馬鞍山市第七中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)第一次階段性學(xué)情監(jiān)測（數(shù)學(xué)）試題

-2025學(xué)年度第一學(xué)期第一次階段性學(xué)情監(jiān)測九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科一、選擇題（本題10小題，每小題4分，共40分）1.下列二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)的是（）A. B. C. D.2.若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則該圖象也過點(diǎn)（）A. B. C. D.3.如果，那么等于（）A. B. C. D.4.將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為（）A B. C. D.5.拋物線，當(dāng)時(shí)，取值范圍是（）A. B. C. D.6.對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C.或 D.7.四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，下列條件中，不一定能推得與相似的是（）A. B.C. D.8.已知點(diǎn)，，都在函數(shù)上，則（）A. B.C. D.9.如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，軸，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，連接、，若的面積是4，則的值（）A. B.7 C. D.10.已知等邊三角形，為邊上的點(diǎn)，，，分別是邊，上點(diǎn)，垂直平分交于，則（）A. B. C. D.二、填空題（本題4小題，每小題5分，共20分）11.與拋物線頂點(diǎn)相同，形狀也相同，而開口方向相反拋物線的解析式是______．12.已知點(diǎn)，為反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為______．13.如圖，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則等于______．14.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，（1）若拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則______；（2）若無論為何值，總有，則的取值范圍是______．三、解答題（本題共4題，每題各8分）15.（1）已知線段，，，，，若是，的比例中項(xiàng)，求的值．（2）已知：，且，求的值．16.已知拋物線過，，；（1）求拋物線的解析式；（2）關(guān)于的一元二次方程的解為______．17.如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)E，連接．求證：（1）；（2）．18.已知二次函數(shù)．（1）求證：不論取何值，該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若該函數(shù)圖象對(duì)稱軸是直線，求該函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．四、（本題共2題，每題各10分）19.如圖，已知是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集．20.某水果店購入一批進(jìn)價(jià)為10元/千克的水果進(jìn)行銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不超過30元/千克時(shí)，日銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元）是一次函數(shù)關(guān)系，如下表．銷售單價(jià)202224銷售量322824（1）求與的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？（3）若為了盡快銷售完這批水果，水果店決定降價(jià)銷售，每千克降價(jià)元，該店經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)取值在一定范圍內(nèi)時(shí)，銷售利潤會(huì)隨著售價(jià)的增加而增加，求的取值范圍．五、（本題共2題，每題各12分）21.已知二次函數(shù)，和的取值如下表所示：0245（1）若，求二次函數(shù)的表達(dá)式，（2）用含的代數(shù)式表示，（3）若，求的取值范圍．22.如圖，直角中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于．（1）求證：；（2）已知，①求的值；②若，求的長．六、（本題共14分）23.如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，點(diǎn)位于線段上方且是該拋物線上的一點(diǎn)．連接與交于點(diǎn)，如圖2，連接，，分別設(shè)，的面積為，．①若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②如圖3，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，分別設(shè)，的面積為，，判斷是否存在最大值．若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期第一次階段性學(xué)情監(jiān)測九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科一、選擇題（本題10小題，每小題4分，共40分）1.下列二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，將x=0分別代入二次函數(shù)解析式，然后看所得出的函數(shù)值是否為零即可得出正確答案，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、將代入可得，故不經(jīng)過原點(diǎn)，不符合題意；、將代入可得，故經(jīng)過原點(diǎn)，符合題意；、將代入可得，故不經(jīng)過原點(diǎn)，不符合題意；、將代入可得，故不經(jīng)過原點(diǎn)，不符合題意；故選：．2.若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則該圖象也過點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由題意可得，即得，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，、∵，∴該圖象不經(jīng)過點(diǎn)，該選項(xiàng)不合題意；∵，∴該圖象不經(jīng)過點(diǎn)，該選項(xiàng)不合題意；∵，∴該圖象經(jīng)過點(diǎn)，該選項(xiàng)符合題意；∵，∴該圖象不經(jīng)過點(diǎn)，該選項(xiàng)不合題意；故選：．3.如果，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查比例的性質(zhì)，利用等式的基本性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴；故選D．4.將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律可得新拋物線的解析式為，故答案選：A．5.拋物線，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為2，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為6，∴的取值范圍是，故選：C．6.對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．