第05講數(shù)列章節(jié)總結(jié)精講-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

第05講數(shù)列章節(jié)總結(jié)(精講）一、數(shù)列求通項(xiàng)題型一：數(shù)列前項(xiàng)和法題型二：數(shù)列前項(xiàng)積法題型三：累加法；累乘法題型四：構(gòu)造法題型五：倒數(shù)法題型六：隔項(xiàng)等差(等比）數(shù)列二、數(shù)列求和題型一：倒序相加法題型二：分組求和法題型三：裂項(xiàng)相消法題型四：錯(cuò)位相減法題型五：奇偶項(xiàng)討論求和題型六：插入新數(shù)列混合求和一、數(shù)列求通項(xiàng)題型一：數(shù)列前項(xiàng)和法例題1．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)當(dāng)時(shí)，，即，解得或（舍），∴，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，∴，∴.∵，∴，∴是以7為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴.例題2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)當(dāng)時(shí)，，故，又，且，，滿足，故數(shù)列為公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為，例題3．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足．求及；【答案】(1)；由，得．因?yàn)?，所以．又①，②，①②得即．又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．故．例題4．已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)(2)⑴

①

②①②可得當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為例題5．已知數(shù)列滿足：，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）（）．（2）證明見(jiàn)解析由已知得由，①得時(shí)，，②①②得∴，也適合此式，∴（）．例題6．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列為等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列?的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，∵①，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，②，由①②得∴，又，∴，∴數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.∴∵，，數(shù)列為等比數(shù)列，∴例題7．設(shè)數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；因?yàn)?，，①所以?dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，②①②得，．所以.因?yàn)?，適合上式，所以.例題8．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；解：∵∴∴，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)數(shù)列，∴，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，∴.例題9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見(jiàn)解析證明：∵∴由已知易得，∴∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；例題10．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)依題意，，故，因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，．當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足上式，所以．題型二：數(shù)列前項(xiàng)積法例題1．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．求和的通項(xiàng)公式；【答案；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)也符合，所以．例題2．已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式：【答案】(1)；由題意，數(shù)列滿足，則：當(dāng)時(shí)，，得：，當(dāng)時(shí)，，所以：．由于：，所以：，則：．例題3．設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(1)當(dāng)時(shí)，，即，則，當(dāng)時(shí)，由得：，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.(2)由（1）可知，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，，當(dāng)時(shí)，，由（1）知，綜上所述，例題4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)積.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)為，求的最小值.【答案】(1)(2)(1).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也符合.故的通項(xiàng)公式為.(2)，，是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.例題5．設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)(1)∵，∴，即，由累乘法得，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，∴.(2)由（1）知，，∴，則例題6．已知數(shù)列的前項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，．(2).(1)解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，．(2)解：由（1）得，所以，，所以，所以.題型三：累加法；累乘法例題1．（1）已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，，且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）.解：（1）由，得，對(duì)任意的，，則，則，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，；（2）由，得：，又，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得，當(dāng)時(shí)，，，，，累加得，，則，也滿足，故對(duì)任意的，.例題2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，，由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，.由，，，，得，，…，，累加得，，.例題3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)，時(shí)，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明：由題意，當(dāng)時(shí)，∴，整理，得，∵，∴，∴，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；(2)由（1）知，，則，，，…，，各項(xiàng)相加，可得，當(dāng)也成立，1，，故，綜上，.例題4．已知數(shù)列滿足，，.(1)求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(1)解：由，得，，…，，由累加法得，所以，又滿足，又因?yàn)椋?例題5．?dāng)?shù)列滿足，，．（，）．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(1)解：由，得，，又，則，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，則=，又當(dāng)時(shí)，符合上式，∴．例題6．已知數(shù)列滿足：且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)由已知以及可知，從而有，根據(jù)累乘法得：，整理得：，由于該式對(duì)于也成立，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；例題7．?dāng)?shù)列與滿足，且，．(1)若是等比數(shù)列，，求的前項(xiàng)和；(2)若是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為14，求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)(1)設(shè)的公比為q，，，∴∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，前n項(xiàng)和．(2)設(shè)的公比為p，則，且得，，則．即，∴．符合上式，∴．例題8．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，若，求正整數(shù)的值．【答案】(1)；(2).(1)由題意知當(dāng)時(shí)，，∴，整理得，由，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合．∴當(dāng)時(shí)，．由也滿足，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得，∴．由，得.例題9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；；(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：，解得：，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；因?yàn)閿?shù)列滿足，，，所以當(dāng)時(shí)，，又滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例題10．?dāng)?shù)列滿足：；數(shù)列滿足：，且.求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，與條件等式兩邊相減，得所以.所以=1,.故有所求通項(xiàng)公式分別為和題型四：構(gòu)造法例題1．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)因?yàn)?，①時(shí)，，時(shí)，②①②得，所以，，所以數(shù)列是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故例題2．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】由，得，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.例題3．已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，∴，∴.例題4．設(shè)數(shù)列滿足：.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.由知：，而，∴數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，即，∴.例題5．已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；（2）.解：由，可得=1，則數(shù)列是首項(xiàng)為=1，公差為1的等差數(shù)列，則=，即；例題6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，滿足．證明數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】（1）證明見(jiàn)解析；由可得，因?yàn)?，所以所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列例題7．已知數(shù)列中，．證明數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】證明見(jiàn)解析；．解：因?yàn)?，所以．所以，且．所以?shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．