復(fù)習(xí)案12導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用極值

復(fù)習(xí)案12導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用極值【知識回顧】1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0.則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0.則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.【重點(diǎn)題型剖析】題型一函數(shù)極值與極值點(diǎn)的辨析一、單選題1．（2021·陜西·禮泉縣第一中學(xué)高三期中（文））已知fx=13xA．0,1 B．?C．0,2 D．?【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可知，f′x≥0【詳解】因為fx=1因為fx沒有極值，所以f′x又因為f′所以f′x≥0所以2a?12?4≤0，整理得a所以a∈0,2故選：C.2．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx?1=x+x?1A．fx=x+x B．C．fx有極大值 D．fx【答案】B【分析】利用換元法可判斷A選項，利用分母大于等于0即可判斷B選項，利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷CD選項【詳解】對于A，令t=x?1，即x=t+1，所以fx?1=x+x?1可整理得f對于B，要使fx=x+x+1有意義，只需x≥0，故對于C，因為y=x和y=x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以fx=x+x+1對于D，由C可得fxmin=f0=1故選：B3．（2022·山東聊城一中高三階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=12x?1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′【詳解】由題意知f′令gx=e令g′x=0，得x=0，則函數(shù)gx在區(qū)間所以gx≥g0=0，由此可知f′故選：A.4．（2022·黑龍江·綏棱縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=3cosωx?π5(ω>0)在區(qū)間0,A．115,2710 B．115,【答案】B【分析】先計算出ωx?π5∈?π【詳解】因為ω>0，當(dāng)x∈0,π時，又fx區(qū)間0,π上恰有3個極值點(diǎn)，2個零點(diǎn)，所以解得115<ω<2710，即故選：B.5．（2022·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）若函數(shù)fx=sinωx+πA．74≤ω≤9C．74≤ω<9【答案】B【分析】利用整體代入法可得ωx+π4∈【詳解】解：設(shè)θ=ωx+π對于y=sinθ的圖象要滿足題意則需解得74故選：B.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=mex?xA．?∞,0 B．0,1e2 【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為gx與?x的圖象在0,+∞上只有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)左右f′x=gx【詳解】由題可得，函數(shù)fx的定義域為0,+∞，若函數(shù)fx有且僅有一個極值點(diǎn)，則f′x令gx=mex，?x=lnx+1，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)①當(dāng)m=0時，f′令f′x>0，得0<x<1e所以fx在0,1e所以x=1e是②當(dāng)m>0時，若函數(shù)gx，?x的圖象在0,+∞上只有一個交點(diǎn)，則函數(shù)g作出函數(shù)gx和?x的大致圖象，如圖1所示，數(shù)形結(jié)合可得交點(diǎn)左右③當(dāng)m<0時，無論m為何值，函數(shù)gx與?x的圖象在作出函數(shù)gx和?x的大致圖象，如圖2所示，數(shù)形結(jié)合可得交點(diǎn)左右綜上，m的取值范圍為?∞故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、多選題7．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）設(shè)函數(shù)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′xA．fx有極大值 B．4f2<3f4 C．【答案】BD【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，由f1e=【詳解】依題意可知x>0，f′fxx′=lnxx所以fx=1所以fxf=1所以fx在0,+f1f′f24f2故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)于函數(shù)fx和導(dǎo)函數(shù)f三、填空題8．（2022·北京鐵路二中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx的定義域為R，x0x①?x∈R，fx≤fx0；

②③?x0是?fx的極小值點(diǎn)；

④?【答案】②④【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義、極值的性質(zhì)和圖象變換逐個判斷即可.【詳解】對于①：x0是f對于②：因為y=f?x與y=fx的圖象關(guān)于且x0x0所以?x0應(yīng)是對于③：因為y=?fx與y=fx的圖象關(guān)于且x0x0所以x0應(yīng)是?f且無法判定?x0是對于④：因為y=?f?x與y=fx的圖象關(guān)于且x0x0所以?x0應(yīng)是故答案為：②④.9．（2021·寧夏·海原縣第一中學(xué)高二期中（文））若函數(shù)f(x)=2x3?3【答案】6【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值即可.【詳解】f(x)=2x3?3令f′(x)=0，解得x=0或x=1，當(dāng)x<0或x>1時，f′(x)>0，當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，∴f(x)在(?∞,0)和(1,+∞∴當(dāng)x=1時，f(x)取得極小值，極小值為f(1)=2?3+c=5，解得c=6.故答案為：6.10．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=sinωx?3cosωx(ω>0)在0,2π上恰有3個零點(diǎn).給出下列4個結(jié)論：①76≤ω≤53，②fx在【答案】②④【分析】對于①：根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)列不等式求ω的范圍；對于②：求出ωx?π3范圍，再根據(jù)函數(shù)對于③：求出極值點(diǎn)，再根據(jù)k的取值逐一驗證；對于④：求出零點(diǎn)，再根據(jù)k的取值逐一驗證.【詳解】對于①：f(x)=∵x∈0,2π，則因為函數(shù)f(x)=sinωx?3∴2π≤2π對于②：當(dāng)5π7≤x≤11π10時，加上函數(shù)y=sinx在π2,3對于③：令ωx?