2017年管理類聯(lián)考講義--數(shù)學(xué)

緒論及預(yù)備知識(shí)

一、數(shù)學(xué)試卷形式結(jié)構(gòu)及內(nèi)容大綱

1、試卷滿分及考試時(shí)間

試卷滿分為200分，考試時(shí)間為180分鐘。

2、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。不允許使用計(jì)算器。

3、試卷內(nèi)容與題型結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)75分，有以下兩種題型：

問題求解15小題，每小題3分，共45分

條件充分性判斷10小題，每小題3分，共30分

4、考查內(nèi)容

綜合能力考試中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)部分主要考查考生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和數(shù)據(jù)處理

能力，通過(guò)問題求解和條件充分性判斷兩種形式來(lái)測(cè)試。

試題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)范圍有：

(一)算術(shù)

1、整數(shù)

(1)整數(shù)及其運(yùn)算

(2)整除、公倍數(shù)、公約數(shù)

(3)奇數(shù)、偶數(shù)

(4)質(zhì)數(shù)、合數(shù)

2、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)

3、比與比例

4、數(shù)軸與絕對(duì)值

(二)代數(shù)

1、整式

(1)整式及其運(yùn)算

(2)整式的因式與因式分解

2、分式及其運(yùn)算

3、函數(shù)

(1)集合

1

(2)一元二次函數(shù)及其圖像

(3)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

4、代數(shù)方程

(1)一元一次方程

(2)一元二次方程

(3)二元一次方程組

5、不等式

(1)不等式的性質(zhì)

(2)均值不等式

(3)不等式求解：一元一次不等式(組)，一元二次不等式，簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式，簡(jiǎn)單分式不等式。

6、數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列

(三)幾何

1、平面圖形

(1)三角形

(2)四邊形(矩形、平行四邊形、梯形)

(3)圓與扇形

2、空間幾何體

(1)長(zhǎng)方體

(2)圓柱體

(3)球體

3、平面解析幾何

(1)平面直角坐標(biāo)系

(2)直線方程與圓的方程

(3)兩點(diǎn)間距離公式與點(diǎn)到直線的距離公式

(四)數(shù)據(jù)分析

1、計(jì)數(shù)原理

(1)加法原理、乘法原理

(2)排列與排列數(shù)

(3)組合與組合數(shù)

2、數(shù)據(jù)描述

(1)平均值

2

(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

(3)數(shù)據(jù)的圖表表示

直方圖，餅圖，數(shù)表。

3、概率

(1)事件及其簡(jiǎn)單運(yùn)算

(2)加法公式

(3)乘法公式

(4)古典概型

(5)伯努利里概型

二'數(shù)學(xué)命題特點(diǎn)

數(shù)學(xué)考試大綱內(nèi)容涵蓋初中和高中六年的知識(shí)，面大，量多，范圍廣，考生復(fù)習(xí)時(shí)很難抓住重點(diǎn)，同

時(shí)初數(shù)的解題技巧性極強(qiáng)，加大技巧的訓(xùn)練越來(lái)越重要。

三'預(yù)備知識(shí)

1、基本公式

(1)(.a+b)2=a2+2ab+b2

(2)Ca+b)3±3a2b+3ab2+b3

(3)(a-b)(a+b)=a2-b1

(4)a3±Z>3=(a士份(片減力口"+/)

(5)(a+b+c)-=a~+Z?~+c?+2ab+2ac+2Z>c

(6)u~+b+c~+ab+ac+be=2(a~+b++ab+etc+be)

=g[(a+6)2+(a+c)2+(￡>+c)2]

2、指數(shù)相關(guān)知識(shí)

(1)平方根

(2)算術(shù)平方根

3、條件充分性判斷

從大綱要求上看，條件充分性判斷題主要考查考生對(duì)數(shù)學(xué)的基本概念、基本方法的熟練掌握程度，并

能夠迅速準(zhǔn)確地判斷題干中陳述的結(jié)論可否由條件(1)或(2)推出。因而考生在備考時(shí)應(yīng)對(duì)于充分條件

的有關(guān)概念、聯(lián)考題型的結(jié)構(gòu)及其邏輯關(guān)系以及解題策略和應(yīng)試技巧等有一個(gè)全面的理解和把握。

3

（1）、充分性命題定義

由條件A成立，就可以推出結(jié)論8成立（即AnB）,則稱A是8的充分條件。若由條件A,不能

推出結(jié)論8成立（即則稱A不是8的充分條件。

【注意】A是8的充分條件可巧妙地理解為：有A必有8,無(wú)A時(shí)8不定。

2、解題說(shuō)明

本大題要求判斷所給的條件能否充分支持題干中陳述的結(jié)論，即只要分析條件是否充分即可，不必考

慮條件是否必要。閱讀條件（1）和（2）后選擇:

A條件（1）充分，但條件（2）不充分

B條件（2）充分，但條件（1）不充分

C條件（1）和條件（2）單獨(dú)都不充分，但條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來(lái)充分

