數(shù)學(xué)素材：點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥思考與討論答：都共面，如圖,a∩b＝A，過b上任意一點(diǎn)B作c∥a,則a、c可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈a，所以A∈α.又因?yàn)锽∈c,所以B∈α，所以AB?α，即b?α.所以a、b、c共面．同理在a上任取一點(diǎn)作b的平行線,都與a、b共面，所以這些平行線都共面．練習(xí)A1．(1)真命題；（2)真命題；(3）假命題;(4）假命題．2．由基本性質(zhì)1可知,直線AB在平面α內(nèi)．3．說明基本性質(zhì)2不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面這一道理．4．因?yàn)槠叫兴倪呅魏吞菪沃卸加幸唤M對(duì)邊平行，由平面基本性質(zhì)的推論3得:由這組平行對(duì)邊可確定一個(gè)平面,再由基本性質(zhì)1不難證出另一組對(duì)邊也在這個(gè)平面內(nèi)．5．在空間，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交和異面三種情況．6．略．練習(xí)B1．可以用細(xì)線分別連接相對(duì)的兩條腿下端，若兩條連線能交于一點(diǎn),說明四條腿的下端在同一個(gè)平面內(nèi)，否則不在同一個(gè)平面內(nèi)．2．點(diǎn)M在交線BD上．∵EF∩GH＝M，∴M∈EF,M∈GH.又∵EF、GH分別在平面ABD和平面CBD內(nèi)，∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD。又∵平面ABD∩平面CBD＝BD，∴M∈BD。3．一個(gè)平面能把空間分成2部分；兩個(gè)平面能把空間分成3或4部分;三個(gè)平面能把空間分成4或6或7或8部分．4．一個(gè)角一定是平面圖形，由平面基本性質(zhì)和推論2直接能得到．圓是平面圖形由圓的定義得到．5．三棱錐SABC如圖所示，其中SA與BC、SB與AC、SC與AB都是異面直線．6．(1）A∈l,B?l;(2）l?α，m?α,m∩α＝M；（3)α∩β＝l,A∈l。7．略．思考與討論結(jié)論1：空間中，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且對(duì)應(yīng)邊的方向都相反，那么這兩個(gè)角相等．結(jié)論2：空間中,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．證明:對(duì)于結(jié)論1,如圖（1)，延長(zhǎng)CA到C2，延長(zhǎng)BA到B2。由于BA∥B1A1，∴B1A1∥AB2,同理A1C1∥AC2.易知∠BAC＝∠C2AB2，且AB與AB2,AC與AC2方向相反,可知AB2與A1B1,AC2與A1C1方向相同，由等角定理可知,∠B2AC2＝∠B1A1C1.從而有∠BAC＝∠B1A1C1.所以結(jié)論1是成立的．對(duì)于結(jié)論2，如圖(2)，AC與A1C1平行且方向相同,AB與A1B1平行且方向相反，延長(zhǎng)BA到B2，就有AB2∥A1B1,且AB2與A1B1方向相同．由等角定理可知∠B2AC＝∠B1A1C1，由于∠B2AC＋∠BAC＝180°，∴∠BAC與∠B1A1C1互補(bǔ)．練習(xí)A1．把一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折兩次，打開后得4個(gè)全等的矩形,每個(gè)矩形的豎直邊是互相平行的，再應(yīng)用基本性質(zhì)4，可知它們的折痕是互相平行的．2．證明：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(AA′∥BB′,AA′＝BB′))?四邊形AA′B′B是平行四邊形?AB＝A′B′。同理可證BC＝B′C′,AC＝A′C′.因此△ABC≌△A′B′C′。練習(xí)B1．（1）×如圖所示長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，則∠ABC＝∠BB′C′且BC∥B′C′,但AB與BB′不平行．（2)×因?yàn)樵诳臻g四邊形中，若四條邊不共面則一定不是菱形．2．證明:在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC,EF＝eq\f（1，2）AC.同理HG∥AC，HG＝eq\f(1，2）AC，所以EF∥HG,EF＝HG,所以四邊形EFGH是平行四邊形．