因此，所以．題型五：倒數(shù)法例題1．已知數(shù)列中，，證明：數(shù)列是等比數(shù)列【答案】（1）證明見(jiàn)解析；證明：由，知又，∴是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列例題2．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；（1）由可得：，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，整理可得：.例題3．已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（Ⅰ）；，，又，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，；例題4．在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)；【答案】（1）解：（1）由已知得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，例題5．在數(shù)列中,,并且對(duì)于任意,都有.證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;【答案】（1）答案見(jiàn)解析,（2）,即:,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得:,故:.題型六：隔項(xiàng)等差(等比）數(shù)列例題1．設(shè)各項(xiàng)均不等于零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，又因?yàn)?，所以，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以，.例題2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，，．計(jì)算的值，求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，解：當(dāng)時(shí)，，解得，由題知①，②，由②①得，因?yàn)?，所以，于是：?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，即，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，即所以的通項(xiàng)公式；例題3．已知數(shù)列各項(xiàng)都不為，且滿足，(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；①當(dāng)時(shí)，②①②的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列且為奇數(shù)），（為偶數(shù)例題4．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（為常數(shù)）.(1)若，求.(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，解：（1）由可得，兩式相減可得，即.若，則，所以.(2)解：存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列.理由如下.當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得.假設(shè)存在，使得為等差數(shù)列，則，解得，所以，則，從而，故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等差數(shù)列，且公差均為2.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.所以，，故符合題意.例題5．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)解：由題意，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)?，可得，所以，，所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公比為的等比數(shù)列.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則.因此，.例題6．（2022·浙江省富陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)）數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)依題意，數(shù)列滿足，，兩式相除并化簡(jiǎn)得，，所以是公比為的等比數(shù)列，其中的首項(xiàng)為，的首項(xiàng)為.所以，所以.二、數(shù)列求和題型一：倒序相加法例題1．已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【答案】(1)(2)(3)(1)因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.(2)因?yàn)?，所以，所?(3)由（1）知，可得，所以，①又因?yàn)?，②因?yàn)?，所以①②，得，所?例題2．（2021·全國(guó)·高二）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足．（1）分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；【答案】（1），；（2）存在，．（1），，，時(shí)滿足上式，故（），∵，∴，∵①∴②∴①+②，得，∴.例題3．（2020·河南大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記，2，3，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.（1）因?yàn)椋杂傻?，所以，，所以是首?xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，則，，，所以，，，兩式相加，得：，所以.例題4．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足….（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；【答案】（1），（2）（1）因?yàn)榧串?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，；因?yàn)椋?故….….①+②，得，題型二：分組求和法例題1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，，，.(1)求、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，；又，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，.(2)由（1）得：；.例題2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，，是與的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】(1)，；(2).(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，依題意可知：，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，依題意可知：，又，所以，又，∴，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)由（1）可知：所以.例題3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).(1)解：設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知，解得.所以.(2)解：，所以，例題4．已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)(1)設(shè)數(shù)列的公差為，則,∵成等比數(shù)列，∴，∴，∴，得：或（舍去），∴.(2)由于，所以.題型三：裂項(xiàng)相消法例題1．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(1)設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等?shù)列，所以，即，解得，或（舍去），所以;(2)證明：由（1），所以，，所以．例題2．已知數(shù)列對(duì)任意的都滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)(1)解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而有，即當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)解：由題可知，，所以，，所以.例題3．等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)設(shè)數(shù)列公比為，由，，可得，化簡(jiǎn)得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以..例題4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)3(1)證明：由：①時(shí)，得.時(shí)：②①②即.，數(shù)列是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列..(2)由（1）得，所以，若，n的最小值為3.例題5．設(shè)等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：設(shè)公比為，由，，所以，解得，，所以．(2)解：由（1）及，所以，所以因?yàn)椋磫握{(diào)遞增，所以，又，所以，即；例題6．已知數(shù)列中，．(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(1)解：，即為·······①，又，········②，①②得，即，又當(dāng)時(shí)，，故；從而，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；(2)由（1）得，所以，.例題7．已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式：，(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)，，，相減得，所以．(2)因?yàn)?，所以例題8．已知等差數(shù)列{}的公差為2，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列{}的公差為2，前n項(xiàng)和為，所以，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，由題意得，解得，所以(2)由題意可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所以.例題9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，；數(shù)列的前項(xiàng)和，且，數(shù)列的，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(1)解：因?yàn)?，由，得，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，所以，所以．由，，得，，兩式相減得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，則；(2)由（1）知：，，∴．題型四：錯(cuò)位相減法例題1．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)(1)設(shè)公差為d，公比為q，則，，，∴．又∵，，∴，．(2)，∴，，則，兩式相減得，則，．例題2．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（），且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).(1)∵，∴，兩式相減得，又且，解得，即.∴，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.(2)由（1）知，∴，則，①②得：，故.例題3．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).(1)因?yàn)椋裕獾茫?dāng)時(shí)，，所以，所以，即．因?yàn)橐矟M足上式，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以．(2)由（1）知，所以，所以…①…②①②得，所以．例題4．若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)因?yàn)閿?shù)列滿足，，，所以.所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q（）.所以，解得：.所以.即的通項(xiàng)公式為.(2)由（1）可知：，所以，所以

