.（5分）已知拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p,則直

線MF的斜率為（）

A.+返B.+—C.±1D.±73

-3-4

6.（5分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，是“算經(jīng)十書”中最重要

的一種，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)字，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成

了完整的體系.其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，計(jì)算術(shù)日：以弦乘矢，矢

又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積=!（弦X

2

矢一矢X矢），弧田是由圓弧（簡稱為弧田?。┖鸵詧A弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段（簡

稱為弧田?。﹪傻钠矫鎴D形，公式中"弦”指的是弧田弦的長，"矢"等于弧田弧

所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長AB等于6米,

其弧所在圓為圓0,若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為工平方米,

2

則cosZAOB=（）

A.J-B.3C.工D.工

2525525

7.（5分）函數(shù)g（x）的圖象是函數(shù)f（x）=sin2x-J5cos2x的圖象向右平移2L

12

個單位而得到的，則函數(shù)g（x）的圖象的對稱軸可以為（）

A.直線x=2LB.直線x=2Lc.直線x=2LD.直線x=2L

4326

8.（5分）已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f（x）=（2x-1）Inx,則曲線

y=f（x）在點(diǎn)（-1,f（-1））處的切線斜率為（）

A.-2B.-1C.1D.2

9.（5分）已知W,E是單位向量，a-b=0,若向量《滿足|WV-Z|=1,則的

取值范圍為（）

A.[V2-l?V2+1]B.W5-1，V2+2]c.[1，V2+I]D.[1>V2+2]

3x-[]

10.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）='、則滿足f（f（a））=2,⑶的a的取值

2X,x>l

范圍是（）

A.3B.-|<a<lC.OWaVID.a^l

二、多選題：（本大題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，至少有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把所有的項(xiàng)找出來，并填寫在括號

內(nèi).填少或填多均不得分.）

1L（5分）下列命題中真命題的個數(shù)是（）

①函數(shù)y=sinx,其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；

②"若x=y,則x2=y2〃的逆否命題為真命題；

③"x'2"是儀-x-2>0”成立的充要條件；

④命題p：VxoGR，xc）2-xo蟲<0",則命題p的否定為："kx?R,x2-x41^Ow.

A.0B.1C.2D.3

12.（5分）在正方體ABCD-AiBiGDi中（如圖），已知點(diǎn)P在直線BJ上運(yùn)動，

則下列四個命題：

①三棱錐A-DiBC的體積不變；

②直線AP與平面AC方所成的角的大小不變；

③二面角P-ADi-C的大小不變；

④M是平面AiBiCiDi內(nèi)到點(diǎn)D和G距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是直線

其中正確命題的編號是（）

三.填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

yC2-x

13.（5分）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,x-y<2，則z=x-2y的最小值為.

,2x~y+2>0

14.（5分）已知向量a,b滿足|a[=[b]=2,且a?（b-a）=-6,則a與b的夾

角為?

15.（5分）在區(qū)間10,11上隨機(jī)地取兩個數(shù)x、y,則事件"yWx5”發(fā)生的概率

為.

16.（5分）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,過焦點(diǎn)的直線分別交

拋物線于A,B兩點(diǎn)，分別過A,B作I的垂線，垂足C,D.若|AF|=2|BF|,且

三角形CDF的面積為則p的值為.

四、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).

17.（12分）已知等差數(shù)列Qn3的公差dwo,它的前n項(xiàng)和為Sn，若Ss=70,且

a2,a7,a22成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為「，求證：Tn<|..

18.（12分）如圖，三棱臺ABC-A1B1C1中,側(cè)面AiBiBA與側(cè)面AiJCA是全等

的梯形，若AiALAB,AiAXAiQ,且AB=2A1Bi=4AiA.

（I）若而=2DA；，AE=2EB,證明：DE〃平面BCCiB1；

（II）若二面角Ci-AAi-B為工,求平面AiBiBA與平面JBiBC所成的銳二面

3

角的余弦值.

19.(12分)某科技公司生產(chǎn)一種手機(jī)加密芯片，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指

標(biāo)大于或等于70為合格品，小于70為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這種芯片共120件進(jìn)行

檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

測試指標(biāo)150,60)160,70)170,80)180,90)190,1001

芯片數(shù)量(件)82245378

已知生產(chǎn)一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品則虧損50元.

(I)試估計(jì)生產(chǎn)一件芯片為合格品的概率；并求生產(chǎn)3件芯片所獲得的利潤不

少于700元的概率.

(II)記￡為生產(chǎn)4件芯片所得的總利潤，求隨機(jī)變量￡的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22

20.(12分)已知m>l,直線I：x-my--^-=0^橢圓C：^4y2=l,%、F2分

別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

(I)當(dāng)直線I過右焦點(diǎn)F2時，求直線I的方程；

(II)設(shè)直線I與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，△AFR,ABFXFZ的重心分別為G、H.若

原點(diǎn)。在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2(x-2)ex-ax242ax4S-b

(I)若代乂)在x=0處的法線(經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線)的方程為x42y#=0,

求實(shí)數(shù)a,b的值；

(II)若x=l是f(x)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

22.(10分)已知直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的

正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為P=4cos6.

(I)求直線I與圓C的普通方程；

(H)若直線I分圓C所得的弧長之比為3：1,求實(shí)數(shù)a的值.

2018年廣東省廣州市花都區(qū)圓玄中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷

(理科)(1)

參考答案與試題解析

一、選擇題：(本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.(5分)已知集合A=4|y=lg(X2H4X-12)3,B=<|-3<x<4>則APB等于

()

A.(-3,-2)B.(-3,2)C.(2,4)D.(-2,4)

【解答】解：集合A=1|y=lg(x2+lx-12)>

=?|x2+lx-12>0>

=<:|x<-6或x>2>

B=<x|-3<x<4*

則AnB=4[2<x<43t(2,4).

故選：C.

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足z4?i=3H2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：由z*i=342i,

得3+2i_(3+2i)(l-i)_5-i_51.

'z=i+i(l+i)(l-i)二2三亍'

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：(旦，JL),位于第四象限.

22

故選：D.

3.（5分）如果等差數(shù)列果中,a3-fe4-fe5=12,那么aiM丸為7=（）

A.14B.21C.28D.35

【解答】解：a3為4弧二3a4=12,a4=4,

7（+a，

/.aiM,..?7=---------------=7a=28

24

故選c

4.（5分）有四個游戲盒，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠

落在陰影部分，則可中獎，則中獎機(jī)會大的游戲盤是（）

【解答】解：在A中，中獎概率為工,

3

在B中，中獎概率為23，

84

在c中，中獎概率為

63

在D中，中獎概率為3.

8

中獎機(jī)會大的游戲盤是D.

故選：D.

5.（5分）已知拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p,則直

線MF的斜率為（）

A.+區(qū)B.+WC.±1D.±\[3

~3-4

【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為F（E,0）,準(zhǔn)線方程為x=-R.

22

：點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p,M到準(zhǔn)線x=-E的距離等于2P.

2

?*?XM=—代入拋物線方程解得yM=±7^p.

2P

yv.—

k|VIF=士

?上

XM2

故選：D.

6.（5分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，是“算經(jīng)十書"中最重要

的一種，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)字，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成

了完整的體系.其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，計(jì)算術(shù)曰：以弦乘矢，矢

又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積=!（弦X

2

矢一矢X矢），弧田是由圓?。ê喎Q為弧田?。┖鸵詧A弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段（簡

稱為弧田弧）圍成的平面圖形，公式中"弦”指的是弧田弦的長，"矢〃等于弧田弧

所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長AB等于6米,

其弧所在圓為圓0,若用上述弧田面