D條件（1）充分，條件（2）也充分

E條件（1）和條件（2）單獨(dú)都不充分，條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來(lái)也不充分

▲以上規(guī)定全講義適用，以后不再重復(fù)說(shuō)明。

3、常用求解方法

實(shí)際上，這類判斷題的求解即判斷下面三個(gè)命題的真假：

①條件（D成立，則題干結(jié)論成立；

②條件（2）成立，則題干結(jié)論成立；

③條件（1）和（2）都成立，則題干結(jié)論成立；

（1）解法一直接定義分析法（即由A推導(dǎo)8）

若由A可推導(dǎo)出則A是B的充分條件；若由A推導(dǎo)出與B矛盾的結(jié)論，則A不是B的充分條件。

該解法是解“條件充分性判斷”型題的最基本的解法，應(yīng)熟練掌握。

【例1】方程%2一3%-4=0成立。

(1)x=-l(2)(x-4)2<O,xeR

（2）解法二題干等價(jià)推導(dǎo)法（尋找題干結(jié)論的充分必要條件）

要判斷A是否是8的充分條件，可找出B的充要條件C,再判斷A是否是C的充分條件。

即：若BoC,而則AnB。特殊地，當(dāng)條件給定的參數(shù)范圍落入題干成立范圍時(shí)，即判斷

該條件是充分。

【例2】x-2是多項(xiàng)式/（%）=犬+2%2_辦+/,的因式。

（1）a=1,b=2（2）a=2,b=3

4

【例3】不等式|x—2|+|4—x|<s無(wú)解。

(1)s<2(2)s>2

x+1_vx+1

【例4】等式成立。

x-2Jx—2

(1)x>3(2)x<3

(3)解法三特殊反例法

由條件中的特殊值或條件的特殊情況入手，推導(dǎo)出與題干矛盾的結(jié)論，從而得到條件不充分的選擇。

【注】此方法不能用在條件具有充分性的肯定性的判斷上。

【例5】整數(shù)〃是140的倍數(shù)。

(1)〃是10的倍數(shù)(2)〃是14的倍數(shù)

【例6】a+6+c<0成立。

(1)實(shí)數(shù)”,dc在數(shù)軸上的位置如圖1-1所示

(2)實(shí)數(shù)a,A,c滿足條件a%c<0,且a<Z?<c

【例7】要使%〉1成立。

(1)a<l(2)a>l

第一章算術(shù)

【大綱考點(diǎn)】

1、整數(shù)

(1)整數(shù)及其運(yùn)算(2)整除、公倍數(shù)、公約數(shù)(3)奇數(shù)、偶數(shù)(4)質(zhì)數(shù)、合數(shù)

2、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)3、比與比例4、數(shù)軸與絕對(duì)值

一、數(shù)的概念與性質(zhì)

1、自然數(shù)N(非負(fù)整數(shù))：0,1,2,-

5

整數(shù)Z：…，-2,-1,0,1,2,

分?jǐn)?shù)：將單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。

2、數(shù)的整除

設(shè)。力是任意兩個(gè)整數(shù)，其中6/0,如果存在一個(gè)整數(shù)q,使得等式a=bq成立，則稱〃整除。或a

能被A整除，記作“a,此時(shí)我們把匕叫做。的因數(shù)，把。叫做b的倍數(shù)。如果這樣的4不存在，則稱6不

整除a,記做

3、整除的性質(zhì)

(1)如果c|Z?,A|a,則c|a；

(2)如果c|Z?,c|a,則對(duì)任意的整數(shù)機(jī)，〃有c|("+〃b)；

4、常見整除的特點(diǎn)

能被2整除的數(shù)：個(gè)位為0,2,4,6,8。

能被3整除的數(shù)：各數(shù)位數(shù)字之和必能被3整除。

能被4整除的數(shù)：末兩位(個(gè)位和十位)數(shù)字必能被4整除。

能被5整除的數(shù)：個(gè)位為?；?。

能被6整除的數(shù)：同時(shí)滿足能被2和3整除的條件。

能被8整除的數(shù)：末三位(個(gè)位、十位和百位)數(shù)字必能被8整除。

能被9整除的數(shù)：各數(shù)位數(shù)字之和必能被9整除。

能被10整除的數(shù)：個(gè)位必為0。

能被11整除的數(shù)：從右向左，奇數(shù)位數(shù)字之和減去偶數(shù)位數(shù)字之和能被11整除(包括0)。

能被12整除的數(shù)：同時(shí)滿足能被3和4整除的條件。

連續(xù)k個(gè)正整數(shù)的乘積能被左!整除。

5、帶余除法

設(shè)a力是任意兩個(gè)整數(shù)，其中6>0,則存在整數(shù)4/使得a=匕4+r,0<r〈人成立，而且4/都是唯

一的。g叫做。被b除所得的不完全商，一叫做。被b除所得到的余數(shù)。

6、奇數(shù)與偶數(shù)

