自動(dòng)控制原理-經(jīng)典控制部分-線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.5信號(hào)流圖

信號(hào)流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖示方法，將信號(hào)流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關(guān)系，既直觀又形象。當(dāng)系統(tǒng)方框圖比較復(fù)雜時(shí)，可以將它轉(zhuǎn)化為信號(hào)流圖，并可據(jù)此采用梅遜(Mason)公式求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2/27考慮如下簡單等式這里變量xi和xj可以是時(shí)間函數(shù)、復(fù)變函數(shù)，aij是變量xj變換(映射)到變量xi的數(shù)學(xué)運(yùn)算，稱作傳輸函數(shù)，如果xi和xj是復(fù)變量s的函數(shù)，稱aij為傳遞函數(shù)Aij(s)，即上式寫為2.5.1信號(hào)流圖的定義§2.5信號(hào)流圖

3/27變量xi和xj用節(jié)點(diǎn)“○”來表示；傳輸函數(shù)用一有向有權(quán)的線段(稱為支路)來表示；支路上箭頭表示信號(hào)的流向，信號(hào)只能單方向流動(dòng)。信號(hào)流圖§2.5信號(hào)流圖

4/272.5.2系統(tǒng)的信號(hào)流圖

在線性系統(tǒng)信號(hào)流圖的繪制中應(yīng)包括以下步驟：（1）將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換為以s為變量的代數(shù)方程。（2）按因果關(guān)系將代數(shù)方程寫成如下形式：

§2.5信號(hào)流圖

5/27（3）用節(jié)點(diǎn)“○”表示n個(gè)變量或信號(hào)，用支路表示變量與變量之間的關(guān)系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端?！?.5信號(hào)流圖

6/27例2-9

如下圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，v1為輸入、v3為輸出。選5個(gè)變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、電流定律可寫出四個(gè)獨(dú)立方程

§2.5信號(hào)流圖

7/27將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節(jié)點(diǎn)表示，由因果關(guān)系用支路把節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)聯(lián)接，得信號(hào)流圖。

§2.5信號(hào)流圖

8/272.5.3信號(hào)流圖的定義和術(shù)語

節(jié)點(diǎn)：表示變量或信號(hào)的點(diǎn)，用“○”表示。支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有向有權(quán)線段，方向用箭頭表示，權(quán)值用傳輸函數(shù)表示。輸入支路：指向節(jié)點(diǎn)的支路。輸出支路：離開節(jié)點(diǎn)的支路。源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，也稱輸入節(jié)點(diǎn)，如圖中節(jié)點(diǎn)X1。匯節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖節(jié)點(diǎn)X7?！?.5信號(hào)流圖

9/27信號(hào)流圖定義與術(shù)語混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。通道(路徑)：沿著支路箭頭方向通過各個(gè)相連支路的路徑，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅通過一次。如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反饋回X2。10/27前向通道：從輸入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))到匯節(jié)點(diǎn)的通道。如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5

到X6到X7也為另一條前向通道?；芈穭t是指起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，且不與其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)多于1次的封閉通路。

自回環(huán)：單一支路的閉通道，如圖中的-H3構(gòu)成自回環(huán)?！?.5信號(hào)流圖

閉通道(反饋通道或回環(huán))：通道的起點(diǎn)就是通道的終點(diǎn)，如圖X2到X3又反饋到X2；X4到X5

又反饋到X4。11/27通道傳輸或通道增益：沿著通道的各支路傳輸?shù)某朔e。如從X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。不接觸回環(huán)：如果一些回環(huán)沒有任何公共的節(jié)點(diǎn)，稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。如－G2H1

與－G4H2?！?.5信號(hào)流圖

12/272.5.4信號(hào)流圖的性質(zhì)

（1）信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)；（2）信號(hào)流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)形式的代數(shù)方程；（3）信號(hào)只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞；（4）節(jié)點(diǎn)上可把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路；（5）具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可把其變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)，即匯節(jié)點(diǎn)；（6）對(duì)于給定的系統(tǒng)，其信號(hào)流圖不是唯一的?！?.5信號(hào)流圖

