數(shù)學課件 4.1定積分的概念

一、案例

二、知識要點

三、應用4.1定積分的概念

一、案例[曲邊梯形的面積]曲邊梯形由連續(xù)曲線與兩條直線所圍成。軸用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（一）兩個實例【實例一】求曲邊梯形的面積

二、知識要點下面我們討論曲邊梯形面積：

我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？主要思路：播放

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入若干個分點把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間第i個小區(qū)間的長度為經(jīng)過每一個分點作平行于y軸的（i=1,2,…，n）第一步：分割.窄曲邊梯形，各個窄曲邊梯形直線段，把曲邊梯形分成n個的面積記為在每個小區(qū)間上任取一點以為底，為高的小矩形面積為第二步：取近似.把它作為窄曲邊梯形面積的近似值，即將各窄曲邊梯形面積的近似值加起來第三步：求和.即得所求曲邊梯形面積的近似值：

當分割無限加細，記小區(qū)間的最大長度為當時，取上述和式的極限，第四步：取極限.得曲邊梯形的面積為

求曲邊梯形的面積就歸結(jié)為求上述這種和式的極限

【實例二】變速直線運動的路程主要思路：第一步：分割.第二步：取近似.第三步：求和.第四步：取極限.（二）定積分的定義上可積，極限I稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，其中為積分號，函數(shù)f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx

稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限,b稱為積分上限，區(qū)間[a,b]稱為積分區(qū)間．記作若上述和式的極限存在為I，則稱函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]

【注意】【定理4.1.1】【例題4.1.1】利用定義計算定積分解把區(qū)間[0

1]分成n等份

分點為

小區(qū)間長度為

取，作積分和

因為,當λ

0時

n

所以(三)定積分的幾何意義圖1圖2圖3圖4【例題4.1.2】用定積分幾何意義，求圖5

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：

觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系：