不能被2整除的數(shù)稱為奇數(shù)；能被2整除的數(shù)稱為偶數(shù)。

【注】0屬于偶數(shù)。

6

7、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，則稱這個(gè)整數(shù)是質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù))；一個(gè)大于1

的整數(shù)，如果除了1和它本身，還有其他的正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)是合數(shù)(或復(fù)合數(shù))。

1

正整數(shù)＜質(zhì)數(shù)

、合數(shù)

【質(zhì)數(shù)、合數(shù)的判斷方法】對(duì)于一個(gè)不大的自然數(shù)”(〃＞1,〃非完全平方數(shù))，可用下面的方法判斷它

是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，先找出一個(gè)大于〃的最小完全平方數(shù)42,再寫出女內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，若這些質(zhì)數(shù)都不能整

除〃，則〃是質(zhì)數(shù)；若這些質(zhì)數(shù)中有一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除〃，則“為合數(shù)。

8、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的重要性質(zhì)

(1)質(zhì)數(shù)和合數(shù)都在正整數(shù)范圍，且有無(wú)數(shù)多個(gè)。

(2)2是唯一的既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)，即是唯一的偶質(zhì)數(shù)。大于2的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)。質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)

偶數(shù)是2,最小的質(zhì)數(shù)也是2。

(3)若p是一質(zhì)數(shù)，。是任一整數(shù)，則。能被p整除或p與?；ベ|(zhì)(p與。的最大公因數(shù)是1)。

(4)設(shè)0是一質(zhì)數(shù)，a,6是整數(shù)，若p|a為，則必有或p|Z＞。

(5)推廣：設(shè)p是一質(zhì)數(shù)，q,a2，L是〃個(gè)整數(shù)，若pl"?用，L?q,則0一定能整除其中一個(gè)為。

(6)若正整數(shù)a1的積是質(zhì)數(shù)0,則必有a=/2或6=p。

(7)1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

(8)如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個(gè)是2；如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有

一個(gè)是2o

(9)最小的合數(shù)是4。任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積，能寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)是合數(shù)。

9、最大公約(因)數(shù)與最小公倍數(shù)

設(shè)。力是兩個(gè)整數(shù)，若整數(shù)c滿足c|a,c|。，則c稱為。和b的公約數(shù)。a和匕的所有公約數(shù)中的最大

者稱為a和匕的最大公約數(shù)，記為(。/)。

分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)稱為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或既約分?jǐn)?shù)。

設(shè)。力是兩個(gè)整數(shù)，若整數(shù)c滿足。卜力卜，則c稱為a和b的公倍數(shù)。a和匕的所有公倍數(shù)中的最小

者稱為。和匕的最小公倍數(shù)記為［a,b］。

10、互質(zhì)數(shù)

7

公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)稱為互質(zhì)數(shù)。即若(a/)=1,則稱。力互質(zhì)。

11、公倍數(shù)與公因數(shù)的性質(zhì)

設(shè)。力是任意兩個(gè)正整數(shù)，則有：

(1)a/的所有公倍數(shù)就是切的所有倍數(shù)，即若a|d且b|d,則一，句|d；

nh

(2)[a,b]=----。特別地，當(dāng)(a,A)=l時(shí)，有[a,A]=a)。

(a,b)

【典型例題】

【例1】從1到120的自然數(shù)中，能被3整除或能被5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)是()個(gè)。

(A)64(B)48(C)56(D)46(E)72

【例2】若"是一個(gè)大于100的正整數(shù)，則“一定有約數(shù)()

(A)5(B)6(C)7(D)8(E)以上結(jié)論均不正確

[例3]一班同學(xué)圍成一圈，每位同學(xué)的一側(cè)是一位同性同學(xué)，而另一側(cè)是兩位異性同學(xué)，則這班的同學(xué)

人數(shù)()

(A)一定是4的倍數(shù)(B)不一定是4的倍數(shù)(C)一定不是4的倍數(shù)

(D)一定是2的倍數(shù)，不一定是4的倍數(shù)(E)以上結(jié)論均不正確

【例4】某人左右兩手分別握了若干顆石子，左手中石子數(shù)乘3加上右手中石子數(shù)乘4之和為29,則右手

中石子數(shù)為()

(A)奇數(shù)(B)偶數(shù)(C)質(zhì)數(shù)(D)合數(shù)(E)以上結(jié)論均不正確

【例5】正整數(shù)N的8倍與5倍之和，除以10的余數(shù)為9,則N的最末一位數(shù)字為()

(A)2(B)3(C)5(D)9(E)以上結(jié)論均不正確

【例6】9121除以某質(zhì)數(shù)，余數(shù)得13,這個(gè)質(zhì)數(shù)是()

(A)7(B)11(C)17(D)23(E)以上結(jié)論均不正確

8

1661

【例7】已知3個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和為-----，則這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和為（）

