《弧制度》教學(xué)設(shè)計(jì)

2/2《弧制度》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知情境1：放映一張2019年最熱門(mén)的黑洞照片，引起學(xué)生的興趣，由教師簡(jiǎn)要介紹該黑洞資料，重點(diǎn)敘述該黑洞距離太陽(yáng)系的距離約為5500萬(wàn)光年，然后提問(wèn)：能否用米表示這個(gè)距離？由教師投影展示結(jié)果：5500萬(wàn)光年=米=米.然后總結(jié)：光年和米都是長(zhǎng)度單位，但表示天體間距離的時(shí)候，用光年更方便生活中我們?cè)诒硎静煌牧康臅r(shí)候常常使用不同的單位.設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)同一個(gè)量的不同的單位制之間可以相互換算，明確度量的本質(zhì)，為引入弧度制作好鋪墊.情境2：教師拿出三角板，問(wèn)：這個(gè)角的大小是多少？使用了哪種單位制？角度制是如何定義的？學(xué)生依次回答問(wèn)題，由師生共同回憶角度制的概念，并復(fù)習(xí).師生總結(jié)：在涉及分秒計(jì)算的時(shí)候，由于是六十進(jìn)制，與我們熟悉的十進(jìn)制不同，帶來(lái)很多不便，比如的運(yùn)算結(jié)果是，在銳角為30°的直角三角形中，可得，該等式左側(cè)角度為六十進(jìn)制，右側(cè)實(shí)數(shù)為十進(jìn)制，類(lèi)似等式還有很多.設(shè)計(jì)意圖：第一，讓學(xué)生回顧角度制的定義，第二，讓學(xué)生體會(huì)角度制在實(shí)際應(yīng)用中的不便之處，感受引入弧度制的必要性.情境3：六十進(jìn)制在生產(chǎn)生活中有諸多不便，我們常用的數(shù)是十進(jìn)制的，能不能統(tǒng)一進(jìn)制呢？如何建立一種新的單位制（十進(jìn)制）來(lái)度量角的大小呢？設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生思考，如何建立十進(jìn)制的角度度量單位.二、小組合作，探究新知問(wèn)題1：因?yàn)榻嵌戎剖窃趫A中定義的，所以讓學(xué)生以小組為單位，在學(xué)案上，在教師準(zhǔn)備的幾組圓中，研究提出的問(wèn)題：（1）在半徑相等的圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)相等嗎？（2）在半徑不等的圓中，相等的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角相等嗎？（3）在半徑不等的圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)相等嗎？（4）在半徑不等的圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和半徑的比值相等嗎？（填寫(xiě)下表）讓學(xué)生以小組為單位，自己畫(huà)圖，通過(guò)測(cè)量計(jì)算填表研究這四個(gè)問(wèn)題，學(xué)生很容易得到答案.從而引發(fā)學(xué)生思考，半徑不同，同一個(gè)圓心角的弧長(zhǎng)也不同，但是同一圓心角不論在半徑是幾的圓中，其弧長(zhǎng)和半徑的比值相同.從而讓學(xué)生感受弧長(zhǎng)和半徑的比值可以體現(xiàn)角的大小.設(shè)計(jì)意圖：蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在人的心頭深處有一種根深蒂固的需要，這就是希望自已是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”通過(guò)分組討論、合作探究，讓學(xué)生作為主體進(jìn)行數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)與思辨能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性與主動(dòng)性.在學(xué)生探究的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)度量圓心角的量，體現(xiàn)弧度概念的合理性.問(wèn)題2：在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步提問(wèn)，當(dāng)圓心角為時(shí)呢？能不能由初中學(xué)習(xí)的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)出你猜想的結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：猜想論證是數(shù)學(xué)研究的重要方法，在鼓勵(lì)學(xué)生小心試驗(yàn)、大膽猜想的基礎(chǔ)上，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)嚴(yán)格的推導(dǎo)與論證.由初中學(xué)習(xí)的弧長(zhǎng)公式，學(xué)生很容易得到，l可看作關(guān)于r的正比例函數(shù)，進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到，其中是一個(gè)常數(shù)，所以角度數(shù)n只與的值有關(guān)，是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且一是一個(gè)實(shí)數(shù)接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)媒⒒《戎?問(wèn)題3：是一個(gè)實(shí)數(shù)，就可以用我們熟悉的十進(jìn)制來(lái)表示以及進(jìn)行運(yùn)算，這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的弧度制，即用扇形中弧長(zhǎng)與半徑的比值來(lái)表示角的大小我們學(xué)過(guò)角的度量，規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制是角度制.仿照這種角度制的建立，要建立弧度制首先要建立什么呢？1弧度應(yīng)如何定義呢？設(shè)計(jì)意圖：感受通過(guò)弧長(zhǎng)與半徑的比值度量角的方便性和實(shí)際意義，明確建立一個(gè)測(cè)量制度的前提——一個(gè)單位的確立，讓學(xué)生掌握通性通法.學(xué)生很容易得到等于1的時(shí)候，也就是弧長(zhǎng)與半徑相等的扇形的圓心角的大小為1弧度，即得到1弧度的定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，記作1，讀作1弧度（如圖）.由前面的探究可知，角的弧度數(shù)由角的大小唯一確定，而與其為圓心角所在圓的大?。ò霃剑o(wú)關(guān)這種用弧度作為角的單位來(lái)度量角的單位制稱(chēng)為弧度制.進(jìn)一步鞏固弧度制的概念，給出下列問(wèn)題.思考1：若圓半徑為r，圓心角（正角）所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為2r，那么的弧度數(shù)是多少？變式：若圓半徑為r，圓心角（負(fù)角）所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為2r，那么的弧度數(shù)是多少？思考2：設(shè)長(zhǎng)度為r的線段OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)形成角（為任意角，單位為弧度），若將此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)A形成的弧長(zhǎng)設(shè)為，則之間具有怎樣的關(guān)系？