大學數(shù)學課件 1、1初等函數(shù)

模塊一函數(shù)、極限與連續(xù)

1.1初等函數(shù)

1.2數(shù)列的極限

1.3函數(shù)的極限

1.4無窮小與無窮大量模塊一函數(shù)、極限與連續(xù)

1.5極限的運算

1.6函數(shù)的連續(xù)性（一）

1.7函數(shù)的連續(xù)性（二）

1.8第一模塊習題授課說明授課班級11級機械類日期2011年9月日授課題目1.1初等函數(shù)授課內(nèi)容1.函數(shù)的定義2.分段函數(shù)、顯函數(shù)、隱函數(shù)、反函數(shù)的定義3.函數(shù)的性質(zhì)4.初等函數(shù)教學形式多媒體講授目的要求熟練掌握函數(shù)的定義、定義域、對應(yīng)法則，了解分段函數(shù)、顯函數(shù)、隱函數(shù)、反函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性。重點難點函數(shù)定義域的求法，判斷函數(shù)的四大特性復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程作業(yè)布置課后作業(yè)書1.1初等函數(shù)

一、案例

二、知識要點

三、應(yīng)用

一、案例案例1[距離與時間的關(guān)系]在自由落體運動中，物體下落的時間t與距離s之間存在下列依賴關(guān)系：，其中g(shù)是重力加速度。假定物體著地的時刻為t=T，則對每一個t∈[0,T]，由上式可知，s都有一個確定的數(shù)值與其對應(yīng)。

我們知道，一天的氣溫隨著時間的變化而變化。如何準確地表示氣溫與時間之間的變化關(guān)系呢？案例2[氣溫與時間的關(guān)系]

案例3[圓面積公式]圓的面積A與半徑r的函數(shù)關(guān)系為二、知識要點（1.1.1）函數(shù)概念

函數(shù)常用的表示法有三種：解析法、列表法和圖形法．設(shè)x和y

是兩個變量，D是一個給定的非空數(shù)集。如果對于每一個數(shù)x∈D

，按照一定的法則，變量y總有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱y

是x

的函數(shù)，記作y=f(x)，其中x為自變量，y為因變量。

1、函數(shù)的定義2、鄰域所謂點a的δ鄰域，是指以a為中心的開區(qū)間(a-δ,a+δ)．也就是說，設(shè)a，δ為兩個實數(shù)，δ＞0，則稱滿足不等式的實數(shù)的全體為點a的δ鄰域．點a為該鄰域的中心，δ為該鄰域的半徑．例如：5的0.2鄰域區(qū)間形式：（5-0.2，5+0.2）絕對值不等式形式：,或5-0.2<x<5+0.2,數(shù)軸表示：

55+0.25-0.2去心鄰域若把鄰域(a-δ,a+δ)中的中心點a去掉，稱為點a的去心δ鄰域，可表示為(a-δ，a)∪(a,a+δ)，或．為了方便，有時把開區(qū)間(a-δ,a)稱為點的左鄰域，把開區(qū)間(a,a+δ)稱為點的右鄰域．例如：5的0.2去心鄰域：區(qū)間形式：（5-0.2，5）∪（5，5+0.2）絕對值不等式形式：,

或5-0.2<x<5∪

5<x<5+0.2,數(shù)軸表示：

55+0.25-0.23、分段函數(shù)對于自變量的不同取值范圍，有不完全相同的對應(yīng)法則的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。例如：，都是分段函數(shù)．注意：

①分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)；

②分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集．4、顯函數(shù)和隱函數(shù)若函數(shù)中的因變量用自變量的表達式直接表示出來，這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)。例如：，一般地，若兩個變量x,y的函數(shù)關(guān)系用方程F(x,y)=0的形式來表示，即x,y的函數(shù)關(guān)系隱藏在方程里，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù)。例如：，注意：有的隱函數(shù)，可以從方程中解出來化為顯函數(shù)，這個過程稱為隱函數(shù)的顯化。例如：=>但有的隱函數(shù)化為顯函數(shù)比較困難，甚至是不可能的．例如由方程確定的隱函數(shù)就不能化為顯函數(shù)。5、反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D，y

∈Z.若對于任何一個y

∈Z，D中都存在唯一的x，使得f(x)=y，這時，x是以Z為定義域的y的函數(shù)，稱它為y=f(x)的反函數(shù)，記作在函數(shù)中，y

是自變量，x是因變量。按照習慣，對調(diào)x

，y

，將其改寫為注意：①函數(shù)y=f(x)，x∈D與互為反函數(shù)，它們的定義域與值域互換。②在同一直角坐標系下，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y=f(x)，x∈D與的圖形關(guān)于直線y=x對稱。例題1【定理1】反函數(shù)存在定理