13/272.5.5信號(hào)流圖的簡化

（2）乘法規(guī)則：n個(gè)同方向串聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之積，如圖（b）?！?.5信號(hào)流圖

（1）加法規(guī)則：n個(gè)同方向并聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之和，如圖(a)所示：14/27（3）混合節(jié)點(diǎn)可以通過移動(dòng)支路的方法消去，如圖（c）。（4）回環(huán)可根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路，如圖（d）?！?.5信號(hào)流圖

15/27例2-10將圖2-43所示系統(tǒng)方框圖化為信號(hào)流圖并化簡求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

§2.5信號(hào)流圖

16/27解：信號(hào)流圖如圖(a)所示?；疓1與G2串聯(lián)等效為G1G2支路，G3與G4并聯(lián)等效為G3+G4支路，§2.5信號(hào)流圖

17/27如圖(b)，G1G2與-H1反饋簡化為支路，又與G3+G4串聯(lián)，等效為如圖(c)18/27進(jìn)而求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為

§2.5信號(hào)流圖

19/272.5.6信號(hào)流圖的增益公式

給定系統(tǒng)信號(hào)流圖之后，常常希望確定信號(hào)流圖中輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系，即兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的總增益或總傳輸。上節(jié)采用信號(hào)流圖簡化規(guī)則，逐漸簡化，最后得到總增益或總傳輸。但是，這樣很費(fèi)時(shí)又麻煩，而梅遜(Mason)公式可以對(duì)復(fù)雜的信號(hào)流圖直接求出系統(tǒng)輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數(shù)，使用起來更為方便?！?.5信號(hào)流圖

20/27式中，T—輸出和輸入之間的增益或傳遞函數(shù)；

Pk

—第k條前向通道的增益或傳輸函數(shù)；Δ—信號(hào)流圖的特征值，稱為流圖特征式

=1-∑Lj1+∑Lj2 -∑Lj3 +…

∑Lj1所有不同回環(huán)增益之和；∑Lj2所有兩兩互不接觸回環(huán)增益乘積之和；∑Lj3所有三個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

Δk

－與第k條前向通道不接觸的那部分信號(hào)流圖的Δ，稱為第k條前向通道特征式的余子式。梅遜增益公式可表示為§2.5信號(hào)流圖

21/27

步驟1：列寫出輸入R(s)到輸出C(s)的所有前向通路步驟2：列寫信號(hào)流圖的所有回路步驟3：判斷所有回路的接觸性，利用流圖的特征式公式計(jì)算流圖的特征式

步驟4：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計(jì)算所有前向通路的特征余因子步驟5：利用Mason公式計(jì)算輸入R(s)到輸出C(s)的傳遞函數(shù)

§2.5信號(hào)流圖

22/27例2-11

利用梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

C(s)/R(s)。§2.5信號(hào)流圖

23/27解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有四條前向通道，對(duì)應(yīng)Pk與Δk為：P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1G6G4G5Δ2=1P3=G1G2G7G5Δ3=1P4=-G1G6G2G7G5Δ4=1圖中有五個(gè)單回環(huán)，其增益為：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的，其增益之積L1L2=G3G5H1H2

§2.5信號(hào)流圖

24/27系統(tǒng)的特征式Δ為

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為§2.5信號(hào)流圖

25/27例2-12

求圖示信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：系統(tǒng)單回環(huán)有：L1=G1，L2=－G2，L3=－G1G2，L4=－G1G2，L5=－G1G2系統(tǒng)的特征式

Δ為：

§2.5信號(hào)流圖

26/27前向通道有四條：P1=-G1Δ1=1P2=G2

Δ2=1P3=G1G2Δ3=1P4=G1G2

Δ4=1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

§2.5信號(hào)流圖

27/272.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中是相當(dāng)重要的，在線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等，而這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式來描述線性時(shí)不變系統(tǒng)(LinearTimeInvariant簡記為LTI)。