π3=當(dāng)k=?1時，x=?π當(dāng)k=0時，x=當(dāng)k=1時，x=11π當(dāng)k=2，x=17π故fx在π對于④：∵x∈π2,2π∵7∴π當(dāng)ω=76時，函數(shù)gx當(dāng)76<ω<3124時，函數(shù)當(dāng)3124≤ω<3724時，函數(shù)當(dāng)3724≤ω<53時，函數(shù)故函數(shù)gx=fx故答案為：②④11．（2022·廣西貴港·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sin①fx在區(qū)間0,π②fx的最小正周期可能是2π③ω的取值范圍是94④fx在區(qū)間0,【答案】②④【分析】由函數(shù)fx在區(qū)間0,π上有且僅有3個極值點(diǎn),π4≤ωx+π4≤ωπ+π4，即【詳解】由題意可知π4≤ωx+π4≤ωπ+只需5π2<ωπ+π又ω=3∈94,134當(dāng)5π2<ωπ+π4≤3π，即9由x∈0,π15由94<ω≤13故sint在π4,ωπ15故答案為:②④.四、解答題12．（2022·江蘇·鹽城經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知a>0，函數(shù)fx(1)證明fx(2)若存在a，使得fx≤a+b對任意x∈0,+【答案】(1)證明見解析(2)b≥?【分析】（1）求導(dǎo)f′x=?lnx+（2）題目轉(zhuǎn)化為fx?amax【詳解】（1）函數(shù)fx=a?x令gx=?又a>0，∴g′x<0，當(dāng)x=e?1時，f′x=故存在x0∈當(dāng)x∈0,x0，f′x當(dāng)x∈x0,+∞，f′所以fx（2）由題知，存在a>0，使得fx≤a+b對任意即存在a>0，使得b≥fx?a由（1）知，f(x)max=fx0f即存在a>0，使得b≥x構(gòu)造u(x)=xln2x?x?xlnx,即存在a>0，b≥u(x)min對任意求導(dǎo)u令u′(x)=0，求得lnx1=?2，ln當(dāng)x∈0,e?2，u′x當(dāng)x∈e?2,e，u′當(dāng)x∈e,+∞，u′x>0所以u(x)由x∈0,e?2因為x∈0,e?2，所以lnx<?2，即lnx?所以b的取值范圍是b≥?e【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)y=fx,x∈（1）若?x1∈a,b，?x（2）若?x1∈a,b，?x（3）若?x1∈a,b，?x（4）若?x1∈a,b，?x2∈題型二求已知函數(shù)的極值或極值點(diǎn)一、單選題1．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=exsinA．2021 B．2022 C．1011 D．1012【答案】C【分析】對fx求導(dǎo)，令f′x=0，求得x=π2+kπ，再利用余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，求得【詳解】因為fx=e所以f′令f′x=0，得x=當(dāng)π2+2kπ<x<π2+當(dāng)π2+2k+1π<x<π2所以fx在π2+2kπ,π2故fx在x=π2因為0≤x≤2022π，所以0≤π2又k∈Z，所以k有0,1,?1010共1011所以fx的極小值點(diǎn)的個數(shù)為1011故選：C二、多選題2．（2022·山東省青島第一中學(xué)高三期中）函數(shù)fx=x2ex在區(qū)間A．?3 B．?2 C．?1 D．0【答案】AC【分析】由于fx=x2ex在區(qū)間k,k+32上存在極值點(diǎn)，根據(jù)間接法fx【詳解】由題知，fx所以f′當(dāng)x∈(?∞,?2)和(0,+∞)時，f′則fx在x∈(?∞,?2)和(0,+若fx在k,k+32上無極值點(diǎn)，則k+32解得：k∈?所以k∈?∞,?72所以k∈(?72,?2)∪(?32因為k是整數(shù)，故k=?3或k=?1，故選：AC.3．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高三期中）已知函數(shù)f(x)=x3?x+1A．f(x)有兩個極值點(diǎn) B．f(x)有三個零點(diǎn)C．點(diǎn)0,12是曲線y=f(x)的對稱中心 D．直線y=2x?1是曲線【答案】AD【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合f(x)的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，f′x=3x2?1，令令f′(x)<0得所以f(x)在(?∞,?33)，(因f(?33)=1+23所以，函數(shù)fx在?當(dāng)x≥33時，fx≥f3綜上所述，函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；令?(x)=x3?x，該函數(shù)的定義域為R則?(x)是奇函數(shù)，(0,0)是?(x)的對稱中心，將?(x)的圖象向上移動一個單位得到f(x)的圖象，所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心，故C錯誤；令f′x=3x2當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時，切線方程為y=2x?1，當(dāng)切點(diǎn)為(?1,1)時，切線方程為y=2x+3，故D正確.故選：AD.三、填空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=xe【答案】0或1【分析】對fx進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)討論a的正負(fù)判斷f′x【詳解】解:由題知fxf′x=①當(dāng)a≤0時,f′x>0,f②當(dāng)a>0時,令?x則?′故?x在0,+又因為當(dāng)x→0,?x?a所以必存在x0∈0,a當(dāng)x∈0,x0當(dāng)x∈x0,+所以x=x0是綜上,當(dāng)a≤0時,fx當(dāng)a>0時,fx故fx故答案為:0或15．（2022·遼寧·沈陽市第四十中學(xué)高三期中）已知等比數(shù)列an的公比q>1，若a1，a2是函數(shù)f【答案】274##6.75【分析】先求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，從而可得a1，a2，再求出公比q，進(jìn)而可求出【詳解】由fx=6ln由f′x=0時，x=2當(dāng)0<x<2或x>3時，f′x>0，當(dāng)2<x<3所以2和3為f(x)的極值點(diǎn)，因為q>1，a1，a2是函數(shù)所以a1=2，所以q=a所以a4故答案為：274四、解答題6．（2022·貴州畢節(jié)·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=aln(1)若a=1，證明：f(x)存在唯一的極值點(diǎn).(2)若?x∈(0,1],f(x)≤0，求a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)1e【分析】（1）求導(dǎo)得到f′x=1x+1?ex，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到f′x在0.1,1上存在唯一一個零點(diǎn)（2）將?x∈0,1，fx≤0轉(zhuǎn)化為fxmax≤0，然后分0<a≤e?e2?4【詳解】（1）當(dāng)a=1時，fx=ln因為函數(shù)y=1x，y=?ex在0,+∞f′0.1=11?e0.1>11?e>0，f′1=2?e<0，所以f所以fx在0,x0上單調(diào)遞增，x（2）?x∈0,1，fx≤0f′x=ax當(dāng)f′1=a+1a?e≥0，即0<a≤e?e2?42或所以1e≤a≤e當(dāng)e?e2?42<a<e+e2?42時，f′所以fx在0,x0fx因為x0∈0,1，所以lnx0<0，lnx綜上可得，a的取值范圍為1e【點(diǎn)睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）a≥fx恒成立?a≥f（2）a≤fx恒成立?a≤f7．