（請(qǐng)用等式回答）變式：若已知圓心角的弧度數(shù)與半徑r，求所對(duì)的圓弧長(zhǎng)1.特別地，若取呢？思考3：若弧是一個(gè)整圓，則其圓心角（正角）的弧度數(shù)是多少？若弧是一個(gè)半圓呢？學(xué)生口答，（思考.變式：.思考2：.變式：.思考）教師總結(jié)，上節(jié)課我們把角的概念推廣到任意角，知道角分正角、負(fù)角和零角，為了區(qū)分，我們規(guī)定：正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.并且，用弧度表示角的大小時(shí)，只要不引起誤解，可以省略單位，例如2可寫(xiě)成2.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)題組練習(xí)讓學(xué)生快速熟悉的關(guān)系式，注意區(qū)分正角與負(fù)角在任意角的背景下對(duì)加以修正，體現(xiàn)弧度概念的科學(xué)性.自主推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式，感受公式的簡(jiǎn)潔美.問(wèn)題4：若圓的半徑為r，圓心角（正角）所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為2r，那么的弧度數(shù)是多少？（學(xué)生回答）若圓的半徑為r，圓心角（正角）為（弧度數(shù)），其所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為，即為周角，則的弧度數(shù)是多少？如何進(jìn)行角度與弧度的換算？（可以借助上表）設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，由整圓和半圓所對(duì)的圓心角引導(dǎo)學(xué)生得到角度與弧度的換算關(guān)系.以下由學(xué)生自主給出：，則，..應(yīng)用：例1把下列各角從弧度化為度：（1）；（2）.解（1）.（2）.例2把下列各角從度化為弧度：（1）；（2）.解（1）.（2）.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例3寫(xiě)出下列特殊角對(duì)應(yīng)的角度和弧度：說(shuō)明：當(dāng)弧度數(shù)用表示時(shí)，如無(wú)特別要求，不必把寫(xiě)成小數(shù).學(xué)生口答，教師板演舉例..特殊角的換算可以充分利用倍數(shù)關(guān)系.非特殊角的換算留給同學(xué)們課后思考.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生正確地進(jìn)行角度與弧度的換算，直觀感受并熟記特殊角的弧度數(shù).觀察發(fā)現(xiàn)特殊角之間的倍數(shù)關(guān)系，體現(xiàn)從未知向已知轉(zhuǎn)化的策略.教師總結(jié)，角的概念推廣之后，在弧度制下，角的集合與弧度數(shù)的集合之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯的一個(gè)實(shí)數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角從而體現(xiàn)了形與數(shù)的對(duì)應(yīng)，弧度制為后續(xù)三角函數(shù)的研究作好了鋪墊.設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)對(duì)例題進(jìn)行小結(jié)，通過(guò)例3讓學(xué)生感知弧度制下角與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，了解弧度制在數(shù)學(xué)知識(shí)體系發(fā)展中的作用.在此例題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出問(wèn)題：我們還常關(guān)注一個(gè)量—扇形面積.你還記得角度制下的扇形面積公式嗎？該公式是如何得到的？那如果在弧度制下，已知圓心角和半徑r，如何求扇形面積？學(xué)生通過(guò)推導(dǎo)，很容易得到在弧度制下的扇形面積公式：（扇形面積公式）.利用弧長(zhǎng)公式，也可以化成，前者只適用于弧度制，后者不含角，各種情況都適用.我們來(lái)現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，看例4.例4已知扇形的周長(zhǎng)為8厘米，圓心角為2求扇形面積.解設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，有解得故扇形的面積為.師：注意解題規(guī)范性，先設(shè)變量再列方程，靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主推導(dǎo)弧度制下的扇形面積公式，通過(guò)例4的求解感受弧度制下公式的簡(jiǎn)潔美，規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程.四、小結(jié)反思師：學(xué)而不思則罔，最后請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，本節(jié)課你學(xué)到了哪些新知識(shí)？弧度制有什么優(yōu)點(diǎn)？學(xué)生自主總結(jié)，教師給予肯定和補(bǔ)充.弧度制下用實(shí)數(shù)表示角，建立了角與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系弧度制與實(shí)數(shù)運(yùn)算的進(jìn)制一致，簡(jiǎn)化了弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.弧度制既統(tǒng)一了進(jìn)制，又簡(jiǎn)化了公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美與簡(jiǎn)潔美.弧度制的本質(zhì)是用長(zhǎng)度度量角的大小，從而大大簡(jiǎn)化了有關(guān)公式及運(yùn)算，為數(shù)學(xué)的發(fā)展和研究提供了方便.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生總結(jié)內(nèi)容、回顧過(guò)程、提煉方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)后及時(shí)反思的良好習(xí)慣.在自我總結(jié)中體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信與興趣，感受、提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).五、布置作業(yè)，課后完成1.（必做）教材第164~165頁(yè)練習(xí)第1~8題，第165頁(yè)習(xí)題7.1第8~10題.2.（選做）查閱弧度制的歷史及有關(guān)歐拉的資料，進(jìn)一步明確弧度制的優(yōu)點(diǎn)，了解歐拉在數(shù)學(xué)史上的貢獻(xiàn).設(shè)計(jì)意圖：必做題旨在對(duì)所學(xué)知識(shí)和技能及時(shí)鞏固初步應(yīng)用，讓學(xué)生熟悉用弧度制表示角的集合，選做題旨在讓學(xué)生了解相關(guān)的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.歐拉的事跡有助于陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.板書(shū)設(shè)計(jì)7.1.2弧度制1.角度制的定義周角的為1度的角.這種用度作為單位來(lái)度量3