1986

（A）334（B）335（C）336（D）338（E）不存在滿足條件的三個(gè)質(zhì)數(shù)

【例8】有5個(gè)最簡(jiǎn)正分?jǐn)?shù)的和為1,其中的三個(gè)是士!一，其余兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為兩位整數(shù)，且這兩個(gè)

379

分母的最大公約數(shù)是21,則這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積的所有不同值的個(gè)數(shù)為（）

（A）2個(gè)（B）3個(gè)（C）4個(gè)（D）5個(gè)（E）無(wú)數(shù)多個(gè)

【例9】?jī)蓚€(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是6,最小公倍數(shù)是90,滿足條件的兩個(gè)正整數(shù)組成的大數(shù)在前的數(shù)對(duì)

共有（）

（A）1對(duì)（B）2對(duì)（C）3對(duì)（D）4對(duì)（E）5對(duì)

【例10】三名小孩中有一名學(xué)齡前兒童（年齡不足6歲），他們的年齡都是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），且依次相差6歲，

他們的年齡之和為（）

（A）21（B）27（C）33（D）39（E）51

【例11】三個(gè)質(zhì)數(shù)之積恰好等于它們和的5倍，則這三個(gè)質(zhì)數(shù)之和為（）

(A)11(B)12(C)13(D)14(15)15

【例12】條件充分性判斷

1、x=翳成立

1

198+()°

(1)x=23.456

(2002+2000+1998+L+4+2)—(2001+1999+1997+L+3+1)

/、1111

(2)X—1H-----1------l-TLH--------

1x22x399x100

2、自然數(shù)n的各位數(shù)字之積為6

（1）n是除以5余3,且除以7余2的最小自然數(shù)

（2）n是形如2”（m是正整數(shù)）的最小自然數(shù)

3、龍皿+爐似可取兩個(gè)不同的值

9

（1）實(shí)數(shù)x,y滿足條件（尤+y）99=T

（2）實(shí)數(shù)x,y滿足條件（尤—y）i°°=l

4、(?,b)=30,[?,Z?]=18900

(1)a=2100,b=270(2)a=140,Z?=810

5、機(jī)為偶數(shù)

（1）設(shè)”.為整數(shù)，771="（77+1）

（2）在1,2,3,L,1998這1998個(gè)自然數(shù)中的相鄰兩個(gè)數(shù)之間任意添加一個(gè)加號(hào)或減號(hào)，設(shè)這樣組成

的運(yùn)算式的結(jié)果是相。

6、有偶數(shù)位來(lái)賓（）

（1）聚會(huì)時(shí)所有來(lái)賓都在一張圓桌周圍，且每位來(lái)賓與鄰座性別不同。

（2）聚會(huì)時(shí)，男賓是女賓的2倍。

二、數(shù)的分類

1、實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)

r正整數(shù)］

r正有理數(shù)1正分?jǐn)?shù)有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)

「有理數(shù)0J負(fù)整數(shù)

I負(fù)有理數(shù)t負(fù)分?jǐn)?shù)

實(shí)數(shù)「正無(wú)理數(shù)］

無(wú)理數(shù)｛\無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

〔負(fù)無(wú)理數(shù)J

<11>按性質(zhì)符號(hào)分類

J正整數(shù)

/正有理數(shù)1正分?jǐn)?shù)

r正實(shí)數(shù)t正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)oj負(fù)整數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)［負(fù)有理數(shù)1負(fù)分?jǐn)?shù)

I負(fù)無(wú)理數(shù)

2、數(shù)軸

數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的一條直線。

-10

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)——對(duì)應(yīng)。

10

數(shù)軸上的點(diǎn)從左到右的順序，就是對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)從小到大的順序。

對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,用［X］表示不超過(guò)X的最大整數(shù)；令｛%｝=%-［幻，稱［X］是X的整數(shù)部分，度｝是X

的小數(shù)部分。

3、實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)

(1)若Pa,beR,則在a<da=仇。>心中有且只有一個(gè)成立；

(2)\/a,則/NO。

4、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不等于零)仍然是實(shí)數(shù)。

(1)四則運(yùn)算

加法交換律a+b+

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+

乘法交換律ab=b)

乘法結(jié)合律(?b)G=<b

分配率a(b+c)=ab+ac

。與—a互為相反數(shù)

a(aw0)與1互為倒數(shù)

a

(2)乘方與開方運(yùn)算

若x"=a,則a稱為x的幾次方(或〃次幕)，x稱為a的九次方根。a的正的〃次方根記作樂。

【性質(zhì)】正數(shù)的任何次方都是正數(shù)；

0的正數(shù)次方都是0；

負(fù)數(shù)的奇次方是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次方是正數(shù)；

正數(shù)的奇次方根是正數(shù)；

正數(shù)有兩個(gè)偶次方根，它們互為相反數(shù)；

0的幾次方根為0；

負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；

【運(yùn)算規(guī)律】

①a°=l(a#0)②「=——③疝@aman=am+n

an

11

mn

⑤>=""一"@(am)n=anm⑦(")"=a?"⑧(q)，=勺

anbbn

5、集合

(1)集合的概念

集合：將能夠確切指定的一些對(duì)象看成一個(gè)整體，這個(gè)整體就叫做集合，簡(jiǎn)稱集。

元素：集合中各個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。

(2)常用數(shù)集及記法

非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負(fù)整數(shù)的集合，記作N。

正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)除0的集合，記作N*或Z+。

整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作Z。

有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作。。

實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合，記作及。

【注】①自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說(shuō)，自然數(shù)集包括數(shù)0。

