安徽省合肥市蜀山區(qū)合肥市五十中學西校 2024-2025學年 九年級上學期數(shù)學期中試卷

-2025學年度九年級第一學期數(shù)學練習一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，y是x的二次函數(shù)是（）A. B.C. D.2.若，則的值為（）A. B. C.1 D.3.拋物線經過平移得到拋物線，平移的方法是（）A.向左平移1個單位，再向下平移2個單位B.向右平移1個單位，再向下平移2個單位C.向左平移1個單位，再向上平移2個單位D.向右平移1個單位，再向上平移2個單位4.2023年第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進行巧妙融合，其中浪潮設計借助了黃金分割比以給人協(xié)調的美感．如圖，若點C可看作是線段的黃金分割點（），，則的長為（）．A. B. C. D.5.點在反比例函數(shù)的圖象上，則時，y的值為（）A. B. C. D.46.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定，同車道行駛的機動車，后車應當與前車保持足以采取緊急制動措施的安全距離，其原因可以用物理和數(shù)學的知識來解釋．公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離與時間的函數(shù)關系式為，當遇到緊急情況剎車時，后車應當與前車保持足以采取緊急制動措施的最小安全距離為（）A B. C. D.7.已知點D、M是邊上的三等分點，且，設、四邊形、四邊形的面積分別為，則為（）A. B. C. D.8.如圖，銳角的邊上的高線交于點，連接，則圖中圖中共有相似三角形（）A.8對 B.7對 C.6對 D.5對9.如圖是凸透鏡成像示意圖，是蠟燭通過凸透鏡所成的虛像．已知蠟燭的高為，蠟燭離凸透鏡的水平距離為，該凸透鏡的焦距為，，則像的高為（）A. B. C. D.10.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結論：①方程無實數(shù)根；②；③若點在該函數(shù)圖象上，則；④不等式一定成立．其中結論錯誤的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.二次函數(shù)的頂點坐標為___________．12.若線段，，則線段，比例中項為________．13.如圖，矩形中，點B在反比例函數(shù)的圖象上，與反比例函數(shù)交于點D，若的面積為2，則k的值是___________．14.正方形中，，點F射線上一動點，，垂足為E，連接．（1）___________；（2）的最小值為___________．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.已知拋物線經過，，三點．（1）求拋物線函數(shù)表達式；（2）直接寫出關于x的不等式的解集．16.如圖，已知直線、、分別截直線于點A、B、C，截直線于點D、E、F，且．如果，，求的長．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.已知二次函數(shù)（m是常數(shù)）．（1）求證：無論m為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸一定有交點；（2）若該二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段長度為4，求m的值．18.圖①、圖②均是的正方形網格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點（網格線的交點）．的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．（1）圖①中，分別在邊上畫點D、E，連接，使，且．（2）在圖②中，分別在邊上畫點F、G，連接，使，且．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，一座拱橋的輪廓呈拋物線型，拱高，在高度為的兩支柱和之間，還安裝了三根立柱，相鄰兩立柱間的距離均為∶（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，求拱橋拋物線的表達式；（2）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬、高的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．20.如圖，點、、分別在等邊的三邊、、上，且，（1）求證：；（2）若，求的長．六、（本題滿分12分）21.如圖，在平面直角坐標系中，直線交雙曲線于點，C，線段都垂直于x軸，．（1）求直線和雙曲線的解析式；（2）在第一象限內，根據(jù)圖象直接寫出當x取何值時，；（3）在直線上找一點P，連接，當時，求點P的坐標．七、（本題滿分12分）22.已知拋物線（b，c為常數(shù)）的頂點橫坐標是拋物線頂點橫坐標的2倍．（1）求b的值；（2）點在拋物線上，點在拋物線上．①求t（請用含的代數(shù)式表示）；②若且，求t的最大值．八、（本題滿分14分）23.如圖1，在中，平分．（1）求的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，E為上的點，作交于點相交于點G．①求證：；②若，求．

2024-2025學年度九年級第一學期數(shù)學練習一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，y是x的二次函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的概念，掌握概念是關鍵，特別強調：二次函數(shù)中的二次項系數(shù)非零．形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a、b、c是常數(shù)；根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A、的自變量在分母上，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、不一定是二次函數(shù)，當a為零時，則不是，不符合題意；C、是二次函數(shù)，符合題意；D、，整理后得到，是一次函數(shù)，不符合題意；故選：C．2.若，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了分式的求值．根據(jù)題意得到，把代入，再約分即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B3.拋物線經過平移得到拋物線，平移的方法是（）A.向左平移1個單位，再向下平移2個單位B.向右平移1個單位，再向下平移2個單位C.向左平移1個單位，再向上平移2個單位D.