（安徽省部分學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若xfx+2e【答案】(1)極小值為?a(2)?2,4+2【分析】（1）求得f′x，結(jié)合fx（2）將不等式xfx+2e2≥0【詳解】（1）函數(shù)fx=(則f′令f′x=0當(dāng)x變化時，fxx0,eef?0+f單調(diào)遞減?單調(diào)遞增因此，當(dāng)x=e?a2時，（2）因為xfx+2e令?x則?′（i）若a∈0,4，對于函數(shù)y=(ln所以(ln故當(dāng)a∈0,4時，不等式x（ii）若a∈4,+當(dāng)x∈0,e?a所以x(故不等式x(現(xiàn)探究當(dāng)x∈e當(dāng)x∈e?a,e?2時，?所以?x在e?a,所以x=e?2是要使不等式x(只需?e解得a≤4+2e故當(dāng)4<a≤4+2e4時，不等式（iii）若a∈?當(dāng)x∈0,e?2所以x(故不等式x(現(xiàn)探究當(dāng)x∈e當(dāng)x∈e?2,e?a時，?所以?x在e?2,所以x=e?a是要使不等式x(lnx)即ae設(shè)mx=xex因為m′x=1?xe于是，由ma≥m?2及a<0故當(dāng)?2≤a<0時，不等式x(綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為?2,4+2e【點(diǎn)睛】研究含參數(shù)的不等式恒成立問題，導(dǎo)數(shù)是工具的作用.化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法是重要的解題思想方法，將不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題來進(jìn)行研究.對參數(shù)分類討論時，要注意做到不重不漏.8．（2022·山東聊城一中高二期中）已知函數(shù)fx=ex+ax?3(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)fx(2)用[t]表示不超過實(shí)數(shù)t的最大整數(shù)，如：[0.8]=0,[?1.4]=?2，若x>0時，(t?x)ex<t+2【答案】(1)a=?1；極小值為?2，無極大值(2)2【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f′0=0，從而求得a=?1（2）將問題轉(zhuǎn)化為t<xex+2ex?1恒成立問題，結(jié)合（1）中結(jié)論得到g′x【詳解】（1）根據(jù)題意，易得函數(shù)fx的定義域為R因為f′(x)=ex+a，由已知得f所以fx=e令f′x>0，得x>0；令f所以函數(shù)fx在(?∞,0)所以函數(shù)fx的極小值為f（2）因為當(dāng)x>0時，ex?1>0，故不等式(t?x)e令g(x)=xex+2e由（1）得fx=e又因為f(1)=e?1?3<0,f(2)=e2?2?3>0，所以fx在所以g′x在(0,+∞又當(dāng)x∈0,x0時，fx<0，則g′(x)<0所以gx在0,x0所以gx的最小值為g由g′x0=0得因為1<x0<2因為t<gxmin，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．9．（2022·山東泰安·高三期中）已知函數(shù)f(x)=e(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若1是關(guān)于x的方程f(x)=bx2(b∈R)的根，且方程f(x)=b【答案】(1)答案見解析(2)e?2,1【分析】（1）求導(dǎo)，對a的符號分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得極值；（2）根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)Fx=fx?bx【詳解】（1）f'當(dāng)a≤0時，f'x>0當(dāng)a>0時，令f'x=0當(dāng)x∈?∞,lna時，f'x<0，∴fx（2）∵1是方程fx∴f1=b，解得a=e設(shè)Fx=fx設(shè)gx=F∵F0=0，F(xiàn)1=0，且方程設(shè)Fx0=0，x0∈0,1，則∴F'x在0,x∴gx=0在當(dāng)b≤0時，g'x>0當(dāng)b>0時，令g'x=0當(dāng)x∈?∞,ln2b當(dāng)x∈ln2b,+∞時，g∴gx設(shè)φx=3x?2xln令φ'x=0當(dāng)x∈0,e2時，φ當(dāng)x∈e2,+∞時，∴φxmax=φ∴gx∴g0>0g1>0∴b的取值范圍為e?2,1綜上，fxmin=a?a【點(diǎn)睛】對于第二問，得出gx=0在0,1上至少有兩個相異實(shí)根是問題的核心，由此討論gx10．（2022·河北省文安縣第一中學(xué)高二期末）已知函數(shù)f(x)=(x?2)e(1)當(dāng)k=0時，求f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)k>e,x>1時，【答案】(1)極小值為?e(2)證明見解析【分析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′x，再求函數(shù)(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，求其最小值f(x0)【詳解】（1）函數(shù)f(x)=(x?2)ex?k(x?因為k=0，所以f(x)=(x?2)ex，其中由題可知f′(x)=(x?1)ex，令當(dāng)x>1時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在故f(x)=(x?2)ex在x=1處取得極小值，極小值為（2）因為f(x)=(x?2)ex?k(x?f′令?(x)=xex?k(x>1)，則?′(x)=(x+1)因為k>e，?(1)=e?k<0則存在x0∈(1,+∞)，使得當(dāng)x∈1,x0時，f′(x)<0當(dāng)x∈x0,+∞時，f′從而f(x)則fx令g(x)=x則g′即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以所以當(dāng)k>e,x>1時，【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．11．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)f（x）的極值；(2)若關(guān)于x的不等式fx≥2ax+2ln【答案】(1)極大值為1e(2)?【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究其極值；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為x2e2x?ln(x【詳解】（1）∵f∴f′x>0，解得x>0或x<?1，f故函數(shù)fx的增區(qū)間為(?