②非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，記作N*,Q,Z,R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣的表示，例如，整

數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*。

(3)集合的分類

有限集：含有有限個(gè)元素的集合。

無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。

規(guī)定：空集是不含任何元素的集合。

(4)元素與集合的關(guān)系

屬于：如果。是集合A的元素，就說(shuō)。屬于A,記作aeA；

不屬于：如果。不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A,記作a/A；

(5)集合中元素的特性

確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里或者不在，不能模棱兩可；

互異性：集合中的元素沒有重復(fù)；

無(wú)序性：集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗?；

【注】①集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A&CRQ等，元素通常用小寫的拉丁字母表示，如

a,b,c,p,q等;

②"e"的開口方向，不能把a(bǔ)wA顛倒過(guò)來(lái)寫。

12

【典型例題】

【例13】一輛出租車有段時(shí)間的營(yíng)運(yùn)全在東西走向的一條大道上，若規(guī)定向東為正、向西為負(fù)，且知該車

的行駛公里數(shù)依次為一10，+6,+5,—8,+9,-15,+12,則將最后一名乘客送到目的地時(shí)，該車的

位置()

(A)在首次出發(fā)地的東面1公里處(B)在首次出發(fā)地的西面1公里處

(C)在首次出發(fā)地的東面2公里處(D)在首次出發(fā)地的西面2公里處

(E)仍在首次出發(fā)地

【例14］下列各式正確的是()

(A)兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)(B)兩個(gè)無(wú)理數(shù)的乘積是無(wú)理數(shù)

(C)兩個(gè)無(wú)理數(shù)的乘積是有理數(shù)(D)一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無(wú)理數(shù)的乘積是無(wú)理數(shù)

(E)一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無(wú)理數(shù)相加減,其結(jié)果是無(wú)理數(shù)

(T)")(T)LQ—；)的值是(,

【例15】

0.1+0.2+0.3+L+0.9

213

(A)—(B)(C)()(E)

81iIDTV

［例16］(1+—)(1--)(1+—)(1--)L(1+—)(1——)=()

22339999

、50/、47、4750

(A)—(C)——(D)——(E)

97⑻H989999

【例17］已知a＜0,—1＜人＜0,那么()

(A)ab2<ab<a(B)a<ab<ab1(C)ab~<a<ab

(D)a<ab~<ab(E)以上結(jié)論均不正確

【例18】有一個(gè)正的既約分?jǐn)?shù)，如果其分子加上24,分母加上54后，其分?jǐn)?shù)值不變，那么此既約分?jǐn)?shù)

的分子與分母的乘積等于()

(A)24(B)30(C)32(D)36(E)38

【例19】把無(wú)理數(shù)逐記作a,它的小數(shù)部分記作b,則等于()

b

(A)1(B)-1(C)2(D)-2(E)以上答案均不正確

13

【例20】等式j(luò)?=(?y成立的條件是(

)

(A)。是任意實(shí)數(shù)(B)?>0(C)?<0(D)?>0(E)?<0

【例21]已知a=3+2應(yīng)力=3—20，貝|]"匕—必2的值為()

(A)4應(yīng)(B)3A/2(C)-4A/2(D)-372(E)-1

且等式a+b?+c0=45+2娓成立,貝qa+6+c的值等于(

【例22】a,b,c為有理數(shù),)

(A)0(B)1(C)2(D)3(E)以上結(jié)論均不正確

【例23】條件充分性判斷

1、x=^-l

(1)x=18+2岳(2)彳="_疝

2、a=b=0

(1)ab>0,(^)a+b=1(2)。力是有理數(shù)，a是無(wú)理數(shù)，S.a+ba=Q

3、[劃,[川,口]分別表示不超過(guò)蒼-2的最大整數(shù)，則[x-y-z]可以取值的個(gè)數(shù)是3個(gè)

(1)[%]=5[y]=3[z]=l(2)[x]=5[y]=-3[z]=-l

三、絕對(duì)值

1、絕對(duì)值的定義

,,[a(.a>

實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值定義為：a=\0)

11[-a(tz<0).