先求出時(shí)y的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】當(dāng)時(shí)，，反比例函數(shù)中，，此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：y的取值范圍是或，故選：C．7.四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，下列條件中，不一定能推得與相似的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定方法逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A.∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；B.∵，，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；C.∵，，∴，故選項(xiàng)C不符合題意；D.條件，，無法證明，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．8.已知點(diǎn)，，都在函數(shù)上，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，能夠熟練掌握二次函數(shù)基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先判斷出二次函數(shù)的開口和對(duì)稱軸，再通過比較三點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離即可得到答案．【詳解】解：的對(duì)稱軸為x=1，函數(shù)圖像開口向上，∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大∵∴故選：A

．9.如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，軸，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，連接、，若的面積是4，則的值（）A. B.7 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象，連接，設(shè)AB與軸交點(diǎn)為，得到，再利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，得到，，然后根據(jù)列方程求出的值，再結(jié)合函數(shù)圖象即可得到答案，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)AB與軸交點(diǎn)為，∵軸，∴軸，，∵點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，∴，，∴，解得，∵雙曲線分布在二、四象限，∴，∴，故選：．10.已知等邊三角形，為邊上的點(diǎn)，，，分別是邊，上點(diǎn)，垂直平分交于，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，由垂直平分線可得，，，即可證明，得到，再設(shè)，則，，，，得到，求出，即可得到．【詳解】解：∵垂直平分，∴，，∴，，∵等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴設(shè)，則，，∴，，∴，由可得，代入可得，解得，∴，故選：D．二、填空題（本題4小題，每小題5分，共20分）11.與拋物線頂點(diǎn)相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線的解析式是______．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，決定開口方向和大小是解題的關(guān)鍵．利用對(duì)于二次函數(shù)，頂點(diǎn)相同即不變，形狀也相同即不變，而開口方向相反即二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)變?yōu)橄喾?，即可解決．【詳解】解：與拋物線頂點(diǎn)相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線的解析式，即只有二次項(xiàng)系數(shù)相反，則其解析式為，故答案為：．12.已知點(diǎn)，為反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【詳解】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以得到關(guān)于m的不等式，從而可以求得m的取值范圍．【點(diǎn)睛】解：∵反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，故答案為：．13.如圖，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則等于______．【答案】【解析】【分析】延長，交于點(diǎn)H，易證，根據(jù)已知條件和相似三角形性質(zhì)可得，再證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答【詳解】解：延長，交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，即，∴．∵，∴，，故答案為：．14.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，（1）若拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則______；（2）若無論為何值，總有，則的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與x的交點(diǎn)等問題，解題的關(guān)鍵是：（1）由已知條件可得出拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，然后根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可；（2）先判斷出點(diǎn)P在直線上，聯(lián)立方程組，化簡得，結(jié)合已知可得，解之即可．【詳解】解：（1）∵拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴令①，②，②①得，，∴，∴點(diǎn)P在直線上，聯(lián)立方程組，化簡，得，∵點(diǎn)在拋物線上，無論為何值，總有，∴，解得，故答案為：．三、解答題（本題共4題，每題各8分）15.（1）已知線段，，，，，若是，的比例中項(xiàng)，求的值．（2）已知：，且，求的值．【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項(xiàng)的概念是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，得，再利用比例的基本性質(zhì)計(jì)算求解．（2）設(shè)，然后用表示出，，，代入中求出，即可得求解．【詳解】（1）解：是，的比例中項(xiàng)，．，，解得．（2）解：設(shè)，，，．，，解得，．16.已知拋物線過，，；（1）求拋物線的解析式；（2）關(guān)于的一元二次方程的解為______．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本題考查考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）把，，代入求解即可；（2）令，則，然后解方程即可【小問1詳解】解：把，，代入，得，解得，∴；【小問2詳解】解:令，則，解方程得，，故答案為：，17.如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)E，連接．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定．（1）證明，即可；（2）根據(jù)平行得到，再根據(jù)，即可得證．掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和相似，是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】證明：∵正方形，∴，又，∴，∴；【小問2詳解】∵正方形，∴，∴，又，∴．18.已知二次函數(shù)．（1）求證：不論取何值，該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，求該函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識(shí)，正確理解拋物線與x軸的交點(diǎn)和判別式的關(guān)系是關(guān)鍵．（1）證明判別式大于0，即可得出結(jié)論；（2）首先根據(jù)題意得到對(duì)稱軸為直線，求出，然后得到，然后將代入求解即可．【小問1詳解】解：∵∴∵∴∴不論取何值，該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問2詳解】解：∵該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，∴對(duì)稱軸為直線∴∴∴當(dāng)時(shí)，∴該函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．四、（本題共2題，每題各10分）19.如圖，已知是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）（3）或【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，能夠熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想觀察兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）點(diǎn)代入可求出反比例函數(shù)的解析式，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，可求出一次函數(shù)的解析式，即可；（2）設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求解；（3）直接觀察函數(shù)圖象，即可求解．【小問1詳解】解：把點(diǎn)代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴點(diǎn)，把點(diǎn)，代入，得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，∴，∵點(diǎn)，，∴；【小問3詳解】解：觀察圖象得：當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)的圖象的下方，∴關(guān)于x的不等式的解集為或．20.某水果店購入一批進(jìn)價(jià)為10元/千克的水果進(jìn)行銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不超過30元/千克時(shí)，日銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元）是一次函數(shù)關(guān)系，如下表．銷售單價(jià)202224銷售量322824（1）求與函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？（3）若為了盡快銷售完這批水果，水果店決定降價(jià)銷售，每千克降價(jià)元，該店經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)取值在一定范圍內(nèi)時(shí)，銷售利潤會(huì)隨著售價(jià)的增加而增加，求的取值范圍．【答案】（1）（2）銷售單價(jià)定為23元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是338元（3）【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到關(guān)系式．（1）設(shè)，把，代入再計(jì)算即可；（2）設(shè)日銷售利潤為w元，結(jié)合單件利潤乘以銷售量等于總利潤，再建立函數(shù)解析式求解即可；（3）結(jié)合單件利潤乘以銷售量等于總利潤，得到，再根據(jù)在一定范圍內(nèi)時(shí)，銷售利潤會(huì)隨著售價(jià)的增加而增加求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)，由題意得，，解得：，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為，答：y與x的函數(shù)表達(dá)式為；【小問2詳解】解：設(shè)日銷售利潤為w元，由題意得，，∵銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不超過30元/千克，∴，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值338元，答：當(dāng)銷售單價(jià)定為23元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是338元；【小問3詳解】解：由題意得，∴對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)銷售利潤會(huì)隨著售價(jià)的增加而增加，∵銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不超過30元/千克，∴，∵該店經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)取值在一定范圍內(nèi)時(shí)，銷售利潤會(huì)隨著售價(jià)的增加而增加，∴當(dāng)時(shí)銷售利潤會(huì)隨著售價(jià)的增加而增加，解得，∵，∴．五、（本題共2題，每題各12分）21.已知二次函數(shù)，和的取值如下表所示：0245（1）若，求二次函數(shù)的表達(dá)式，（2）用含的代數(shù)式表示，（3）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可求得；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)特征可判斷拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，即，則可求拋物線解析式為，然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；（3）先判斷，關(guān)于直線對(duì)稱，得出，則，結(jié)合已知可得出，然后把（2）中代入求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，解得，∴；【小問2詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線的頂點(diǎn)為，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，；∴，∴；【小問3詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴∵，∴，∴，∴，又，∴且．22.如圖，在直角中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于．（1）求證：；（2）已知，①求的值；②若，求的長．【答案】（1）見解析（2）①；②3【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明，即可得證；（2）根據(jù)等角對(duì)等邊證明，根據(jù)（1）中，可得出，即可求解；②根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合①中結(jié)論求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】