2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.5.1-1.5.2曲邊梯形的面積汽車行駛的路程課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版選修2-2

PAGE課時素養(yǎng)評價九曲邊梯形的面積汽車行駛的路程(15分鐘30分)1.當n很大時,函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間QUOTE上的值可以用下列哪個值近似地代替 ()A.fQUOTEB.fQUOTEC.fQUOTED.f(0)【解析】選C.當n很大時,f(x)=x2在QUOTE上的值可用該區(qū)間上任何一點的函數(shù)值近似代替.2.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b把區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi(i=1,2,…,n),作和式Sn=QUOTEf(ξi)Δx(其中Δx為小區(qū)間的長度),那么Sn的大小()A.與f(x)和區(qū)間[a,b]有關,與分點的個數(shù)n和ξi的取法無關B.與f(x)和區(qū)間[a,b]以及分點的個數(shù)n有關,與ξi的取法無關C.與f(x)和區(qū)間[a,b]以及分點的個數(shù)n,ξi的取法都有關D.與f(x)和區(qū)間[a,b]以及ξi的取法有關,與分點的個數(shù)n無關【解析】選C.由Sn的求法可知Sn的大小與f(x)和區(qū)間[a,b]以及分點的個數(shù)n,ξi的取法都有關.3.直線y=2x+1與直線x=0,x=m,y=0圍成圖形的面積為6,則正數(shù)m= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.由題意,直線圍成梯形的面積為S=QUOTE(1+2m+1)m=6,解得m=2,m=-3(舍).4.在計算由曲線y=-x2以及直線x=-1,x=1,y=0所圍成的圖形的面積時,若將區(qū)間[-1,1]n等分,則每個小區(qū)間的長度為______.

【解析】區(qū)間長度為2,將其n等分得每一個小區(qū)間的長度為QUOTE.答案:QUOTE5.求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2所圍成曲邊梯形的面積.【解題指南】按分割、近似代替、求和、取極限四個步驟進行.【解析】將區(qū)間[0,2]等分成n個小區(qū)間,則第i個小區(qū)間為QUOTE.第i個小區(qū)間的面積ΔSi=fQUOTE·QUOTE,所以Sn=QUOTEfQUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE(i-1)2=QUOTE[02+12+22+…+(n-1)2]=QUOTE·QUOTE=QUOTE.S=QUOTESn=QUOTE=QUOTE,所以所求曲邊梯形面積為QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.下列函數(shù)在R上不是連續(xù)函數(shù)的是 ()A.y=x2 B.y=x3C.y=QUOTE D.y=QUOTE【解析】選D.選項A,B,C中,函數(shù)的圖象都是連綿不斷的曲線,只有D項不是連續(xù)函數(shù).2.把區(qū)間[a,b](a<b)n等分后,第i個小區(qū)間是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選D.每個小區(qū)間長為QUOTE,第一個小區(qū)間為QUOTE,其次個小區(qū)間為QUOTE,第三個小區(qū)間為QUOTE,……,第i個小區(qū)間為QUOTE.3.和式QUOTE(QUOTE-2)等于 ()A.QUOTE-2 B.QUOTE-10C.QUOTE-20 D.QUOTE【解析】選C.QUOTE(QUOTE-2)=QUOTE-QUOTE2=QUOTE-2×10=QUOTE-20.4.對于由直線x=1,y=0和曲線y=x3所圍成的曲邊梯形,把區(qū)間3等分,則曲邊梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的左端點)是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.將區(qū)間QUOTE三等分后,得到3個區(qū)間,即QUOTE,QUOTE,QUOTE,以每個區(qū)間的左端點的函數(shù)值為高,3個小矩形的面積和為曲邊梯形面積的近似值,S=0×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.5.求由直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2+1所圍成的曲邊梯形的面積時,將區(qū)間[0,2]5等分,依據(jù)區(qū)間左端點和右端點估計梯形面積分別為 ()A.3.92,5.52 B.4,5C.2.51,3.92 D.5.25,3.59【解析】選A.將區(qū)間[0,2]5等分為QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,以小區(qū)間左端點對應的函數(shù)值為高,得S1=QUOTE×QUOTE=3.92,以小區(qū)間右端點對應的函數(shù)值為高,得S2=QUOTE×QUOTE=5.52.二、填空題(每小題5分,共15分)6.求由拋物線f(x)=x2,直線x=1以及x軸所圍成的平面圖形的面積時,若將區(qū)間[0,1]5等分,如圖所示,以小區(qū)間中點的函數(shù)值為高,全部小矩形的面積之和為________.

【解析】由題意得S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.33.答案:0.337.一輛汽車的速度-時間圖象如圖所示,則此汽車在這1min行駛的路程為________.