即：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)、零的絕對(duì)值還是零

2、絕對(duì)值的幾何意義

實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值的幾何意義：數(shù)軸上實(shí)數(shù)a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(如圖1-2所示)。

14

3、絕對(duì)值的性質(zhì)

a,a>0

①問二<0,a—Q

-a.a<0

②同>0,a1>0,y[a>0

③M=同

④同2=〃2,^J~^2=同

同=〃n%=±a

⑤W<〃n%<a

⑥@=；=±l(aw0)

a\a\

⑦琲H崗，年用sw°)

\b\

⑧一|a區(qū)aV|a|

4、絕對(duì)值不等式(三角不等式)

(1)|a|-|Z?|<|a+Z?|<|?|+|/?|：

當(dāng)且僅當(dāng)"<0且同》同時(shí)，左邊等號(hào)成立；

當(dāng)且僅當(dāng)20時(shí)，右邊等號(hào)成立。

(2)|a|-|Z?|<|a-Z?|<|a|+|Z?|：

當(dāng)且僅當(dāng)帥NO且同習(xí)母時(shí)，左邊等號(hào)成立；

當(dāng)且僅當(dāng)。6<0時(shí)，右邊等號(hào)成立。

(3)||<7|-|z?||<|o+z?|<|<7|+|z?|：

當(dāng)且僅當(dāng)ab<0時(shí)，左邊等號(hào)成立；

當(dāng)且僅當(dāng)ab20時(shí)，右邊等號(hào)成立，

【典型例題】

【例24】已知是實(shí)數(shù)，43x+4+y2-6y+9=0,若axy—3x=y,則。等于()

1177c

(A)-(B)--(C)-(D)--(E)0

4444

15

【例25]已知|%—y+l|+(2x—y)2=0,求log/。

【例26】求適合下列條件的所有x的值

(1)|x-3|=8(2)|x-3|<8(3)|x-3|>8

【例27]已知|%—々區(qū)1,|y-x\<l,則有()

(A)|y-a\<2(B)|y-a\<1(C)|y+a\<2

(D)|y+a\<l(E)A、B、C、D都不正確

—11—2無(wú)

【例28]已知土一=二上,則x的取值范圍是()

33

(A)(-co,--](B)[―,+co)(C)(D)(-oo^—](E)(-oo,不)

【例29]若|。—c|<M|("cwO),則下列不等式成立的是()

(A)a>c-b(B)a<b+c(C)\a\<]b\+\c\(。)5|>|加—|c|(E)\a\>]b\+\c\

【例30】x,y,z滿足條件|x2+4^+5y2|+Jz+g=_2y-l,則(4x-10疔等于()

(A)l(3)0(C書(D)2(E)以上均不正確

6

17I/IjI\2013z、

■-ba\b\c\abc\beac〃人./士位/、

[例31]已1矢口---H-----1--=1A,貝！J--------+-；-：?-.—7---的值為()

\a\b\c\abcJ(口.口ca,

(A)1(B)-1(C)±1(D)-(E)不能確定

3

【例32]設(shè)y=|x—2|+|x+2],則下列結(jié)論正確的是()

(A)y沒有最小值(B)只有一個(gè)x使y取到最小值

(C)有無(wú)窮多個(gè)x使y取到最大值(D)有無(wú)窮多個(gè)x使y取到最小值

16

(E)以上結(jié)論均不正確

【例33)條件充分性判斷

1、\y-d\<2成立。

(1)(2)|2x-y|<1

凹-皿=-2成立

2、

ab

(1)a<0(2)b>0

3、函數(shù)/(x)的最小值為g

21

X-------

(1)/(%)=+x+—⑵/(%)=.~胃

1212卜一4

4,方程/(x)=l有且僅有一個(gè)實(shí)根

(I)f(x)=\x-l\(2)/(x)^x-l|+l

5、y/c^b=-ay/b

(1)a>0,b<0(2)a<0,b>0

6、方程k+l|+N=2無(wú)根

(1)xe(-oo,-l)(2)xe(-l,0)

四、比、比例、均值

1、比

兩個(gè)數(shù)相除，又稱為這兩個(gè)數(shù)的比。即。：6=@.其中a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。相除所得商

b

叫做比值。記作。：6=。/人=左，在實(shí)際應(yīng)用中，常將比值表示成百分?jǐn)?shù)，稱為百分比，如3：4=75%o

2、幾個(gè)重要關(guān)系

17

原值。增長(zhǎng)了p%＞現(xiàn)值?(1+P%);

原值a.降」”一＞現(xiàn)值a(l-p%)；

o

甲比乙大P%=甲乙=p°/oO甲=乙?(1+P%)；甲是乙的p°/oO甲=乙-P/o；

乙

【注】甲比乙大「％不等于乙比甲小0%,不要混淆。先減小.％,再增加0%并不能等于原數(shù)值。

3、比例

相等的比稱為比例，記作a:b=c:d或幺=￡。其中。和d稱為比例外項(xiàng)，〃和c稱為比例內(nèi)項(xiàng)。

bd

當(dāng)a:b=6:c時(shí)，稱卜為a和c的比例中項(xiàng)，顯然當(dāng)a,dc均為正數(shù)時(shí)，匕是a和c的幾何平均值。