∞,?1)∴函數(shù)fx的極大值為f?1=（2）不等式f(x)≥2ax+2lnx+1，x∈(0,+∞)可化為可化為x2e可化為x2e可化為x2e令gx=x?lnx?1，g′(x)>0，解得x>1，g′可得函數(shù)g(x)的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞），∴g(x)≥g1=0（當(dāng)且僅當(dāng)可得不等式x?lnx?1≥0，x∈(0,+∞故有x2e2x?ln①當(dāng)a≤1時，因為x∈(0,+∞)，所以x2②當(dāng)a>1時，令?x?′∴?(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，且可知存在m∈(0,1)滿足xm此時有m2e2m?ln綜述：a≤1.即：若不等式fx【點(diǎn)睛】不等式恒成立（能成立）問題，一般有兩種方法，方法1：分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題，方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實(shí)現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.12．（2022·浙江省新昌中學(xué)高三期中）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若x0為函數(shù)fx的極大值點(diǎn)，證明：存在t使ft【答案】(1)極大值點(diǎn)為3π(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，列表可得函數(shù)極大值點(diǎn)；（2）利用函數(shù)單調(diào)性求出存在t0使ft0=22e?54π【詳解】（1）已知f′x?33f+0?f↗極大值↘所以，函數(shù)fx的極大值點(diǎn)為3（2）設(shè)x0=3由（1）知fx在0,π2存在t0∈0,π2則ft?2k即ft?2k可得et所以存在t=t0+2k設(shè)gx當(dāng)x∈0,π2所以g′x?0，故g因為t?2kπ?2π所以t?2kπ故2kπ因此54【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)之一，先找到特殊值t0∈0,存在t=t0+2kπ+2π上式成立，關(guān)鍵點(diǎn)之二，構(gòu)造函數(shù)題型三根據(jù)函數(shù)的極值或極值點(diǎn)求參數(shù)一、單選題1．（2022·山東濰坊·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=cosωx+π3?A．256,92 B．4,143【答案】D【分析】利用整體思想，結(jié)合余弦函數(shù)得圖像與性質(zhì)及極值的定義列出不等式組，解之即可.【詳解】解：令fx=cos因為x∈0,π，所以因為函數(shù)fx=cos所以ω>05π<所以ω的取值范圍是143故選：D.2．（2022·四川省資陽市外國語實(shí)驗學(xué)校高二期中（理））函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為A．4，?11 B．?3，3C．4，?11或?3，3 D．3，3【答案】A【分析】由題意可知f′1=0【詳解】f′由題意可知f′1=0則b=?3?2aa2?a?12=0，解得當(dāng)a=?3b=3時，f∴在x=1處不存在極值，不符合題意；②當(dāng)a=4b=?11時，f∴x∈?113,1，f′∴a=4故選：A．3．（2022·四川省合江縣中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））若函數(shù)fx=x3+ax2A．12,+∞ B．C．?∞,0∪【答案】C【分析】首先求導(dǎo)得到f′x=3【詳解】fx=x因為函數(shù)fx=x所以2a2?4×3×4a>0，解得a<0或故選：C4．（2021·吉林·四平市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若函數(shù)fx=lnx+ax2?2xA．0,12 B．12,+∞ 【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′x=2ax2?2x+1【詳解】由題意fx=ln令g(x)=2ax2?2x+1當(dāng)a=0時，g(x)=?2x+1=0,x=12，當(dāng)0<x<12時，當(dāng)x>12時，f′x<0，f當(dāng)a>0時，g(x)圖象對稱軸為x=1此時要使函數(shù)fx=lnx+ax即2a?1<0,∴a<12，則此時x=12a>1，g(x)在0,1上遞減，存在x則當(dāng)0<x<x0時，f′x>0，fx遞增，當(dāng)x0<x<1時，當(dāng)a<0時，g(x)圖象開口向下，對稱軸為x=1此時要使函數(shù)fx=lnx+ax即2a?1<0,∴a<12，則綜合上述，可知a的取值范圍為?∞故選：D二、填空題5．（2023屆西南333高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)fx=alnx+bx在【答案】6【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)在x=1處取得極值3，得到f′(1)=a+b=0，且【詳解】∵f(x)=alnx+bx，又函數(shù)f(x)在x=1處取得極值3，則f′(1)=a+b=0，且所以a=?3，b=3，b?a=6．故答案為：6．6．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））函數(shù)fx=4x3?a【答案】34##【分析】由fx在x=1處有極值，可得a+b=6【詳解】由題意得f′x=12x2則f′1=12?2a?2b=0則2a當(dāng)且僅當(dāng)a2=4b2即故答案為：347．（2022·四川瀘州·一模（文））已知函數(shù)f(x)=alnx?x+1【答案】2,+【分析】求得f′(x)，將題意轉(zhuǎn)化為使得y=x2?ax+1【詳解】f(x)=alnx?x+1x定義域為0,+∞根據(jù)題意可得y=x2?ax+1故Δ=a2?4>0，且故答案為：2,+8．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=12x【答案】?【分析】因為x=2為極值點(diǎn)，故f′2=0【詳解】f′x=x?a+2x所以f′當(dāng)f′x<0時，得1<x<2；當(dāng)f′x所以fx在0,1，2,+∞上單調(diào)遞增，fx故fx的極大值為f故答案為：?5三、解答題9．（2022·江蘇南通·高三期中）已知fx=(1)求a的值；(2)若關(guān)于x的方程fx=t在0,3上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x【答案】(1)3(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分a=0、a<0和a>0三種情況求fx（2）構(gòu)造函數(shù)gx=fx?f4?x0<x<2，根據(jù)gx的單調(diào)性和g0=0得到fx2?f4?x2>0，再結(jié)合fx1=f【詳解】（1）因為fx=x當(dāng)a=0時，f′所以fx當(dāng)a<0時，在區(qū)間?∞,2a3上，在區(qū)間2a3,0上，f′在區(qū)間0,+∞上，f′x所以當(dāng)x=0時，fx的極小值為f當(dāng)a>0時，在區(qū)間?∞,0上，f′在區(qū)間0,2a3上，f′在區(qū)間2a3,+∞上，f所以當(dāng)x=2a3時，fx所以a=3.（2）由（1）知，在區(qū)間?∞,0上，f′在區(qū)間0,2上，f′x<0在區(qū)間2,+∞上，f′x所以不妨設(shè)0<x下面先證x1即證x1<4?x2，因為又因為區(qū)間0,2上，fx只要證fx1>f只要證fx2>f設(shè)gx則g′所以gx所以gx>g0下面證3<x設(shè)?x=2x在區(qū)間0,2上，fx>?x；在區(qū)間2,3設(shè)x3∈0,32所以?x3>?