【解題指南】依據(jù)變速運動物體的路程的估計方法,本題所求的路程應為圖象與x軸圍成的圖形的面積.【解析】由速度—時間圖象易知v(t)=QUOTE當t∈[0,10]時,s1=S△OAE=QUOTE×10×30=150(m),當t∈(10,40]時,s2=S長方形ABDE=(40-10)×30=900(m),當t∈(40,60]時,s3=S△BDC=QUOTE×20×30=300(m),故s=s1+s2+s3=1350(m).答案:1350m8.已知某物體運動的速度v=2t-1,t∈[0,10],若把區(qū)間[0,10]10等分,取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高,則物體運動的路程近似值為__________.

【解析】若把區(qū)間[0,10]進行10等分,則第i個小區(qū)間為[i-1,i](i=1,2,…,10),其右端點為i,那么物體運動的路程的近似值為QUOTE[(2i-1)×1]=2QUOTEi-10=2×QUOTE-10=100.答案:100三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知做自由落體的物體的運動速度v=gt,求在時間區(qū)間[0,t]內(nèi)物體下落的距離.【解析】(1)分割將時間區(qū)間[0,t]分成n等份.把時間[0,t]分成n個小區(qū)間QUOTE(i=1,2,…,n),每個小區(qū)間所表示的時間段Δt=QUOTE-QUOTE=QUOTE,在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi(i=1,2,…,n).(2)近似代替在每個小區(qū)間上以勻速運動的路程近似代替變速運動的路程.在QUOTE上任取一時刻ξi(i=1,2,…,n),可取ξi使v(ξi)=gQUOTE近似代替第i個小區(qū)間上的速度,因此在每個小區(qū)間上自由落體Δt=QUOTE內(nèi)所經(jīng)過的路程可近似表示為Δsi≈gQUOTE·QUOTE(i=1,2,…,n).(3)求和sn=QUOTEΔsi≈QUOTEgQUOTE·QUOTE=QUOTE[0+1+2+…+(n-1)]=QUOTEgt2QUOTE.(4)取極限s=QUOTEgt2QUOTE=QUOTEgt2.即在時間區(qū)間[0,t]內(nèi)物體下落的距離為QUOTEgt2.10.有一輛汽車在筆直的馬路上變速行駛,假如在時刻t的速度為v(t)=3t2+2(單位:km/h),那么該汽車在0≤t≤2(單位:h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位:km)是多少?【解析】(1)分割.在時間區(qū)間[0,2]上等間隔地插入n-1個分點,將它等分成n個小區(qū)間,則第i個小區(qū)間為QUOTE(i=1,2,…,n),其長度為Δt=QUOTE-QUOTE=QUOTE,每個時間段上行駛的路程記為Δsi(i=1,2,…,n),則明顯有s=QUOTEΔsi.(2)近似代替.取ξi=QUOTE(i=1,2,…,n).于是Δsi≈vQUOTE·Δt=QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE(i=1,2,…,n).(3)求和.sn=QUOTE=QUOTE(12+22+…+n2)+4=QUOTE·QUOTE+4=8QUOTE+4.(4)取極限.s=QUOTEsn=QUOTE=8+4=12.所以這段時間內(nèi)汽車行駛的路程為12km.1.在求由曲線y=QUOTE與直線x=1,x=3,y=0所圍成的圖形的面積時,若將區(qū)間n等分,并用每個區(qū)間的右端點的函數(shù)值近似代替,則第i個小曲邊梯形的面積ΔSi約等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.每個小區(qū)間長度為QUOTE,第i個小區(qū)間為QUOTE,因此第i個小曲邊梯形的面積ΔSi≈QUOTE·QUOTE=QUOTE.2.彈簧在拉伸的過程中,力與伸長量成正比,即力F(x)=kx(k為常數(shù),x是伸長量),求將彈簧從平衡位置拉長b所做的功.【解題指南】利用“以不變代變”的思想,采納分割、近似代替、求和、取極限的方法求解.【解析】將物體用常力F沿力的方向拖動距離x,則所做的功W=F·x.(1)分割在區(qū)間[0,b]上等間隔地插入n-1個點,將區(qū)間[0,b]等分成n個小區(qū)間:QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,記第i個區(qū)間為QUOTE(i=1,2,…,n),其長度為Δx=QUOTE-QUOTE=QUOTE.把在分段QUOTE,QUOTE,…,QUOTE上所做的功分別記作:ΔW1,ΔW2,…,ΔWn.(2)近似代替取各小區(qū)間的左端點函數(shù)值作為小矩形的高,由條件知:ΔWi≈FQUOTE·Δx=k·Q