第27練等差數(shù)列-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練（新高考地區(qū)）

第27練等差數(shù)列一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P24習(xí)題4.2T1變式）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由已知可得，，解可得，，故選C.2.（人A選擇性必修二P24習(xí)題4.2T2變式）已知等差數(shù)列滿足，，則的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，，，，解得：，，解得：，的前項(xiàng)的和為.故選C.3.（人A選擇性必修二P24習(xí)題4.2T8變式）“物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三、三數(shù)之，剩二；五、五數(shù)之，剩三；七、七數(shù)之，剩二．問物幾何？”即著名的“孫子問題”，最早由《孫子算經(jīng)》提出，研究的是整除與同余的問題．現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將1到2022這2022個(gè)數(shù)中，被3除余2且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的中位數(shù)為____________．【答案】1007【解析】由題意可知，既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，即，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列共有135項(xiàng)，因此中位數(shù)為第68項(xiàng)，.4.（人A選擇性必修二P24習(xí)題4.2T7變式）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求正整數(shù)m．【解析】(1)因?yàn)?，所以，即，則．又，，滿足，所以是公差為4的等差數(shù)列．(2)由（1）得，，則．又，所以，化簡得，解得m＝7或（舍）．所以m的值為7．二、考點(diǎn)分類練(一)等差數(shù)列基本量的計(jì)算5.（2022屆黑龍江省哈爾濱市三中高三模擬）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A．110 B．115 C．110 D．115【答案】B【解析】由題意知，，得，解得，所以.故選B6.（多選）（2022屆重慶市高三下學(xué)期3月考試）朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤壩的每人每天發(fā)放大米3升.”則下列結(jié)論正確的有（