單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且單調(diào)增加(減少)的函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加(減少)的．求函數(shù)的反函數(shù)可以按以下步驟進行：⑴、從方程y=f(x)中解出唯一的x，并寫成；⑵、將中的字母對調(diào)，得到函數(shù)，這就是所求的函數(shù)的反函數(shù)。（1.1.2）函數(shù)性質(zhì)

設(shè)有函數(shù),若對任意兩點時，總有：(1)則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上是單調(diào)增加的，區(qū)間(a,b)稱為單調(diào)增加區(qū)間；(2)則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上是單調(diào)減少的，區(qū)間(a,b)稱為單調(diào)減少區(qū)間．單調(diào)增加的函數(shù)和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，單調(diào)增加區(qū)間和單調(diào)減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。

1、單調(diào)性設(shè)函數(shù)，如果存在M>0，使得對任意x∈D,均有成立，則稱函數(shù)f(x)在D內(nèi)是有界的；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在D內(nèi)是無界的．例如：y=sinx是有界函數(shù)，其中對任意的均有；而是無界函數(shù)，因在上僅有下界。2、有界性

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，如果對于定義域內(nèi)的每一x都有(1)、f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；(2)、f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱．如果函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)．例如，是奇函數(shù)；是偶函數(shù)。

3、奇偶性設(shè)函數(shù)，如果存在常數(shù)，對任意，恒成立，則稱函數(shù)為周期函數(shù)；使上式成立的最小正數(shù)T，稱為函數(shù)的最小正周期，簡稱周期．例如，的周期；的周期；正弦型曲線函數(shù)的周期為．

4、周期性基本初等函數(shù)為以下六類函數(shù)：y=C，C

是常數(shù)(1.1.3)、基本初等函數(shù)(1)常函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)(4)對數(shù)函數(shù)(a是常數(shù)且)(a是常數(shù)且)(2)冪函數(shù)，是常數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)(5)三角函數(shù)，，，，，，，，，，反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)(6)反三角函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成并且可以用一個解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。(1.1.4)、初等函數(shù)如等都是初等函數(shù)，，三、應(yīng)用

練習1[波形函數(shù)]在電子科學中，有大量波形函數(shù)，如下圖為周期為T的一鋸齒形波的圖象．此函數(shù)在一個周期上可用解析法表示為

練習2[股票曲線]

股票在某天的價格隨時間的變化關(guān)系常用圖形表示，如下圖所示為某一股票在某天的走勢圖。從股票曲線，我們可以看出這只股票在當天的價格和成交量波動情況。

練習3[物理實驗]

設(shè)某一物理現(xiàn)象的數(shù)學關(guān)系為，用實驗測得ti時刻的值，見下表所示…………

練習4[個人所得稅]

我國于2007年12月29日發(fā)布了《關(guān)于修改〈中華人民共和國個人所得稅法〉的決定》（第五次修正）將個稅免征額將從1600元／月上調(diào)至2000元／月，個人所得稅稅率表（工資、薪金所得適用）——級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（％）

1不超過500元的52超過500元至2000元的部分103超過2000元至5000元的部分154超過5000元至20000元的部分205超過20000元至40000元的部分256超過40000元至60000元的部分307超過60000元至80000元的部分358超過80000元至100000元的部分409超過100000元的部分45若某單位所有人的月收入都不超多4200元，請建立月收入與納稅金額之間的函數(shù)關(guān)系。解：設(shè)月收入為x元，納稅金額為y元，依題意，月收入與納稅金額之間的函數(shù)關(guān)系式為：某工廠生產(chǎn)計算機的日生產(chǎn)能力為0到100臺，工廠維持生產(chǎn)的日固定費用為4萬元，生產(chǎn)一臺計算機的直接費用(含材料費和勞務(wù)費)是4250元．試建立該廠日生產(chǎn)臺計算機的總費用函數(shù)，并指出其定義域．練習5

[生產(chǎn)費用]解設(shè)該廠日生產(chǎn)x臺計算機的總費用為y（單位：元），則y為日固定費用和生產(chǎn)x臺計算機所需總費用之和，即

由于該廠每天最多能生產(chǎn)100臺計算機，所以