2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題5.1任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)知識點講解含解析

專題5.1隨意角和弧度制及隨意角的三角函數(shù)【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.了解角、角度制與弧度制的概念，駕馭弧度與角度的換算.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義.3．本節(jié)涉及全部的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等.4.高考預(yù)料：（1）三角函數(shù)的定義；（2）扇形的面積、弧長及圓心角；（3）在大題中考查三角函數(shù)的定義，主要考查：一是干脆利用隨意角三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)值；二是依據(jù)隨意角三角函數(shù)的定義確定終邊上一點的坐標(biāo)．5.備考重點：(1)理解三角函數(shù)的定義；(2)駕馭扇形的弧長及面積計算公式.【學(xué)問清單】學(xué)問點1．象限角及終邊相同的角1．（1）隨意角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．2.弧度制：①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．3.弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad．學(xué)問點2．三角函數(shù)的定義1.隨意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個隨意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么（1）點P的縱坐標(biāo)叫角α的正弦函數(shù)，記作sinα＝y(tǒng)；（2）點P的橫坐標(biāo)叫角α的余弦函數(shù)，記作cosα＝x；（3）點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比叫角α的正切函數(shù)，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦學(xué)問點3．扇形的弧長及面積公式(1)弧長公式在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角大小為α，則|α|＝eq\f(l,r)，變形可得l＝|α|r，此公式稱為弧長公式，其中α的單位是弧度．(2)扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧長為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad，故其面積為S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，將l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式稱為扇形面積公式．(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示名稱角度制弧度制弧長公式l＝eq\f(nπr,180)l＝__|α|r__扇形面積公式S＝eq\f(nπr2,360)S＝eq\f(|α|,2)r2＝eq\f(1,2)lr留意事項r是扇形的半徑，n是圓心角的角度數(shù)r是扇形的半徑，α是圓心角的弧度數(shù)，l是弧長【典例剖析】高頻考點一象限角及終邊相同的角【典例1】（2024·樂陵市第一中學(xué)高三專題練習(xí)）假如，那么與終邊相同的角可以表示為A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，與終邊相同的角可以表示為．故選B．【規(guī)律方法】象限角的兩種推斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并依據(jù)象限角的定義干脆推斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限推斷已知角是第幾象限角．【變式探究】若角是其次象限角，試確定，的終邊所在位置．【答案】角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上,的終邊在第一象限或第三象限.【解析】∵角是其次象限角，∴，（1），∴角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上．（2），當(dāng)時，∴，∴的終邊在第一象限．當(dāng)時，∴，∴的終邊在第三象限．綜上所述，的終邊在第一象限或第三象限．【總結(jié)提升】象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}其次象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}高頻考點二三角函數(shù)的定義【典例2】已知角的終邊過點,且，則的值為()A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故選B.【典例3】已知角的終邊落在直線y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．【答案】【解析】當(dāng)角的終邊在第一象限時，在角的終邊上取點P(1,2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,1)＝2．當(dāng)角的終邊在第三象限時，在角的終邊上取點Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，得：sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,－1)＝2．【典例4】（2011·江西高考真題（文））已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則y=_______.【答案】-8【解析】依據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)，推斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該角為第四象限角.=【規(guī)律方法】1.已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解．2.已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可干脆寫出角α的三角函數(shù)值．【變式探究】1.（浙江省嘉興市第一中學(xué)期中）已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為()A.B.C.D.【答案】B【解析】由三角函數(shù)的定義可得．故選B．2.已知角的終邊在射線上，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題得在第四象限,且，所以故答案為：A.【總結(jié)提升】(1)已知角α的終邊在直線上的問題時，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．②留意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種狀況處理，取射線上隨意一點坐標(biāo)(a，b)，則對應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．(2)當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要依據(jù)問題的實際狀況對參數(shù)進(jìn)行分類探討．高頻考點三：三角函數(shù)值的符號判定【典例5】已知且，則角的終邊所在的象限是A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】依據(jù)題設(shè)及三角函數(shù)的定義可知角終邊上的點的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，所以終邊在其次象限，應(yīng)選答案B.【典例6】確定下列各式的符號：(1)sin105°·cos230°；(2)sineq\f(7π,8)·taneq\f(7π,8)；(3)cos6·tan6．【答案】【解析】先確定角所在象限，進(jìn)而確定各式的符號．(1)∵105°、230°分別為其次、第三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0．于是sin105°·cos230°<0．(2)∵eq\f(π,2)<eq\f(7π,8)<π，∴eq\f(7π,8)是其次象限角，則sineq\f(7π,8)>0，taneq\f(7π,8)<0．∴sineq\f(7π,8)·taneq\f(7π,8)<0．(3)∵eq\f(3π,2)<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0，則cos6·tan6<0．【總結(jié)提升】判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再依據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號．假如角不能確定所在象限，那就要進(jìn)行分類探討求解．【變式探究】1.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【答案】A【解析】∵，∴角的終邊落在其次象限或y軸的正半軸上．∴∴.故選A.2.(1)推斷下列各式的符號：①sin3·cos4·tan5；②α是其次象限角，sinα·cosα．(2)若cosθ<0且sinθ>0，則eq\f(θ,2)是第()象限角．A．一 B．三C．一或三 D．隨意象限角【答案】（1）①正，②負(fù)；（2）C【解析】(1)①eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．②∵α是其次象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴sinαcosα<0．(2)由cosθ<0且sinθ>0，知θ是其次象限角，所以eq\f(θ,2)是第一或三象限角．高頻考點四：扇形的弧長及面積公式

【典例7】（2024·湖北高考模擬（理））《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的閱歷公式：弧田面積=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.依據(jù)上述閱歷公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長為的弧田.其實際面積與依據(jù)上述閱歷公式計算出弧田的面積之間的誤差為（）平方米.（其中，）A．15B．16C．17D．18【答案】B【解析】因為圓心角為，弦長為，所以圓心到弦的距離為半徑為40，因此依據(jù)閱歷公式計算出弧田的面積為，實際面積等于扇形面積減去三角形面積，為，因此兩者之差為，選B.【典例8】（2024·河南高考模擬（理））已知圓與直線相切于，點同時從點動身，沿著直線向右、沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當(dāng)運動到點時，點也停止運動，連接，（如圖），則陰影部分面積，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．先，再，最終【答案】A【解析】如圖所示，因為直線與圓相切，所以，所以扇形的面積為，,因為，所以扇形AOQ的面積,即，所以，【典例9】已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】r=10cm,θ＝＝2rad,100cm2【解析】設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長為l，面積為S，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r.(0<r<20)∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100．∴當(dāng)半徑r＝10cm時，扇形的面積最大，最大值為100cm2，此時θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2(rad)．【總結(jié)提升】1.(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此時α為弧度．扇形面積公式，扇形中弦長公式，扇形弧長公式在角度制下，弧長l＝eq\f(nπr,180)，扇形面積S＝eq\f(nπr2,360)，此時n為角度，它們之間有著必定的聯(lián)系．(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要留意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形．2.當(dāng)扇形周長肯定時，其面積有最大值，最大值的求法是把面積S轉(zhuǎn)化為r的函數(shù)，函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化為方程的思想是解決數(shù)學(xué)問題的常用思想．【變式探究】1.（2024·甘肅高三月考（理））若一個扇形的周長與面積的數(shù)值相等，則該扇形所在圓的半徑不行能等于()A．5B．2C．3