向右平移1個單位，再向上平移2個單位【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：拋物線經過平移得到，平移方法是：向左平移1個單位，再向下平移2個單位．故選擇：A．【點睛】本題考查了拋物線的平移，屬于基礎題目，熟練掌握拋物線的平移規(guī)律是解題的關鍵．4.2023年第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進行巧妙融合，其中浪潮設計借助了黃金分割比以給人協(xié)調的美感．如圖，若點C可看作是線段的黃金分割點（），，則的長為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】解：點可看作是線段的黃金分割點，，，故選：A5.點在反比例函數(shù)圖象上，則時，y的值為（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】此題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)值等知識．先根據(jù)點在反比例函數(shù)的圖象上得到，則，把代入即可求出y的值．【詳解】解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，當時，，故選：D6.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定，同車道行駛的機動車，后車應當與前車保持足以采取緊急制動措施的安全距離，其原因可以用物理和數(shù)學的知識來解釋．公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離與時間的函數(shù)關系式為，當遇到緊急情況剎車時，后車應當與前車保持足以采取緊急制動措施的最小安全距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用．由題意得，此題實際是求從開始剎車到停止所走的路程，即s的最大值．把拋物線解析式化成頂點式后，即可解答．【詳解】解：依題意，該函數(shù)關系式化簡為，當時，汽車停下來，滑行了16米，采取緊急制動措施的最小安全距離為16米，故選：C．7.已知點D、M是邊上的三等分點，且，設、四邊形、四邊形的面積分別為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質、以及相似三角形面積比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．本題先根據(jù)三條直線平行得到，得到對應相似比為，然后得到，進而可得出，，最后相比即可得出答案．【詳解】解：∵∴，又∵，為AB的三等分點，∴，∴設，則，，∴，∴．故選：D．8.如圖，銳角的邊上的高線交于點，連接，則圖中圖中共有相似三角形（）A.8對 B.7對 C.6對 D.5對【答案】A【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似；三邊對應成比例，兩個三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似；兩角對應相等，兩個三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定定理分析判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，，∴，∴，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，∴，又∵，∴；∵，∴，又∵，∴．綜上所述，圖中相似的三角形有，，，，，，，，共計8對．故選：A．9.如圖是凸透鏡成像示意圖，是蠟燭通過凸透鏡所成的虛像．已知蠟燭的高為，蠟燭離凸透鏡的水平距離為，該凸透鏡的焦距為，，則像的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．先證得出，再證，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得出，即可求出的長．【詳解】解：由題意得，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，故選：C10.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結論：①方程無實數(shù)根；②；③若點在該函數(shù)圖象上，則；④不等式一定成立．其中結論錯誤的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，結合圖象得出系數(shù)之間的關系是解題的關鍵.由圖象可知與直線有兩個交點，即可判斷①；由圖象求出一元二次方程有兩個實數(shù)根為，則，得到，即可判斷②；點關于直線的對稱點為，當時，二次函數(shù)的函數(shù)值隨著x的增大而減小，由以及在該函數(shù)圖象上，即可判斷③；由圖象可知，當時，二次函數(shù)有最小值為，即對任意的都有，變形后即可判斷④.【詳解】解：①由圖象可知與直線有兩個交點，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，即方程有兩個不相等的實數(shù)根；故①錯誤；②∵拋物線對稱軸為直線，拋物線與x軸有一個交點為1,0，拋物線開口向上，∴拋物線與x軸另一個交點為，，∴一元二次方程有兩個實數(shù)根為，∴，∴，∴，故②正確；③點關于直線的對稱點為，∵拋物線對稱軸為直線，開口向上，∴當時，二次函數(shù)的函數(shù)值隨著x的增大而減小，∵，在該函數(shù)圖象上，∴，故③正確；④由圖象可知，當時，二次函數(shù)有最小值為，∴對任意的都有，即，則，∴，即不等式一定成立．故④正確；其中結論錯誤的是①，共1個；故選：A二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.二次函數(shù)的頂點坐標為___________．【答案】0,3【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質，把二次函數(shù)的一般形式化成頂點式即可得出答案．【詳解】解：，∴二次函數(shù)的頂點坐標為0,3，故答案為：0,3．12.若線段，，則線段，的比例中項為________．【答案】【解析】【分析】此題考查了比例的基本性質和比例中項的概念．設線段，的比例中項為c，根據(jù)比例的性質得到，即可求出答案．【詳解】解：設線段，的比例中項為c，則，∴，解得或（不符合題意，舍去）即線段，的比例中項為，故答案為：13.如圖，矩形中，點B在反比例函數(shù)的圖象上，與反比例函數(shù)交于點D，若的面積為2，則k的值是___________．【答案】2【解析】【分析】此題考查了矩形的性質、反比例函數(shù)的圖象和性質．先求出的面積為，則可得的面積為，設點D的坐標是，，根據(jù)與反比例函數(shù)交于點D，即可得到．【詳解】解：∵矩形中，點B在反比例函數(shù)的圖象上，∴矩形的面積為，∴的面積為，∵的面積為2，∴的面積為，設點D的坐標是，∴，∴，∵與反比例函數(shù)交于點D，∴，故答案為：214.