設(shè)x4∈2,3，f所以?x2>?因為?x3=?所以3=x【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題中（極值點(diǎn)為x0），證明x1+①構(gòu)造Fx②確定Fx③結(jié)合特殊值得到fx2?f2x0?x2④利用fx的單調(diào)性即可得到x1+10．（2021·寧夏·海原縣第一中學(xué)高二期中（文））已知函數(shù)f(x)=lnx?ax+b在x=1處的極值是2，a，(1)求a，b的值；(2)函數(shù)g(x)=f(x)?k有兩個零點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】(1)a=1，b=3(2)(?【分析】（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=lnx?ax+b在x=1處的極值是2，聯(lián)立解方程組得到a=1，b=3，代入fx檢驗即可確定a（2）將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)?(x)=lnx與一次函數(shù)【詳解】（1）因為fx=ln又函數(shù)f(x)=lnx?ax+b在所以f1=2f′1檢驗：故f(x)=lnx?x+3x>0令f′x<0，得x>1；令f所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+所以fx在x=1取得極大值，且極大值為f所以a=1,b=3（2）gx=fx?k=ln令?(x)=lnx，Qx=x?3+k所以?′x=1x又?1=ln1=0，所以?x所以當(dāng)k=2時，Qx=x?1為?x在x=1處的切線，此時，Q(x).要使g(x)有兩個零點(diǎn)，即Q(x)與?(x)有兩個交點(diǎn)，所以Q(x)比與?(x)相切時的位置還要向下平移，又因為Q(x)與?(x)相切時，k=2，所以k<2，即k∈(?∞11．（2021·陜西省米脂中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)fx=ax(1)求a，b的值；(2)求曲線y=fx在點(diǎn)?1,f【答案】(1)a=?6,b=9(2)36x+y+21=0【分析】（1）解方程組f(1)=a+b=3f（2）只需求出f′?1，【詳解】（1）f′由題意可得f(1)=a+b=3f′(1)=3a+2b=0檢驗：f′x=?18x2+18x，令當(dāng)x∈?∞,0∪1,+當(dāng)x∈0,1時，f′x（2）由（1）得fx=?6x所以f?1=15，所以所求切線方程為y?15=?36x+1，即36x+y+21=012．（2022·陜西省榆林中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=lnx+ax?1a∈R(1)求a的值；(2)求證：fx【答案】(1)a=?1(2)證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)在x=1處取極大值,得到f′（2）移項構(gòu)造新函數(shù)Fx=xe【詳解】（1）因為fx=ln又函數(shù)fx在x=1所以f′1=1+a=0經(jīng)檢驗a=?1時，x∈0,1,f′xx∈1,+∞,f故函數(shù)fx在x=1處取極大值，所以a=?1（2）由（1）知，a=?1，故要證fx?gx令Fx=xex?x?令Gx=x+1得到Gx在0,+因為G1=2所以?x0∈1所以當(dāng)x∈0,x0時，Gx<0所以Fx在0,x0所以Fx又因為ex0=所以Fx所以Fx?0，即即fx題型四函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的圖像與極值或極值點(diǎn)的關(guān)系一、單選題1．（2022·河南·駐馬店市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=xcosx，A．在區(qū)間0,π2上，B．在區(qū)間0,π2上，C．過0,0作y=fxD．過0,0作y=fx【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可判斷CD．【詳解】函數(shù)fx=xcosx，x∈R，則正切函數(shù)y=tanx和反比例函數(shù)y=1∴f′(x)=0在∴f(x)在(0,π設(shè)y=fx的切點(diǎn)為t,tcost∵切線過(0,0)，故可設(shè)切線方程為y=cos代入切點(diǎn)t,tcost得t2sint=0則f′0=1∴切線方程為y=±x，∴選項C正確，選項D錯誤．故選：C．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)f′x的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（A．fB．函數(shù)fx在x＝c處取得最大值，在x=C．函數(shù)fx在x＝c處取得極大值，在x=D．函數(shù)fx的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定fx【詳解】由題圖可知，當(dāng)x≤c時，f′x≥0，所以函數(shù)f又a<b<c，所以fa因為f′c=0，f′e=0，且當(dāng)當(dāng)x>e時，f′x>0由題圖可知，當(dāng)d≤x≤e時，f′x≤0，所以函數(shù)f故選：C．3．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末）函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)f′xA．x=12為函數(shù)fx的零點(diǎn) B．x=2C．函數(shù)fx在12,2上單調(diào)遞減 D．f【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由f′x的圖象可得，當(dāng)x<?2時，f'(x)<0，當(dāng)當(dāng)12<x<2時，f'(x)<0所以fx在?2,12和2,+∞上單調(diào)遞增，在所以x=2為fxx=12是f′f?2是函數(shù)f故選：C二、多選題4．（2022·黑龍江·佳木斯一中高三期中）已知函數(shù)f(x)=ln|x?1|+lnA．fx為奇函數(shù) B．fx在C．fx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增 D．f【答案】BD【分析】由已知，f(x)=lnx2?1，結(jié)合定義域可判斷A項；將函數(shù)整理為f(x)=lnx2【詳解】f(x)=ln|x?1|+ln|x+1|=ln由題意可得，f(x)=ln即當(dāng)x∈?1,1時，fx=當(dāng)?1<x<0時，f′x>0；當(dāng)0<x<1時，f′x所以，fx在x=0fx在區(qū)間0,1解fx=0，即lnx2?1=0，可得x2?1=1故選：BD.5．（2022·廣東深圳·高三期中）若過點(diǎn)P1,λ最多可作出nn∈N?條直線與函數(shù)A．λ+n<3B．λn可能等于?1C．當(dāng)n=2時，λ的值不唯一D．當(dāng)n=1時，λ的取值范圍是?【答案】ABD【分析】設(shè)切線l的切點(diǎn)為x0,y0,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及題設(shè)條件可得λ=?e【詳解】y′=ex+(x?1)e則切線l的斜率為k=x又y0=xy?x∴λ?x則λ=?e令g(x)=?eg′所以,令g′(x)=0得所以,當(dāng)x<?1或x>1時,g′當(dāng)?1<x<1時,g′則g(x)在(?