又因?yàn)镋F＝eq\f(1，2)AC，且EH＝eq\f（1,2)BD，AC＝BD。所以EF＝EH。所以四邊形EFGH是菱形．探索與研究答:圖形經(jīng)過平移后與原圖形是全等的,只是位置發(fā)生了變化，對(duì)應(yīng)角的大小和對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的距離保持不變．練習(xí)A1．直線在平面內(nèi),直線與平面相交，直線與平面平行．2．過平面外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行．3．是,因?yàn)镃D∥AB，由直線和平面平行的判定定理可知CD與桌面所在的平面平行．4．(1）平面A′B′C′D′，平面DCC′D′；(2）平面BCC′B′，平面DCC′D′；(3）平面A′B′C′D′，平面BCC′B′.練習(xí)B1．（1）×當(dāng)a在經(jīng)過b的平面內(nèi)時(shí)，結(jié)論不成立．(2)√經(jīng)過平面外一點(diǎn)可以作一個(gè)平面與已知平面平行，在所作的平面內(nèi)，經(jīng)過該點(diǎn)存在著無(wú)數(shù)多條直線與已知平面平行．2．(1）×直線不在平面內(nèi)有兩種情形:直線與平面平行，直線與平面相交．（2)√因?yàn)橛善叫泄碇?，過直線外一點(diǎn)可以作唯一一條直線與已知直線平行，過所作的直線可以存在無(wú)數(shù)個(gè)平面，只要這些平面不過已知直線就與已知直線平行．（3)×過直線作一平面與已知平面相交得一交線，已知平面內(nèi)與交線平行的直線都與已知直線平行,但在已知平面內(nèi)與交線相交的直線與已知直線不平行．3．證明：∵AC∥BD，∴由AC、BD可確定一平面β?！唳痢搔拢紺D,且AB?β?！逜B∥α，∴AB∥CD。∴四邊形ABDC為平行四邊形，∴AC＝BD。4．證明：連接BD，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知BB′DD′，∴四邊形BB′D′D為平行四邊形,∴B′D′∥BD.∵BD?平面ABCD，B′D′?平面ABCD，∴B′D′∥平面ABCD。思考與討論1．答：不一定，還有可能相交，如圖所示,a∥a′，b∥b′,a與b確定α，a′與b′確定β，α與β相交．2．答：平行，因?yàn)槿籀痢桅?，則α與β無(wú)公共點(diǎn)，則α內(nèi)的直線a與β無(wú)公共點(diǎn)，所以α∥β。練習(xí)A1．（1)√(2)×（3)√(4)×(5）×2．若平面α∥平面β,平面β∥平面γ，則平面α∥平面γ.如圖,作相交平面ρ,π，分別與平面α,β，γ相交于直線a1，b1；a2，b2;a3，b3.因?yàn)棣痢桅?，所以a1∥a2，b1∥b2。又β∥γ，所以a2∥a3，b2∥b3，所以a1∥a3，b1∥b3。所以平面α∥平面γ.評(píng)注：平面ρ、π是根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理而作的兩個(gè)輔助平面，此法可稱作“輔助平面法"．3．平面與平面有兩種位置關(guān)系：一種是相交，此時(shí)兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)多個(gè)公共點(diǎn),且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線；另一種是平行，此時(shí)兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)．4．（1）證明：∵PA∩PC＝P,∴由PA、PC可確定一平面γ。由條件知γ與α、β分別交于AC、BD，∵α∥β，∴AC∥BD。（2）解:由（1）知△PAC∽△PBD，∴eq\f(PA，PB）＝eq\f(PC,PD).∴PD＝eq\f（PB·PC,PA)＝eq\f(（4＋5)×3，4)＝eq\f(27,4）（cm)．答：PD的長(zhǎng)為eq\f(27，4)cm。練習(xí)B1．（1)√(2)×只有直線與平面平行時(shí),過直線與平面平行的平面有且只有一個(gè)；當(dāng)直線與平面相交時(shí)，過直線不能作出與已知平面平行的平面．2．已知：平面α∥平面β，AB和CD為夾在α，β間的平行線段．求證：AB＝CD。證明：因?yàn)锳B∥CD，所以AB和CD確定平面AC.又因?yàn)橹本€AD,BC分別是平面AC與平面α，β的交線，所以AD∥BC，四邊形ABCD是平行四邊形．因此AB＝CD。3．由平行平面截線段對(duì)應(yīng)成比例知AB＝eq\f(15，4)cm，BC＝eq\f(45,4)cm?！