28/272.6.1傳遞函數(shù)

單輸入單輸出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

其中m≤n。G(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。令分母多項(xiàng)式等于零，得系統(tǒng)的特征方程：D(s)=a0sn+a1sn－1+……+an－1s+an=02.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

29/27因傳遞函數(shù)為多項(xiàng)式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項(xiàng)式的。MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示，行向量元素依次為降冪排列的多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)，例如多項(xiàng)式P(s)=s3+2s+4,其輸入為：

>>P=［1024］

注意盡管s2項(xiàng)系數(shù)為0,但輸入P(s)時(shí)不可缺省0。

MATLAB下多項(xiàng)式乘法處理函數(shù)調(diào)用格式為

C=conv(A,B)2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

30/27例如給定兩個(gè)多項(xiàng)式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應(yīng)先構(gòu)造多項(xiàng)式A(s)和B(s),然后再調(diào)用conv()函數(shù)來求C(s)>>A=［1,3］;B=［10,20,3］；>>C=conv(A,B)

C=1050639即得出的C(s)多項(xiàng)式為10s3

+50s2+63s+92.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

31/27

MATLAB提供的conv()函數(shù)的調(diào)用允許多級(jí)嵌套,例如

G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語句來輸入

>>G=4*conv(［1,2］,conv(［1,3］,［1,4］))2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

32/27有了多項(xiàng)式的輸入,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在MATLAB下可由其分子和分母多項(xiàng)式唯一地確定出來,其格式為

sys=tf(num,den)其中num為分子多項(xiàng)式，den為分母多項(xiàng)式

num=［b0,b1,b2,…,bm］；den=［a0,a1,a2,…,an］；2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

33/27對(duì)于其它復(fù)雜的表達(dá)式,如可由下列語句來輸入

>>num=conv(［1,1］,conv(［1,2,6］,［1,2,6］));>>den=conv(［1,0,0］,conv(［1,3］,［1,2,3,4］));>>G=tf(num,den)Transferfunction:2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

34/272.6.2傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖

傳遞函數(shù)G(s)輸入之后,分別對(duì)分子和分母多項(xiàng)式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點(diǎn),MATLAB提供了多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為

roots(p)其中p為多項(xiàng)式。

2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

35/27例如,多項(xiàng)式p(s)=s3+3s2+4>>p=［1,3,0,4］;%p(s)=s3+3s2+4>>r=roots(p)%p(s)=0的根r=-3.3533

0.1777+1.0773i0.1777-1.0773i反過來,若已知特征多項(xiàng)式的特征根,可調(diào)用MATLAB中的poly()函數(shù),來求得多項(xiàng)式降冪排列時(shí)各項(xiàng)的系數(shù),如上例

>>poly(r)p=1.00003.00000.00004.00002.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

36/27而polyval函數(shù)用來求取給定變量值時(shí)多項(xiàng)式的值,其調(diào)用格式為

polyval(p,a)其中p為多項(xiàng)式;a為給定變量值

例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=－5時(shí)值：>>n=conv(［3,2,1］,［1,4］);>>value=polyval(n,-5)

value=－662.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

37/27［p,z］=pzmap(num,den)其中,p─傳遞函數(shù)G(s)=numden的極點(diǎn)

z─傳遞函數(shù)G(s)=numden的零點(diǎn)例如,傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)圖,采用pzmap()函數(shù)來完成,零極點(diǎn)圖上,零點(diǎn)用“?！北硎?極點(diǎn)用“×”表示。其調(diào)用格式為2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

38/27用MATLAB求出G(s)的零極點(diǎn),H(s)的多項(xiàng)式形式,及G(s)H(s)的零極點(diǎn)圖

>>numg=［6,0,1］;deng=［1,3,3,1］;>>z=roots(numg)

z=0+0.4082i

0－0.4082i

%G(s)的零點(diǎn)>>p=roots(deng)p=－1.0000+0.0000i－1.0000+0.0000i%G(s)的極點(diǎn)－1.0000+0.0000i2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