4、正比

若y=(左不為零)，則稱y與x成正比，%稱為比例系數(shù)。

【注】并不是尤和y同時(shí)增大或減小才稱為正比。比如當(dāng)左＜0時(shí)，x增大時(shí)，y反而減小。

5、反比

若y=k/x(左不為零)，則稱y與九成反比，上稱為比例系數(shù)。

【注】同正比也不是反向增大或減小才稱為反比，如左＜0。

6、比例的基本性質(zhì)

(1)a;b=c:doad=bc

(2)a;b=c:dob:a=d:cob:d=a:cod:b=c;a

(3)(反比性質(zhì))-==-

bdac

(4)(更比性質(zhì))—=—＜^—=—

bdcd

…ca+bc+d

(5)(合比性質(zhì))一=一0------=-------

bdbd

/、/l、〃ca-bc-d

(6)(分比性質(zhì))一=一=----=-----

bdbd

(7)(合分比性質(zhì))@=￡=些絲，特別地，當(dāng)機(jī)=i時(shí)，有q=f=±_(；或者可寫成

bdb±m(xù)dbdbhc

-a=—ca+b=c+d

bda-bc-d

“、zA-A-rracema+c+e+La_,,八

(8)(等比性質(zhì))一=—=—=L=一=＞----------------=—,其中67+d+/r+LT+〃w0

bdfnZ7+d+/+L+nb

7、增減性變化關(guān)系(a,b,m＞0)

18

...cicima、、*l、—:、、、、.

右7>1,則-----<—o注思，反之不一定成反。

bb+mb

1卜CClI51〃+〃/U、、*L、T.v>.

右0<一<1,則----->—o注思，反之不一定成立O

bb+mb

8、平均值

(1)算術(shù)平均值

n

設(shè)幾個(gè)數(shù)和x,,L,無(wú)“，稱元=*+々+L+-為這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值,簡(jiǎn)記為元=上上

nn

(2)幾何平均值

設(shè)〃個(gè)正數(shù)%,%2，L,乙，稱”《玉—乙為這〃個(gè)數(shù)的幾何平均值，簡(jiǎn)記為％=

【注意】幾何平均值是對(duì)于正數(shù)而言。

(3)基本不等式

①當(dāng)為,々,……，/為n個(gè)正數(shù)時(shí)，它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即

X+X9+...+XM/--------------/\八.Y、

------------->-x2...xn(%>0,z=l,,n)

n

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=...=%八時(shí)，等號(hào)成立。

特別地，當(dāng)n=2時(shí)，有％之小X[X?(eR+),此時(shí)玉,馬的幾何平均值稱為X，/的

比例中項(xiàng)。

②。+422(?！?),即對(duì)于正數(shù)而言，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和不小于2,且當(dāng)。=1時(shí)取得最小值時(shí)2。

a

【例34】設(shè)!」：1=4:5:6,則使x+y+z=74成立的y值是(

)

xyz

(A)24(B)36(C)74/3(D)37/2(E)以上結(jié)論均不正確

13

【例35】已知y=%—%且％與M成反比例，%與k■成正比例。當(dāng)％=。時(shí)，y=-3,又當(dāng)x=l

時(shí)，y=l,那么y的無(wú)表達(dá)式是()

3r236

(A)y=—(B)y=3/———(C)y=3/+

2x+2x+2x+2

/、3x23

(￡?y=-------+-------(E)y=-3x2--—

2x+2x+2

19

【例36】求3、8、9這三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值。

【例37】將一條長(zhǎng)為a的線段截成長(zhǎng)為x和a—%的兩條線段，使x恰是。與a—%的幾何平均值。我們

稱對(duì)任意一個(gè)量。的這種分割為黃金分割，試求x。

【例38】三個(gè)實(shí)數(shù)1,x-2和x的幾何平均值等于4,5和-3的算術(shù)平均值，則x的值為()

(A)-2(B)4(C)2(D)—2或4(E)2或4

11

【例39】的算術(shù)平均值是2,幾何平均值也是2,則的幾何平均值是(

(A)2(B)A/2(C)與⑷4(E)以上結(jié)論均不正確

【例40】如果石,X,三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為5,則為+2,%-3,七+6與8的算術(shù)平均值為()

(A)3-(B)6-(C)7(D)9-(E)以上結(jié)論均不正確

423

【例41】直角邊之和為12的直角三角形的面積的最大值為()

(A)16(B)18(C)20(D)22(E)不能確定

【例42】條件充分性判斷

1、用ab表示十位是a,個(gè)位是人的一個(gè)兩位數(shù)，有aZ?:8a=(a+l)：S+l)成立

(1)拓是3的倍數(shù)

(2)拓是9的倍數(shù)