正方形中，，點F為射線上一動點，，垂足為E，連接．（1）___________；（2）的最小值為___________．【答案】①②.【解析】【分析】（1）先證明得到；（2）由可證明，得到，得到，當最小時，最小，當且僅當OEC三點共線時，取得最小值，此時，，則的最小值為，即可得到的最小值．【詳解】解：（1）∵正方形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，取的中點O，則，連接，∵，∴當且僅當O、E、C三點共線時，取得最小值，此時，，∴的最小值為，∴，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質、添加合適的輔助線求線段最值是解題的關鍵．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.已知拋物線經過，，三點．（1）求拋物線函數(shù)表達式；（2）直接寫出關于x的不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與不等式的關系．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)拋物線與x軸交點坐標可得拋物線在x軸上和上方時x的取值范圍即可解決問題．【小問1詳解】解：∵拋物線經過，，∴設拋物線的函數(shù)表達式為，把代入得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為；【小問2詳解】解：∵拋物線與x軸交于點，，∴當時，，∴不等式的解集為．16.如圖，已知直線、、分別截直線于點A、B、C，截直線于點D、E、F，且．如果，，求的長．【答案】15【解析】【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出的長，即可得出的長．【詳解】解：．，，．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.已知二次函數(shù)（m是常數(shù)）．（1）求證：無論m為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸一定有交點；（2）若該二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段長度為4，求m的值．【答案】（1）見解析（2）或．【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法，二次函數(shù)性質；（1）令，可得關于的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式可證得結論；（2）令，可得關于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、兩點的橫坐標值，然后根據(jù)，列方程求解即可．【小問1詳解】解：當時，，，∴一元二次方程有實數(shù)根，∴無論m為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸一定有交點；【小問2詳解】解：設拋物線與x軸的兩個交點分別為A和B，當時，，解得，，，或．18.圖①、圖②均是的正方形網格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點（網格線的交點）．的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，分別在邊上畫點D、E，連接，使，且．（2）在圖②中，分別在邊上畫點F、G，連接，使，且．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查格點圖中畫相似三角形．（1）根據(jù)相似三角形的判定和相似比，畫圖即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和相似比，畫圖即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】如圖，即所求；五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，一座拱橋的輪廓呈拋物線型，拱高，在高度為的兩支柱和之間，還安裝了三根立柱，相鄰兩立柱間的距離均為∶（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，求拱橋拋物線的表達式；（2）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬、高的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．【答案】（1）（2）不能，理由見詳解【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，借助二次函數(shù)解決實際問題是解題根本，求出二次函數(shù)關系式是關鍵．（1）設拱橋拋物線的函數(shù)表達式為：，根據(jù)題目可知拋物線經過的兩點的坐標，設出拋物線的解析式代入可求解．（3）令求得的值，再與3.2比較大小即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，圖象過原點，設拱橋拋物線的函數(shù)表達式為：，相鄰兩支柱間的距離均為，，，兩點都在拋物線上，，，．【小問2詳解】解：由于中間綠化帶的寬兩米，即綠化帶到或的距離為9米，三輛車并排寬共6米，因此只需考慮當時，的值與3.2的大小即可判定，當時，，不能并排行駛寬、高的三輛汽車．20.如圖，點、、分別在等邊的三邊、、上，且，（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，相似三角形的性質與判定：（1）先由等邊三角形的性質得到，再由三角形內角和定理和平角的定義證明，即可證明；（2）解直角三角形得到，利用相似三角形的性質得到，則．【小問1詳解】解：是等邊三角形，，，，，【小問2詳解】解：，∴，，，．答：的長為2．六、（本題滿分12分）21.如圖，在平面直角坐標系中，直線交雙曲線于點，C，線段都垂直于x軸，．（1）求直線和雙曲線的解析式；（2）在第一象限內，根據(jù)圖象直接寫出當x取何值時，；（3）在直線上找一點P，連接，當時，求點P的坐標．【答案】（1）直線的解析式為，雙曲線的解析式為（2）在第一象限內當時，（3）點P的坐標是或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，進一步求得點的坐標，然后把、點的坐標代入即可求得直線的解析式；（2）根據(jù)圖象求得即可；（3）設，分兩種情況討論，根據(jù)題意列出關于的方程，解方程即可求得點的坐標．本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，函數(shù)與不等式的關系，三角形的面積，數(shù)形結合、分類討論思想的運用是解題的關鍵．【小問1詳解】解：雙