39/27

>>n1=［1,1］;n2=［1,2］;d1=［1,2*i］;d2=［1,-2*i］;d3=［1,3］;>>numh=conv(n1,n2);

denh=conv(d1,conv(d2,d3));>>printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表達(dá)式>>pzmap(num,den)%零極點(diǎn)圖>>title(‘pole-zeroMap’)2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

40/27零極點(diǎn)圖如圖所示：2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

41/272.6.3控制系統(tǒng)的方框圖模型

若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)可實(shí)現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。

1.串聯(lián)

如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯(lián),在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series()來求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為

［num,den］=series(num1,den1,num2,den2)其中：2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

42/272.并聯(lián)如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯(lián),可由MATLAB的并聯(lián)函數(shù)parallel()來實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為

［num,den］=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

43/273.反饋

反饋連接如圖所示。使用MATLAB中的feedback()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為

［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負(fù)反饋其為－1或缺省。44/27例如

G(s)=,H(s)=,負(fù)反饋連接。

>>numg=［1,1］;deng=［1,2］;>>numh=［1］;denh=［1,0］;>>［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,－1);>>

printsys(num,den)num/den=2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

45/27MATLAB中的函數(shù)series,parallel和feedback可用來簡化多回路方框圖。另外,對(duì)于單位反饋系統(tǒng),MATLAB可調(diào)用cloop()函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù),其調(diào)用格式為

［num,den］=cloop(num1,den1,sign)2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

46/272.6.4控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型

傳遞函數(shù)可以是時(shí)間常數(shù)形式,也可以是零極點(diǎn)形式,零極點(diǎn)形式是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母進(jìn)行因式分解得到的。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了零極點(diǎn)模型與時(shí)間常數(shù)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù),其調(diào)用格式分別為

［z,p,k］=tf2zp(num,den)［num,den］=zp2tf(z,p,k)其中第一個(gè)函數(shù)可將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)表示形式,而第二個(gè)函數(shù)可將零極點(diǎn)表示方式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。

2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

47/27例如

G(s)=用MATLAB語句表示：>>num=［12241220］;den=［24622］;>>［z,p,k］=tf2zp(num,den)z=－1.9294－0.0353＋0.9287i－0.0353－0.9287i

2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

48/27p=－0.9567＋1.2272i－0.9567－1.2272i－0.0433＋0.6412i－0.0433－0.6412i

k=6即變換后的零極點(diǎn)模型為G(s)=2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

49/27可以驗(yàn)證MATLAB的轉(zhuǎn)換函數(shù),調(diào)用zp2tf()函數(shù)將得到原傳遞函數(shù)模型。

>>［num,den］=zp2tf(z,p,k)num=06.000012.00006.000010.0000den=1.00002.00003.00001.00001.0000

即

2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

50/272.6.5狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)特性的又一種數(shù)學(xué)模型,它由狀態(tài)方程和輸出方程構(gòu)成,即

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)式中

x(t)∈Rn

稱為狀態(tài)向量,n為系統(tǒng)階次;A∈Rn×n

稱為系統(tǒng)矩陣;B∈Rn×p

稱為控制矩陣,p為輸入量個(gè)數(shù);C∈Rq×n

稱為輸出矩陣;D∈Rq×p

稱為連接矩陣,q為輸出量個(gè)數(shù)。

2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

51/27在一般情況下,控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式項(xiàng)簡記為(A,B,C,D)。

例如：設(shè)一個(gè)雙輸入雙輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2.6在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

52/27系統(tǒng)模型可由MATLAB命令直觀地表示：>>A=［1,2,4;3,2,6;0,1,5］>>B=［4,6;2,2;0,2］>>C=［0,0,1;0,2,0］>>D=zeros(2,2)MATL