∞,?1),(1,+∞且g(?1)=?4e,g(1)=0,當(dāng)x趨近于?∞時,g(x)趨近于0,當(dāng)x趨近于+∞作出函數(shù)g(x)的草圖如下,對于A,由于λ=?eex故λ≤0,由圖象可知,n=1或2或3,即n≤3,又λ=0與n=3不能同時取得,故λ+n<3,選項A正確;對于C,當(dāng)n=2時,即x0的值有兩個,由圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)λ=g(?1)=?4e對于D,由圖象可知,當(dāng)λ=0或λ<?4e時,x0對于B,由圖象可知,n=1或2或3,若nλ=?1,若n=1,則λ=?1,由選項D可知,此時λ=0或λ<?4e,而若n=2，則λ=?12，由C選項知此時λ取唯一值若n=3，則λ=?13，由圖象得此時λ∈?故nλ可能取到?1,選項B正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程,考查轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,屬于較難題目.對于函數(shù)外一動點(diǎn)作函數(shù)圖像切線個數(shù)問題常見的方法：設(shè)切點(diǎn)，求切線方程，分離參數(shù)，如λ=fx，再研究fx圖像，轉(zhuǎn)化為直線6．（2021·福建·福州十八中高三開學(xué)考試）函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．?∞,0為函數(shù)B．0,1為函數(shù)y=f(x)的遞增區(qū)間C．函數(shù)y=f(x)在x=1處取得極小值D．函數(shù)y=f(x)在x=3處取得極小值【答案】BD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極值點(diǎn).【詳解】解：由y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，導(dǎo)函數(shù)的圖象與x軸有3個交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1x1<0、1且當(dāng)x<x1或1<x<3時f′x<0，當(dāng)x所以fx在?∞,x1上單調(diào)遞減，在x所以fx在x=x1處取得極小值，在x=1故正確的有B、D；故選BD7．（2022·遼寧錦州·高二期末）函數(shù)fx的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)y=f′A．f?2>f?1 B．x=1C．函數(shù)fx在?1,1上有極大值 D．x=?3是f【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的圖象逐一判斷即可.【詳解】由y=f′x的圖象可知：當(dāng)x∈(?∞,?3)當(dāng)x∈(?3,?1)時，f′x<0，所以函數(shù)fx單調(diào)遞減，因此有f?2當(dāng)x∈(?1,1)，或x∈(1,+∞)時，f′x>0，所以函數(shù)fx單調(diào)遞增，因此函數(shù)fx故選：AD8．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗中學(xué)高三開學(xué)考試）函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)是f′x，下圖所示的是函數(shù)y=A．x=?1B．x=2是fxC．fx在區(qū)間?2,?1D．fx在區(qū)間?2,2【答案】AD【分析】根據(jù)給定的圖象，探討f′x值的符號，進(jìn)而判斷函數(shù)【詳解】觀察圖象知，當(dāng)x<?1或x>2時，f′(x)<0，當(dāng)?1<x<2時，因此函數(shù)f(x)在(?∞,?1)，(2,+∞x=?1是fx=2是fx?2,?1?(?∞,?1)，即fx=?1是fx的極小值點(diǎn)，故選：AD三、填空題9．（2022·江西九江·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=e【答案】e【分析】通過分離參數(shù)得1a=x2e【詳解】當(dāng)a=0時，此時fx=e當(dāng)a≠0時，fx=0得令gx=x2ex，前者解得0<x<2，，后者解得x>2或x<0，故gx在?∞,0，2,+故gx的極小值為g0=0令gx=x2ex，顯然分母ex作出大致圖像如圖所示：所以0<1a<4e故答案為：e2四、解答題10．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知a>0，函數(shù)f(x)=xln(1)證明：f(x)在(0,π)上有唯一的極值點(diǎn);(2)當(dāng)a=2時，求f(x)的零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)證明見詳解析(2)fx在0,+【分析】(1)對函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，判斷原函數(shù)的單調(diào)性性，進(jìn)而得到證明；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論及極小值的定義可得：fx0≤f1<0【詳解】（1）由題意可知，f′x當(dāng)x∈0,π時，sinx>0，從而f″x又f′1由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一x1∈從而fx在0,x0故x0為fx在（2）當(dāng)a=2時，f當(dāng)x∈0,π時，由（1）可知，fx在0,又注意到x→0+，fx→1由極小值定義知：fx從而存在x1∈0,x0當(dāng)x∈[π,+∞)故fx在π綜上，fx在0,+【點(diǎn)睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0(2)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．11．（2021·陜西省神木中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=32x2+3(1)證明：fx與g(2)令?(x)=g(x)?23af(x)(a<1)【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）分別對fx與g（2）對?x求導(dǎo)，先求得sx=x?sinx的正負(fù)情況，再分類討論a≤0與0<a<1【詳解】（1）由f(x)=32x由g(x)=ex(2x+因為ex>0，所以f′所以fx與g（2）由（1）知?′(x)=2(x?sin令sx=x?sinx，則所以sx在R故當(dāng)x>0時，sx>0，當(dāng)x<0時，①當(dāng)a≤0時，ex此時，當(dāng)x<0時，?′x<0，?x單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，所以當(dāng)x=0時，?x②當(dāng)a>0時，?′令?′x=0，解得x由0<a<1，得lna<0當(dāng)x∈?∞,lna時，e當(dāng)x∈lna,0時，ex?e當(dāng)x∈0,+∞時，ex?e故當(dāng)x=lna時，?x取得極大值，當(dāng)x=0時，?綜上：當(dāng)a≤0時，函數(shù)?x有1個極值點(diǎn)，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．12．