）A．將這1864人派譴完需要16天B．第十天派往筑堤的人數(shù)為134C．官府前6天共發(fā)放1467升大米D．官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米【答案】ACD【解析】記數(shù)列為第n天派遣的人數(shù)，數(shù)列為第n天獲得的大米升數(shù)，則是以64為首項(xiàng)，7為公差的等差數(shù)列，即，是以192為首項(xiàng)，21為公差的等差數(shù)列，即，所以，B不正確.設(shè)第k天派遣完這1864人，則，解得（負(fù)值舍去），A正確；官府前6天共發(fā)放升大米，C正確，官府前6天比后6天少發(fā)放升大米，D正確.故選ACD7.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．【答案】2【解析】由可得，化簡得，即，解得.(二)等差數(shù)列的證明8．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】(1)因?yàn)椋储?，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．(2)解：由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．9.（2022屆四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)高考適應(yīng)性考試）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足，記.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【解析】(1)，，即故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，.(2)知，，故.(三)等差數(shù)列前n和的最值10.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，.則當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】設(shè)公差為d，由于，即，即，即，由于，所以，從而可得，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為6，故選B11.（2022屆遼寧省渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高三考前測試）若函數(shù)，其中n是正整數(shù)，則的最小值是______．【答案】100【解析】易知，要使取得最小值，正整數(shù)n必然在區(qū)間上，則∵，∴或時(shí)有最小值100．(四)等差數(shù)列的性質(zhì)12.（2022屆吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三練習(xí)）數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)的和為，若，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，則，故數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選C.13.（2023屆廣西柳州市新高三摸底）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則___．【答案】33【解析】等差數(shù)列中，，由得，則公差，首項(xiàng)，所以.三、最新模擬練14.（2022屆湖北省武漢市高三下學(xué)期五月模擬）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A． B．1 C．1 D．【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選C.15.（2022屆江蘇省淮安市高三下學(xué)期5月模擬）已知等差數(shù)列}的前n項(xiàng)和為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，則，因?yàn)椋傻?，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，可得.即的取值范圍是.故選C.16.（2022屆新昌中學(xué)高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，若對任意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，則得，即，令得，即①，即得.因?yàn)槭醉?xiàng)，公差，則得，即.又因?yàn)椋?，代入①?當(dāng)時(shí)，由得即，所以，即因此當(dāng)或11時(shí)，的最小值為.故選C17.（多選）（2022屆河北省辛集市高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A． B．C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值 D．【答案】AB【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，得解得，，所以，，則，，A，B正確；令，得，且，則或時(shí)，取最小值，C不正確；因?yàn)?，所以，D不正確．故選AB18.（多選）（2022屆湖北省華中師大一附中高三考前測試）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則對于A，由數(shù)列是等差數(shù)列及，所以可取，所以不成立，故A正確；對于B，由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以恒成立，故B不正確；對于C,由數(shù)列是等差數(shù)列，可取，所以不成立，故C正確；對于D，由數(shù)列是等差數(shù)列，得，無論為何值，均有所以若，則恒不成立，故D正確.故選ACD.19.（2022屆四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三下學(xué)期仿真）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.【答案】330【解析】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，20.（2022屆湖北省武漢市第二中學(xué)高三下學(xué)期5月全仿真模擬）已知數(shù)列滿足，且，，.(1)求實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(2)在（1）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍【解析】(1)若存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,則必是與無關(guān)的常數(shù)又所以,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意所以(2)由（1）知數(shù)列是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為2,公差為1,則所以所以又遞增所以所以21.（2023屆廣東省惠州市高三上學(xué)期第一次調(diào)研）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，現(xiàn)有如下三個(gè)條件分別為：條件①；條件②；條件③；請從上述三個(gè)條件中選擇能夠確定一個(gè)數(shù)列的兩個(gè)條件，并完成解答.您選擇的條件是___________和___________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)選①②時(shí)：解法1：由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，得，故，即解法2：由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，則，即選②③時(shí)：由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，即得，故，即選①③這兩個(gè)條件無法確定數(shù)列.(2)所以四、高考真題練22.(2020高考全國卷甲)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石) () ()A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以．故選C23.(2019高考全國卷乙)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，，則 ()A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，故選A．24.(2019高考全國卷丙)記為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________．【答案】4．【解析】因，所以，即，所以．25.（2020新高考全國卷1）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【解析】（1）∵,∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列,∴,∴,∴,∴,整理得,所以,即,所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,所以,∴的通項(xiàng)公式.（2）∴.26.（2022高考全國卷甲）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列,求的最小值．【解析】（1）因?yàn)?即①,當(dāng)時(shí),②,①②得,,即,即,所以,且,所以是公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得,,,又,,成等比數(shù)列,所以,即,解得,所以,所以,所以,當(dāng)或時(shí)取得最小值．五、綜合提升練27.（2022屆重慶市第一中學(xué)校高三下學(xué)期5月月考）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下2021個(gè)方程中，無實(shí)數(shù)解的方程最多有（

）A．1008個(gè) B．1009個(gè) C．1010個(gè) D．1011個(gè)【答案】C【解析】由題意得：，其中，，代入上式得：，要想方程無實(shí)數(shù)解，則，顯然第1011個(gè)方程有解，設(shè)方程與方程的判別式分別為和，則，等號成立的條件是a1=a2021.所以和至多一個(gè)成立，同理可證：和至多一個(gè)成立，……，和至多一個(gè)成立，且，綜上，在所給的2021個(gè)方程中，無實(shí)數(shù)根的方程最多1010個(gè)，故選C28.（多選）（2022屆福建省南平市高三質(zhì)量檢測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由題，第一圈從點(diǎn)到點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)，由對稱性可知；第二圈從點(diǎn)到點(diǎn)共16個(gè)點(diǎn)，由對稱性可知，即，以此類推，可得第圈的個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，即，設(shè)在第圈，則，由此可知前圈共有個(gè)數(shù)，故，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故A正確；，故B正確；所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故C錯誤；，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，所以，故D正確.故選ABD29.（2022屆浙江省寧波市北侖中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，()，(，).且?均為等差數(shù)列，則_________.【答案】【解析】又，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，①，又分別構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)①式可得②，③，④，由②+③，得，又是等差數(shù)列，所以必為常數(shù)，所以，或，由①得，即，，，又，，即或(舍