第六章　立體幾何與空間向量 第四節(jié)　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

立體幾何與空間向量第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1．(多選題)下列說(shuō)法正確的是()A．若直線a不平行于平面α，a?α，則α內(nèi)不存在與a平行的直線B．若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α∥βC．設(shè)l，m，n為直線，m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的充要條件D．若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，則平面α與平面β所成的二面角和平面α1與平面β1所成的二面角相等或互補(bǔ)2．(數(shù)學(xué)與文化)在《九章算術(shù)》中，將一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個(gè)面均為直角三角形．如圖，在四面體P-ABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有()A．6個(gè) B．8個(gè)C．10個(gè) D．12個(gè)3．已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，則平面BCD與平面BCA夾角的大小是()A．π4 B．C．π2 D．4．(2024·惠州模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)直線BD1與直線AD所成的角為α，直線BD1與平面CDD1C1所成的角為β，則α＋β＝________.6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，△PBA為銳角三角形，且PB⊥BC.求證：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAB.高考訓(xùn)練7．(2022·全國(guó)乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D8．(多選題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝22A．當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，A1C⊥AE總成立B．當(dāng)點(diǎn)E向點(diǎn)D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角A-EF-B逐漸變小C．二面角E-AB-C的最小值為45?D．三棱錐A-BEF的體積為定值9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD.若在邊BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，則a＝________.10．(2023·全國(guó)甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90?.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高．11．(2024·廣州模擬)如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的平面角的大?。鸢附馕?、AB解析：若α內(nèi)存在直線與a平行，則由直線和平面平行的判定定理知直線a與平面α平行，與條件相矛盾，故A正確；由面面平行的判定定理可知B正確；由線面垂直的判定定理知，當(dāng)直線m，n不相交時(shí)，由l⊥m且l⊥n，得不到l⊥α，故C錯(cuò)誤；當(dāng)α1∥β1且α⊥β時(shí)，可滿足題設(shè)條件，此時(shí)平面α與平面β所成的二面角為90?，平面α1與平面β1所成的二面角為0?，故D錯(cuò)誤．2、C解析：為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體P-ABC為“鱉臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面體P-AEF也是“鱉臑”，則題圖中的10個(gè)三角形全是直角三角形．3、C解析：如圖，取BC的中點(diǎn)為E，連接AE，DE.因?yàn)椤鰽BC，△DBC和△BAD全等，又AB＝AC＝3，BC＝2，所以DB＝DC＝3，AD＝2.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠AED為平面BCD與平面BCA夾角的平面角．在△ABC中，AE⊥BC，AB＝AC＝3，BC＝2，所以AE＝2，同理可得DE＝2.在△AED中，因?yàn)锳E＝2，DE＝所以DE2＋AE2＝AD2，所以∠AED＝π2因此平面BCD與平面BCA夾角的大小為π24、DM⊥PC(或BM⊥PC)解析：連接AC(圖略)，由三垂線定理可知，BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.5、π2解析：如圖，因?yàn)锳D∥BC，所以∠D1BC為直線BD1與直線AD所成的角，即∠D1BC＝α因?yàn)锽C⊥平面CDD1C1，所以∠BD1C為直線BD1與平面CDD1C1所成的角，即∠BD1C＝β，且BC⊥D1C.在Rt△BD1C中，∠BCD1＝π2，所以∠D1BC＋∠BD1C＝π2，即α＋β＝6、證明：(1)因?yàn)锽C∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.因?yàn)锳D?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，如圖．因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.因?yàn)锽C?平面ABCD，所以BC⊥PH.因?yàn)椤鱌BA為銳角三角形，所以點(diǎn)H與點(diǎn)B不重合，即PB∩PH＝H.又因?yàn)镻B⊥BC，PB，PH?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.7、A解析：如圖，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.由正方體的性質(zhì)知AC⊥BD，AC⊥DD1.因?yàn)锽D∩DD1＝D，且BD，DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，則EF⊥平面BDD1.因?yàn)镋F?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確．由選項(xiàng)A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在該正方體中，試想D1運(yùn)動(dòng)至A1時(shí)，平面B1EF不可能與平面A1BD垂直，故B錯(cuò)誤．在平面ABB1A1中，易知AA1與B1E相交，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯(cuò)誤．易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1，所以平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，故D錯(cuò)誤．8、ACD解析：對(duì)于A，因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中可證其體對(duì)角線A1C⊥平面AB1D1，而AE?平面AB1D1，所以A1C⊥AE恒成立，故A正確；對(duì)于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以當(dāng)點(diǎn)E向點(diǎn)D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角A-EF-B的大小不變，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)E向點(diǎn)D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面ABE逐漸向底面ABCD靠攏，這個(gè)過(guò)程中，二面角E-AB-C越來(lái)越小，所以二面角E-AB-C的最小值為∠D1AD＝45?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镾△BEF＝12×22×1＝24，點(diǎn)A到平面BDD1B1的距離為22，所以三棱錐9、2解析：如圖，連接AQ，取AD的中點(diǎn)O，連接OQ.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ.又因?yàn)镻Q⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ?平面PAQ，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以點(diǎn)Q在以線段AD的中點(diǎn)O為圓心，AD為直徑的圓上．又因?yàn)樵贐C上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，所以BC與圓O相切，所以O(shè)Q⊥BC.因?yàn)锳D∥BC，所以O(shè)Q＝AB＝1，所以BC＝AD＝2OQ＝2，即a＝2.10、(1)證明：因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC.因?yàn)椤螦CB＝90?，所以AC⊥BC.因?yàn)锳1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1O⊥CC1，垂足為O.因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BCC1B1，所以四棱錐A1-BB1C1C的高為A1O.因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，所以∠ACB＝∠A1CB＝90?.因?yàn)锳1B＝AB，BC為公共邊，所以△ABC≌△A1BC，所以A1C＝AC.設(shè)A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，所以O(shè)為CC1的中點(diǎn)，所以O(shè)C1＝12因?yàn)锳1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AA1即x2＋x2＝22，解得x＝2，所以A1O＝A1所以四棱錐A1-BB1C1C的高為1.11、(1)證明：如圖，作AD⊥PC交PC于點(diǎn)D.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，所以AD⊥平面PBC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以AD⊥BC.又因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因?yàn)镻A，AD?平面PAC，PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAC.(2)解：如圖，作AD⊥PC交PC于點(diǎn)D，作DE⊥PB交PB于點(diǎn)E，連接AE.由(1)知AD⊥平面PBC，因?yàn)镻B?平面PBC，所以AD⊥PB.因?yàn)锳D，DE?平面ADE，AD∩DE＝D，所以PB⊥平面ADE.