遝q\f(AB，BC）＝eq\f（DE,EF），∴EF＝3DE＝15cm。注意：兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．思考與討論1．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．已知：AA′⊥α,AA′⊥β，求證：α∥β.證明：如圖，設(shè)經(jīng)過直線AA′的兩個(gè)平面γ、δ分別與平面α、β相交于直線b、b′和a、a′?！逜A′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a,AA′⊥a′，AA′、a、a′都在平面δ內(nèi)，由平面幾何知識(shí):在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行．∴a∥a′，∴a′∥α（線面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β。2．我們可以這樣定義兩平行平面的距離．由問題1可知，對(duì)于兩個(gè)平行的平面α,β，一定存在著與它們都垂直的直線，設(shè)為l，這樣的直線l稱為兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段，如圖，如果AA′、BB′都是平面α與β的公垂線段，那么AA′∥BB′.根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，有AB∥A′B′，所以四邊形AA′B′B是平行四邊形，故AA′＝BB′.由此我們得到,兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等．因此，我們可以把公垂線段的長(zhǎng)度定義為兩個(gè)平行平面間的距離．練習(xí)A1．在空間中，過任意一點(diǎn)都存在與已知直線垂直的直線，但不只有一條，事實(shí)上，有無(wú)數(shù)多條．因經(jīng)過一點(diǎn)可以作一個(gè)與已知直線垂直的平面,根據(jù)線面垂直的定義，在這個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與已知直線垂直．2．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中與AA1垂直的平面:平面ABCD，平面A1B1C1D1；與AB垂直的平面：平面ADD1A1，平面BCC1B1；與B1C1垂直的平面:平面ABB1A1，平面DCC1D1.3．如圖所示，將矩形ABCD對(duì)折后，折痕為EF，則四邊形AEFD和四邊形EBCF也為矩形，∴EF⊥AE，EF⊥EB。又AE∩BE＝E,∴EF⊥平面AEB，即折痕和桌面垂直．4．（1)垂直．因?yàn)槿切蔚娜我鈨蓷l邊都相交，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可知，這條直線與這個(gè)平面垂直．(2）不一定垂直．若這條直線垂直于梯形的相鄰兩條邊，則該直線與梯形所在的平面垂直；若這條直線垂直于梯形的上、下底所在的直線,則該直線不一定與梯形所在的平面垂直．（3)垂直．因?yàn)閳A的任意兩條直徑都相交，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可知，這條直線與這個(gè)平面垂直．5．不可以．若三角形的兩條邊能垂直同一個(gè)平面，根據(jù)直線和平面垂直的性質(zhì)可知這兩條邊平行，與三角形的性質(zhì)相矛盾．6．(1)√（2)√(3）×練習(xí)B1．不正確．因?yàn)橹本€b有可能在平面內(nèi),也可能與平面相交，可能與平面平行．2．已知:OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，求證：OA⊥平面BOC。證明：因?yàn)镺A⊥OB,OA⊥OC,又OB∩OC＝O，所以O(shè)A⊥平面BOC。3．證明:∵O為?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，∴OA＝OC，OB＝OD。∵PA＝PC,∴PO⊥AC?！逷B＝PD,∴PO⊥BD.∵AC∩BD＝O,∴PO⊥平面α.4．證明：如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO、DO.∵AB＝AC，∴AO⊥BC。又∵DB＝DC,∴DO⊥BC。又∵AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.又∵AD?平面AOD,∴BC⊥AD.5．垂直．如圖所示，設(shè)α∥β，l⊥α,過l作兩個(gè)平面，分別與α、β交于a，a′和b，b′?！