2、某公司得到一筆貸款共68萬(wàn)元，用于下屬三個(gè)工廠的設(shè)備改造。結(jié)果甲、乙、丙三個(gè)工廠按比例分別

得到36萬(wàn)元、24萬(wàn)元和8萬(wàn)元。

(1)甲、乙、丙三個(gè)工廠按工：工：，的比例分配貸款

239

(2)乙廠所得款額恰是甲廠所得款額與丙廠所得款額的2倍的比例中項(xiàng)

20

a+b+

3、=乎口成立

2

c+dy)c+d-

⑴/=三，且均為正數(shù)

ba

(2):=三,且。,d均為負(fù)數(shù)

ba

4、兩數(shù)a力的幾何平均值的3倍大于它的算術(shù)平均值

(1)滿足a?+〃<34必

(2)a力均為正數(shù)

5、某班學(xué)生的平均身高是1.66米

(1)該班有30名男生，他們的平均身高為1.70米

(2)該班有20名女生，她們的平均身高為1.60米

6、a力的算術(shù)平均值為8

(1)a/為不等的正整數(shù)，且的算術(shù)平均值為1

ab6

(2)。力為正整數(shù)，且工」的算術(shù)平均值為L(zhǎng)

ab6

7、已知a=log,,,力=gQ°g"，%+l°g，,丁)，。=glogm(x+y),則c〉Z?Na。

(1)x>2,y>2(2)0<m<1

8、a,b,。的算術(shù)平均值是14/3,而幾何平均值是4

(1)。力,。是滿足〃>/?>。>1的三個(gè)整數(shù)，b=4

(2)〃,反(?是滿足〃>力>。>1的三個(gè)整數(shù)，b=2

第二章應(yīng)用題

【備注】初數(shù)中最容易出錯(cuò)的地方就是應(yīng)用題，因?yàn)閼?yīng)用題的解題技巧很強(qiáng)，稍不留神就會(huì)掉入命題者的

陷阱里。關(guān)于初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用題有許多內(nèi)容，比如：百分比問題，溶液?jiǎn)栴}，工程問題等等，要總結(jié)有很

21

多，在這里只是選擇了幾個(gè)有代表性的應(yīng)用題內(nèi)容進(jìn)行講解。

常用的應(yīng)用題的解法有：

▲轉(zhuǎn)化法：改變思考的方式和角度，使復(fù)雜問題，轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的基本問題，或?qū)㈩}中條件，加以

轉(zhuǎn)化，或重新組合，以便得到明確的解題思路，另外把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中不同的單位制，轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一單位

制下的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系；

▲窮舉法：這是樸素且實(shí)用的方法，對(duì)討論對(duì)象加以分類，使問題簡(jiǎn)單化

▲圖解法：以圖形表達(dá)命題，幫助我們理解題意，發(fā)現(xiàn)隱含條件，找到解題途徑；

▲代數(shù)法：設(shè)未知量找等量關(guān)系分別方程。

除了這幾種常用的解法外，還有逆推法、綜合法、歸納法等等，可依據(jù)題目的類型和特點(diǎn)選擇使用。

一'比和比例'百分比

MBA聯(lián)考數(shù)學(xué)試題，每年都會(huì)出有關(guān)百分比的應(yīng)用題，并且相對(duì)較難，同時(shí)，還存在著百分比的標(biāo)準(zhǔn)量

不明確，或同一題中不同百分比各自有不同標(biāo)準(zhǔn)量，使應(yīng)試者難于判斷，失誤率高于其他應(yīng)用題的實(shí)際情

況，也說(shuō)明百分比問題是應(yīng)用類題型的一個(gè)難點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)：1.比例性質(zhì)（略）

2.變化率=冬始x100%

變刖量

1、打折問題

基本公式：售價(jià)=成本+利潤(rùn)

甲比乙多p%W乙比甲少p%

甲=乙（1+p%）甲=乙錯(cuò)誤!未找到引用源。

1-p%

【解題提示】要選對(duì)基準(zhǔn)量，注意折扣的變化與利潤(rùn)的關(guān)系。解題之關(guān)鍵是要分清成本價(jià)，原銷售價(jià)、“優(yōu)

惠價(jià)”和利潤(rùn)這幾個(gè)概念，有些題目還會(huì)給出利潤(rùn)所占的百分比，此時(shí)要注意，通常情況下毛利率這一百分比

的標(biāo)準(zhǔn)量是銷售價(jià)而不是成本價(jià)，這是在工商管理學(xué)的教材上明確定義的，但具體題目還是會(huì)有指明以成本

價(jià)計(jì)算利潤(rùn)率的情況，只能具體問題具體分析了，此題是已知最終售價(jià)即“優(yōu)惠價(jià)”，由此逆推，依所給條件去求

原價(jià),即可知盈虧。

【例1】某商品單價(jià)上調(diào)20%后，再降為原價(jià)的90%,則降價(jià)率為（）

A、30%B、2