①得：

②①②得：所以例題5．已知數(shù)列滿足，且.(1)求，，并猜想的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想結(jié)果；(3)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，，猜得：(2)證明見(jiàn)解析(3)(1)因?yàn)?，且，所以令，則，得，令，則，得，猜得：.(2)證明：（i）時(shí)，猜想成立，（ii）假設(shè)時(shí)猜想成立，即，則時(shí)，由，解得，即時(shí)猜想成立，綜上，時(shí)，猜想成立，即.(3)由已知得，則記為①式記為②式①式與②式相減得：，整理得，所以.例題6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，所以，，無(wú)解．當(dāng)時(shí)，，所以解得，或，（舍）．所以．(2)．所以①，則②，①－②得，．所以．題型五：奇偶項(xiàng)討論求和例題1．設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；證明見(jiàn)解析；(2)(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當(dāng)時(shí)，，所以有化簡(jiǎn)得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列所以(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，綜上所述：例題2．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明：因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；(2)解：由（1）可得，即，則.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，綜上所述，.例題3．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式【答案】（1）；（2）.（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，因此，所以即，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)成立，所以．（2），所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，．例題4．已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）為偶數(shù)，；為奇數(shù)，；（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，，故的通項(xiàng)公式為.（2）由于，①若為偶數(shù)，結(jié)合，得；②若為奇數(shù)，則.綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.例題5．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求【答案】（1）；（2）（1）當(dāng)時(shí)，由，可得，即有當(dāng)時(shí)，，即為，可得，顯然，.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則，即有（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上可得，題型六：插入新數(shù)列混合求和例題1．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)抽去數(shù)列中點(diǎn)第1