（2023·江西·貴溪市實(shí)驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時，求fx在?2,2(2)討論fx【答案】(1)最大值為113，最小值為(2)a?0時,f(x)無極值點(diǎn),a>0時,f(x)有2個極值點(diǎn).【分析】（1）直接代入a值，求導(dǎo)即可求出最值；（2）f′(x)=x2?a【詳解】（1）當(dāng)a=?1時，f(x)=13f′(x)=x2+1>0∴fxmin=f（2）f′①當(dāng)a?0時,f′(x)?0恒成立,此時f(x)在②當(dāng)a>0時,令f′(x)>0,即x2?a>0，解得:令f′(x)<0,即x故此時f(x)在(?∞,?a)遞增,在所以f(x)在x=?a時取得極大值，在x=綜上所述:a?0時,f(x)無極值點(diǎn)，a>0時,f(x)有2個極值點(diǎn).【綜合檢測】導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用極值綜合檢測卷一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則fx極值點(diǎn)的個數(shù)為（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)要滿足兩個條件，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象逐個分析即可.【詳解】對于處處可導(dǎo)的函數(shù)，函數(shù)的極值點(diǎn)要滿足兩個條件，一個是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，另一個是該點(diǎn)左、右的導(dǎo)數(shù)值異號，由圖象可知，導(dǎo)函數(shù)與x軸有5個交點(diǎn)，因為在0附近的左側(cè)f′x<0，右側(cè)f其余四個點(diǎn)的左、右的導(dǎo)數(shù)值異號，所以是極值點(diǎn)，故fx故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=xf′A．x1 B．x2 C．x3【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0的區(qū)間，從而確定極大值點(diǎn).【詳解】由圖可知，當(dāng)x∈?∞,x1當(dāng)x∈x1,0時，x當(dāng)x∈0,x4時，x當(dāng)x∈x4,+∞時，所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,x1故fx的極大值點(diǎn)為x故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)f′(x)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（A．當(dāng)1<x<4時，f′x>0 B．當(dāng)x<1或C．當(dāng)x=1或x=4時，f′x=0 D．函數(shù)f（x【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的增減以及極值點(diǎn)的定義判斷.【詳解】A.由圖象知：當(dāng)1<x<4時，函數(shù)f（x）遞增，所以f′B.由圖象知：當(dāng)x<1或x>4時，函數(shù)f（x）遞增，所以f′C.由圖象知：當(dāng)x=1或x=4時，函數(shù)f（x）分別取得極小值和極大值f′D.由圖象知：函數(shù)f（x）在x=4處取得極大值，故錯誤；故選：D4．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)A．f(x2)是極小值 B．f(x3)是極小值 C．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷極值.【詳解】由圖知：f(x)在(a,x1)上遞增，(∴f(x3)是極小值，f(x2故選：B.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知t和t+3是函數(shù)fx=x3+ax2+bx+c的零點(diǎn)，且A．1 B．4 C．43 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三次函數(shù)的特點(diǎn)可得f(x)=(x?t)(x?t?3)【詳解】因函數(shù)fx在t+3處取得極小值0，又t是函數(shù)fx的另一零點(diǎn)，因此函數(shù)從而有f(x)=(x?t)(x?t?3)2，求導(dǎo)得：當(dāng)x<t+1或x>t+3時，f′(x)>0，當(dāng)t+1<x<t+3時，于是，fx在x=t+3處取得極小值，在x=t+1處取得極大值f(t+1)=4所以fx故選：B6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知m為常數(shù)，函數(shù)fx=xlnx?2mx2有兩個極值點(diǎn)，其中一個極值點(diǎn)x0A．?∞,0 B．0,+∞ C．?【答案】D【分析】由題意即f′x=0有兩個解，即y=lnx與y=4mx?1有兩個交點(diǎn)，由y=lnx在點(diǎn)P1,0處的切線為y=x?1，顯然直線【詳解】f′x=則等價于f′x=0有兩個解，即y=所以lnx直線y=4mx?1過點(diǎn)0由y=lnx在點(diǎn)P1,0處的切線為y=x?1，顯然直線當(dāng)0<4m<1時，直線y=4mx?1與曲線y=lnx交于不同兩點(diǎn)（如下圖），且fx令gx=x所以gx=xlnx?x故選：D.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)f(x)=ln①f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱

②f(x)在區(qū)間(2,+∞③f(x)的極大值為0

④f(x)有3個零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號為（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)給定函數(shù)，計算f(2?x)判斷①；探討f(x)在(2,+∞)上單調(diào)性判斷②；探討f(x)在(0,1)和(1,2)上單調(diào)性判斷③；求出【詳解】函數(shù)f(x)=ln|x|+ln對于①，x∈(?∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞f(2?x)=ln|2?x|+ln|x|=f(x)，對于②，當(dāng)x>2時，f(x)=lnx+ln(x?2)，對于③，當(dāng)x<0時，f(x)=ln(?x)+ln(2?x)，當(dāng)0<x<2時，f(x)=lnx+ln(2?x)=ln[?(x?1)又f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增，因此f(x)在x=1處取極大值對于④，由f(x)=0得：|x2?2x|=1，即x2?2x?1=0或x于是得f(x)有3個零點(diǎn)，④正確，所以所有正確結(jié)論的編號為①③④.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)的定義域為D，?x∈D，存在常數(shù)a使得f(x)=f(2a?x)?f(a+x)=f(a?x)，則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱.8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=(x?a)2lnx(a∈R)，則當(dāng)0<a<1A．