擀痢桅拢郺∥a′，b∥b′.∵l⊥α，∴l(xiāng)⊥a，l⊥b，∴l(xiāng)⊥a′，l⊥b′.又a′∩b′＝O′,∴l(xiāng)⊥β。探索與研究答：（1）由圖可知，平面α是線段AA′的中垂面，根據(jù)定義可知，平面α內(nèi)的所有點(diǎn)到A、A′兩點(diǎn)的距離相等;平面α內(nèi)所有過點(diǎn)O的直線都是AA′的垂直平分線；平面α內(nèi)的任何一條直線都與AA′垂直．(2）我們所學(xué)過的空間圖形可以分為兩類：一是多面體，二是旋轉(zhuǎn)體．多面體中，所有的直棱柱(包括常見的正方體、長(zhǎng)方體等）都是鏡面對(duì)稱圖形．旋轉(zhuǎn)體中,圓柱和球都是鏡面對(duì)稱圖形．練習(xí)A1．如圖所示．過B點(diǎn)作BO⊥AC，連接DO，折疊后，只要∠BOD＝90°,則平面ABC⊥平面DAC。2．垂直．3．(1)不正確．（2)不正確．當(dāng)直線與平面斜交時(shí)，只能作一個(gè)．4．證明：∵OX⊥OY，OX⊥OZ,OY∩OZ＝O，∴OX⊥平面YOZ.而OX?平面XOY，OX?平面XOZ，∴平面XOY⊥平面YOZ，平面XOZ⊥平面YOZ.又∵∠YOZ＝90°，∴平面XOY⊥平面XOZ.練習(xí)B1．如圖所示，它們分別把空間分成4部分、8部分．2．因?yàn)榍咴谵D(zhuǎn)動(dòng)過程中，轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊始終與不轉(zhuǎn)的一邊垂直，所以不轉(zhuǎn)的一邊垂直于平面,而不轉(zhuǎn)的一邊又在另一個(gè)平面內(nèi)，所以兩平面垂直，若不轉(zhuǎn)動(dòng)，則不能確定兩平面垂直．3．過P點(diǎn)作直線l∥CD即可．取CD的中點(diǎn)O，連接AO、BO.由正三棱錐的性質(zhì)得AO⊥CD，BO⊥CD。而AO∩BO＝O，∴CD⊥平面AOB。又∵AB?平面AOB，∴CD⊥AB.又∵l∥CD，∴l(xiāng)⊥AB。習(xí)題12A1．(1）不正確．因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的．（2）不正確．因?yàn)閮蓚€(gè)相交平面的公共點(diǎn)是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，且它們的集合是兩個(gè)平面的交線．（3)不正確．因?yàn)檫^不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．（4)正確．因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．2．（1)不共線(2)相交，平行(3）過該點(diǎn)的（4)異面3．不一定是平面圖形,因?yàn)橛锌赡芩膫€(gè)頂點(diǎn)不共面．4．一條直線與兩條平行直線都相交,則這三條直線共面．5．(1）√（2）×6．證明:∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF∥AC,EH∥BD?！逜C?平面EFG，EF?平面EFG，∴AC∥平面EFG?！連D?平面EFG,EH?平面EFG，∴BD∥平面EFG。7．（1）√（2)×（3)×（4）√8．證明：∵AB∥α，過AB作三個(gè)平面與α交于a、b、c，∴AB∥a，AB∥b,AB∥c，∴a∥b∥c。9．證明:連接EE′，F(xiàn)F′.由正方體的性質(zhì)知AE∥A′E′.又∵AE＝A′E′，∴四邊形AEE′A′為平行四邊形，∴EE′AA′。同理FF′AA′，∴EE′FF′?！嗨倪呅蜤FF′E′為平行四邊形．∴EF∥E′F′且EF＝E′F′.10．AA′、BB′、CC′、DD′、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。11．證明:∵a∥b，a?β，b?β，∴a∥β.又a?α,α∩β＝l，∴a∥l.∴b∥l。12．證明：∵α∩β＝CD，∴CD?α,CD?β.∵EA⊥α,∴EA⊥CD.∵EB⊥β，∴EB⊥CD。∵EA∩EB＝E,∴CD⊥平面ABE?！逜B?平面ABE，∴CD⊥AB.習(xí)題12B1．過一個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)平面；過兩個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)平面；過不共線的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．2．(1)√（2）×3．不能共線．4．三條直線兩兩平行且