重難點4-3解三角形的中線垂線角平分線問題4大題型（原卷版）

重難點43解三角形的中線、垂線、角平分線問題4大題型解三角形是高考數(shù)學的必考內(nèi)容，其中在三角形中增加中線、垂線、角平分線以及其他等分點條件在最近幾年的高考中出現(xiàn)的頻率很高。這部分內(nèi)容一般需要綜合使用正弦定理和余弦定理?？碱}難度會稍大。一、中線1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB推導過程：在?ABD中，cosB=在?ABC中，cos聯(lián)立兩個方程可得：AB【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD推導過程：由AD=則AD所以AD【點睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD二、角平分線如圖，在?ABC中，AD平分?BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，1、利用角度的倍數(shù)關(guān)系：?2、內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角?BAC的平分線，則AB推導過程：在中，，在中，，，該結(jié)論也可以由兩三角形面積之比得證，即說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷。3、等面積法：因為S?ABD所以12所以b+c整理的：AD=2bccos三、垂線1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。【題型1與中線有關(guān)的解三角形】【例1】（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）已知，設(shè)D為邊AB的中點，若，求a．【變式12】（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考期末）在斜三角形中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，且上的中線長為，求斜三角形的面積．【變式13】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，且．（1）求角B的大??；（2）若的面積為，求AC邊上的中線長．【變式14】（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點.（1）求的長度；（2）求的余弦值.【題型2與垂線有關(guān)的解三角形】【例2】（2023春·河南·高三洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）在銳角三角形ABC中，B=60°，AB=1，則AB邊上的高的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式21】（2023春·四川資陽·高三四川省樂至中學?？奸_學考試）在中，內(nèi)角、、滿足.（1）求；（2）若邊上的高等于，求.【變式22】（2023·全國·高三專題練習）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若．（1）求角；（2）若，求邊上的高的取值范圍．【變式23】（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學?？茧A段練習）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對邊分別為，，且______，若，，邊上的中垂線交于點，求的長.【變式24】（2022秋·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學校聯(lián)考階段練習）已知的內(nèi)角滿足.（1）求角；（2）若，設(shè)是中邊上的高，求的最大值.【題型3與角平分線有關(guān)的解三角形】【例3】（2023·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．從①②③中選取兩個作為條件，補充在下面的問題中，并解答．①；②的面積是；③．問題：已知角A為鈍角，，______．（1）求外接圓的面積；（2）AD為角A的平分線，D在BC上，求AD的長．【變式31】（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，且滿足．（1）求△ABC的外接圓半徑；（2）若∠B的平分線BD交AC于點D，且，求△ABC的面積．【變式32】（2023·福建廈門·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求B；（2）A的角平分線與C的角平分線相交于點D，，，求和．【變式33】（2023·浙江·模擬預測）已知銳角，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且．（1）證明：；（2）若為的角平分線，交AB于D點，且．求的值．【變式34】（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．（1）求；（2）若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線長的最大值．【題型4其他等分點型解三角形】【例4】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）在中，為上的中點，滿足.（1）證明：為等腰三角形或直角三角形；（2）若角為銳角，為邊上一點，，求的面積.【變式41】（2023·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為線段延長線上的一點，且，求.【變式42】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求角的大??；（2）若是邊上一點，且，若，求△ABC面積的最大值．【變式43】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）在中，已知．（1）求；（2）若是邊上的一點，且，求面積的最大值．【變式44】（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）在銳角中，.（1）求；（2）若的面積為，點在線段上，且，求的最小值.（建議用時：60分鐘）1．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）已知內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，且，求：（1）求角A的大??；（2）求邊中線長的最小值.2．（2023春·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學?？奸_學考試）設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角A的大??；（2）若，邊上的中線，求的面積．3．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知三角形，角的平分線交邊于點.（1）證明：；（2）若，求的周長.4．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預測）中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，．（1），時，求CD的長度；（2）若CD為角C的平分線，且，求的面積．5．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求角的大??；（2）給出以下三個條件：①，；②；③．若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）的角平分線交于點，求的長．6．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.（1）求B的值；（2）若與邊上的高之比為3∶5，且，求的面積.7．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學考試）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若于，求的面積的最小值.8．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）設(shè)，若點M是邊