有1個極大值點(diǎn)，2個極小值點(diǎn)B．有2個極大值點(diǎn)，1個極小值點(diǎn)C．有1個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)D．無極大值點(diǎn)，有1個極小值點(diǎn)【答案】A【分析】求f(x)導(dǎo)數(shù)為f′(x)=(x?a)2lnx+【詳解】f′令g(x)=2lnx+a則g(x)在0,a2上遞減，在a2∵0<a<1，∴0<a2<12又x→0，gx→+∞，g(a)=2ln∴?x1∈故g(x)如圖所示：∴當(dāng)0<x<x1時，g(x)>0，x－a＜0，當(dāng)x1<x<a時，g(x)<0，x－a＜0，當(dāng)a<x<x2時，g(x)＜0，x－a＞0，當(dāng)x>x2時，g(x)＞0，x－a＞0，∴f(x)有2個極小值點(diǎn)x1、x故選：A．二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x=ax2?2axA． B． C． D．【答案】BD【分析】首先求函數(shù)的極值點(diǎn)，再判斷圖象.【詳解】f′x=axx?2=0，a≠0所以函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，分別是x=0和x=2，滿足條件的只有BD.故選：BD10．（2022·云南·宣威市第三中學(xué)高二階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)f′xA．fB．函數(shù)fx在a,b上遞增，在b,dC．函數(shù)fx的極值點(diǎn)為c，D．函數(shù)fx的極大值為【答案】ABD【解析】對A，B由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷f(a)，f(b)，f(c)的大小以及fx【詳解】解：由題圖知可，當(dāng)x∈?∞,c時，f當(dāng)x∈c,e時，f′x<0，當(dāng)所以fx在?∞,c在c,e上遞減，在e,+∞上遞增，對A，fd對B，函數(shù)fx)在a,b上遞增，在b,c上遞增，在c,d對C，函數(shù)fx的極值點(diǎn)為c，e對D，函數(shù)fx的極大值為f故選：ABD.11．（2022·黑龍江·佳木斯一中高三期中）已知函數(shù)f(x)=ln|x?1|+lnA．fx為奇函數(shù) B．fx在C．fx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增 D．f【答案】BD【分析】由已知，f(x)=lnx2?1，結(jié)合定義域可判斷A項；將函數(shù)整理為f(x)=lnx2【詳解】f(x)=ln|x?1|+ln|x+1|=ln由題意可得，f(x)=ln即當(dāng)x∈?1,1時，fx=當(dāng)?1<x<0時，f′x>0；當(dāng)0<x<1時，f′x所以，fx在x=0fx在區(qū)間0,1解fx=0，即lnx2?1=0，可得x2?1=1故選：BD.12．（2022·重慶市二0三中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(x+1)ex?x?1A．f(x)在(0,+∞B．x=0為f(x)的一個極小值點(diǎn)C．f(x)無最大值D．f(x)有唯一零點(diǎn)【答案】ABC【分析】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)分析、推理判斷選項A，B，C；舉例說明判斷D作答.【詳解】依題意，f′(x)=(x+2)ex?2x?2當(dāng)x>0時，令?(x)=(x+3)ex?2，則?′(x)=(x+4)g′(x)>g′(0)=1>0，則f′(x)=g(x)在(0,+當(dāng)?1<x<0時，φ(x)=ex?2x+2x+2，求導(dǎo)得φ而φ′(?1)=1e?2<0，φ當(dāng)x∈(x0,0)時，φ′(x)>0，函數(shù)φ(x)在(即當(dāng)x∈(x0,0)時，ex<2x+2x+2當(dāng)x>0時，令u(x)=ex?x?1，求導(dǎo)得u′(x)=ex?1>0，函數(shù)而y=x+1在(0,+∞)上遞增，值域為(1+∞)，因此當(dāng)x≥2時，因f(?1)=f(0)=0，即?1和0是函數(shù)f(x)=(x+1)e故選：ABC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f'(x0三、填空題13．（2022·上海市金山中學(xué)高二期末）如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上嚴(yán)格遞減；

②f(1)<f(2)；③函數(shù)f(x)在x=1處取極大值；

④函數(shù)f(x)在區(qū)間(?則上述說法正確的是______．【答案】②④【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象分析得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷是否為極值點(diǎn)，比較出函數(shù)值的大小，判斷出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可知：函數(shù)fx在1,2上單調(diào)遞增，在由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：fx在?1,2上均單調(diào)遞增，故x=1由導(dǎo)函數(shù)圖象可得：在區(qū)間(?2,5)內(nèi)有f′?1=f′4=0故x=?1和x=4為函數(shù)的兩個極小值點(diǎn)，故在區(qū)間(?故答案為：②④14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=ax【答案】0,【分析】先求解出導(dǎo)函數(shù)f′x，然后根據(jù)a=0,a≠0進(jìn)行分類討論：a=0時，直接判斷即可，a≠0時，利用Δ≤0求解出【詳解】∵fx=ax若a=0，則f′x=1>0恒成立，f若a≠0，則Δ=16a2?12a≤0時，即0<a≤34時，f綜上可得0≤a≤34，即故答案為：0,315．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fx①若函數(shù)y=fx+3bx不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是②過點(diǎn)M0,2且與曲線y=f③方程fx④方程gx=1+xex其中真命題的序號是___________.【答案】②④【分析】對于①：求導(dǎo)，由判別式小于等于0得出實(shí)數(shù)b的取值范圍；對于②：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出方程3x【詳解】解：因為y=fx所以y′=3x則有Δ=122設(shè)過點(diǎn)M0,2的直線與曲線y=fx相切于點(diǎn)fx=x3?6又點(diǎn)x0,y0在曲線代入上式，得x0解得x0=1或x0所以過點(diǎn)M0,2且與曲線y=f函數(shù)fx由y=x3?3x為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得f且函數(shù)y=22?x的圖象也關(guān)于點(diǎn)所以方程fx=2④化簡得g=2+xex?e，當(dāng)x>1,x<?2,g′x>0，gx單調(diào)遞增，當(dāng)?2<x<1,故答案為：②④.16．（2021·廣東·高三開學(xué)考試）已知x=0是函數(shù)f(x)=xln(a?x)的極值點(diǎn)，則【答案】1【分析】首先根據(jù)f′【詳解】由fx=xlna?x,∴f